数学思维概述

第一节　数学思维概述

一、数学思维的内涵

（一）思维的含义

人类科学的发展史，也是一部思维的发展史。随着人们对思维现象及其规律研究的不断深入，思维科学不仅已经发展成为一门独立的科学，而且已经渗透到心理学、哲学、逻辑学、控制论和信息论等许多学科。

从心理学的角度分析，思维是一种特殊的心理现象。所谓心理现象，就是人脑对客观事物的能动的反映。思维是人脑对客观事物的本质属性和内在联系的一种概括的、间接的反映过程。

从思维科学的角度审视，作为理性认识的个性思维分为三种：即抽象（逻辑）思维、形象（直觉）思维和特异思维（灵感思维、特异感知或特异活动中的思维）。

从哲学的认识论角度，一般把人的认识过程分为感性认识阶段和理性认识阶段。感觉、知觉和表象属于感性认识阶段，在这个阶段，人们只能获得对事物的表面认识，而思维则是在感性认识基础上进行的理性认识，是感性认识的概括和升华，属于认识的高级阶段。正是这个理性阶段，通过分析、综合、抽象、概括、比较、分类等思维活动，反映出事物的本质及内容的规律性。^[1]

从逻辑学角度分析，思维的主要形式是概念、判断和推理。概念是事物的本质属性的反映，由概念组成判断，由判断组成推理。判断和推理不仅反映了事物的本质，而且反映事物的内在联系与相互作用。因此思维反映的是事物的本质属性、事物的内在联系和内部的规律性。

可见，思维是人脑对客观事物本质和规律的概括和间接的反映过程。概括性和间接性是思维的两个基本特性。

思维最显著的特性是概括性。思维之所以能揭示事物的本质和内在规律性关系，主要来自抽象和概括的过程，即思维是概括的反映。所谓概括的反映是指以大量的已知事实为依据，在已有知识经验的基础上，舍弃事物的个别特征，抽取它们的共同特征，从而得出新的结论。在数学学习中，学生的许多知识都是通过概括认识而获得的。由此可见，没有抽象概括，也就没有思维。概括性是思维研究的一个重要方面，概括水平是衡量思维水平的重要标志。

思维的另一个特性是间接性。思维当然要依靠感性认识，没有它就不可能有思维。但是，思维远远超脱于感性认识的界限之外，去认识那些没有直接感知过的，或根本无法感知到的事物，以及预见和推知事物发展的进程。我们常说，举一反三，闻一知十，由此及彼，由近及远等，这些都是指间接性的认识。思维之所以具有间接性，关键在于知识与经验的作用。思维的间接性是随着主体知识经验的丰富而发展起来的。因此，知识和经验对思维能力有重要影响。

（二）数学思维的含义

所谓数学思维就是人脑和数学对象交互作用并按一般的思维规律认识数学规律的过程。数学思维实质上就是数学活动中的思维。对此，可以这样理解：其一，是指一种形式，这种形式表现为人们认识具体的数学学科，或是应用数学于其他科学、技术和国民经济等的过程中的辩证思维；其二，应认识到它的一种特性，这种特性是由数学学科本身的特点，及数学用以认识现实世界现象的方法所决定的，同样，也受到所采用的一般思维方式的制约。

（三）数学思维的分类

数学思维是一种极为复杂的心理现象，为了适应数学活动目的的不同需要，数学思维具有多样性，即多种形态。可以按不同的标准对其进行分类。

（1）根据数学思维过程是否遵循一定的逻辑规则，可把它分为逻辑思维与非逻辑思维。逻辑思维是指脱离具体形象，按照逻辑的规律，运用概念、判断、推理等思维形式所进行的思维。非逻辑思维是指未经过一步步的逻辑分析或无清晰的逻辑步骤，而对问题直接的、突然间的领悟、理解或给出答案的思维。

（2）根据数学思维的指向程度，可把它分为发散思维与收敛思维。发散思维又叫求异思维，它是由某一条件或事实出发，从各个方面思考，产生出多种答案，即它的思考方向是向外发散的。收敛思维又叫求同思维或集中思维，它是指由所提供的条件或事实聚合起来，朝着一个方向思考，得出确定的答案，即它的思考方向是趋于同一。事实上，数学问题的解决过程，依赖于收敛思维与发散思维的有机结合。一方面要广开思路，自由联想，提出种种解决问题的设想和方法；另一方面，又要善于筛选，采用一种最好的方案或办法来解决问题。在数学学习中，我们既要重视集中思维的训练，又要重视发散思维的培养，还要重视两者的协调发展。

（3）根据数学思维方向的不同，可以把它分为正向思维和逆向思维。正向思维与逆向思维，是指在思考数学问题时，可以按通常思维的方向进行，也可以采用与它相反的方向探索。数学知识本身就充满着正、反两方面的转化，如运算及其逆运算、映射与逆映射、相等与不等、性质定理与判定定理等。因此，培养学生的正向思维与逆向思维都很重要。

（4）根据数学思维结果有无创新，又可把它分为再现性思维和创造性思维。再现性思维，也就是一般性思维，它是运用所获得的知识经验，按现成的方法或程序去解决类似情境中问题的思维活动，是一种整理性的一般思维活动。创造性思维是一种特殊的思维形式，即通过思维不仅要揭示客观事物的本质及内在联系，而且要产生出新颖的或前所未有的思维成果，给人们带来具有社会或个人价值的产物，是一种具有开创意义的思维形式，是再现性思维的发展，是一种开放、动态、多向的点体型思维和空间型思维。创造性思维作为思维的最高形式，是人类创新精神的核心，是一切创造活动的主要精神支柱。

二、高等数学中几种重要的数学思维

（一）归纳思维

归纳是人类发现真理的最基本也最重要的思维方法，著名数学家普拉斯指出：“在数学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。”

归纳是在对许多个别事物经验认识的基础之上，通过多种手段（观察、实验、分类……）发现其规律，总结出原理或定理。归纳是从观察到一类事物的部分对象具有某一属性，而归纳出该事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归纳思维，就是要从众多事物中找出共性和本质的东西的抽象化思维，更直接地讲从简单特殊的例子中，利用归纳法预见到进步的带有一般性质的结论。

从数学的发展可以看出，许多新的数学概念、定理、法则等的形成，都经历过经验积累的过程，经过大量的观察、实验、分类，然后归纳出其共性和本质的东西。例如，导数、微分、积分、哥德巴赫猜想、费马猜想、素数定理等等；又如，n阶常系数线性齐次微分方程通解的结构及其解法是从一阶、二阶常系数线性齐次微分方程通解的结构及其解法归纳出来的；再如，由各类多元复合函数求导归纳出链锁法则，进而得到隐函数、参数方程的求导法则，再进一步延伸到空间得到曲面的切线及法平面的求法；由一、二阶线性方程的解的结构，归纳类比出高阶线性方程的解的结构，进而猜想到其他类线性方程解的结构，等等。

在高等数学教学中，不但要使学生掌握归纳方法的要点、本质，更要培养学生强烈的归纳意识，并使他们认识到归纳在创新能力中的作用与价值，使学生能在学习和工作中有意识地去运用，这样也有利于对学生创造性思维的培养。

（二）类比思维

著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀澍指出；“类比是一种创造性思维的形式。”所谓类比，就是借助于两类不同本质事物之间的相似性，通过比较将一种已经熟悉或掌握的特殊对象的知识推移到另一种新的特殊对象上去的推理手段。当两个对象系统中某些对象间的关系存在一致性或者某些对象间存在同构关系，或者一对多的同态关系时，我们便可对这两个对象系统进行类比。由于类比为人们的思维过程提供了更广阔的“自由创造”的空间，因此它成为科学研究中非常有创造性的思维形式，从而受到科学家们的重视与青睐。高等数学中很多知识间都有着显著的类同性。例如，极限、连续、导数、微分、积分、级数、微分方程均有线性性质（它们的共性），而这个共性可以升华到线性算子的理论上；几类积分的类同性（对象不同，但处理方式相同，从而体现元素法的重要性）；多元微积分与一元微积分的类同性（点与线或线与面的关系），各类级数之间的类同性（均简单项的和）；各类广义积分的类同性（类似的收敛发散概念及类似的判别法）；各类微分方程求解的类同性（各种变换）；各类中值定理、微分与积分的几何类比等等。著名数学家、教育家波利亚说，“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。”因此，教学过程中教师应特别重视运用类比方法，引进教学与学习（教会学生学习）活动，使学习活动更加生动具体。

在高等数学教学中，从学生已熟悉的知识，通过类比而引申出新的概念、新的理论，不但学生易于接受、理解、掌握，更重要的是有利于培养学生的类比思维，有助于学生创造力的开发。如，“中值定理”这部分知识的教学中教师如果采用类比，将各中值定理的条件、结论、几何意义进行比较，对培养学生的类比思维将大有裨益，从而也会取得很好的教学效果。除数学教学之外，教师还可以向学生介绍类比思维在其他学科中的应用。如，“仿生学”就是类比思维的成果，仿生学是用“生物机制”作类比的。如，滑翔机和飞机是人们受燕子飞翔的启发而设计的；潜艇、鱼雷的制造是人们看到鱼在水中游而产生的灵感。这种思想包括“类比—联想—预见”的步骤，而数学的每一个概念、结论的深入，也是按着这个步骤展开的。类比是创造性地表达思维、传授知识的重要手段，数学教学过程中教师应充分抓住知识的特点积极培养学生的类比思维。

（三）发散思维

发散思维最早由武德沃斯（Woodworth）于1981年提出，后来被斯皮尔曼（Spearman）、卡维尔（Catten）作为一种“流畅性”因素而使用过，吉尔福特在“智力结构三维模式”中更明确地提出来。发散思维亦称扩散思维、辐射思维、求异思维，是指在创造和解决问题的思考过程中，不拘泥于一点或一条线索，而是从已有的信息出发，选择多角度，向多方向扩展，不受已知的或现存的方式、方法、规划或范畴的约束，并且从这种扩散、辐射和求异式的思考中，求得多种不同的解决办法，衍生出多种不同的结果。由于发散思维对推广原命题、引申旧知识、发现新方法等具有积极的开拓作用，因此，它是一种重要的创造性思维。我国数学家徐利治教授指出：“数学中的新思想、新概念和新方法往往来源于发散思维。”他总结概括出了数学创造能力公式（创造能力＝知识量×发散思维能力），并指出发散思维在数学创造性活动中的重要作用。

数学发散思维首要的特征是发散性。同一个数学问题，思考时不急于归一，而是先提出多方面的设想和各种解决办法，然后经过筛选，找到科学合理的结论。此外，发散思维对所研究的数学对象、数学方法，甚至已得出的公式、定理，都可以作为发散点放在不定、可变的地位上加以观察和思考，探索“可变”的各种可能，甚至在范例中也可变中求活，活中求异，异中求新，新中求广。对未知的东西，敢大胆去设想，对已知的东西敢大胆质疑，提出异议，勇于突破常规。所以数学发散思维具有自由性与广阔性，突出一个“变”字。数学发散思维的第二个特征是流畅性，流畅性也称多端性，流畅的基本特征是数学思维转换的通道畅通无阻，思维向多个方面发散，大脑对外界数学知识信息的分析、加工、重组的速度快，输出输入量大，对同一个数学问题能提出多种设想，多种答案，突出了一个“快”字。发散思维的第三个特征是变通性，变通性是指思维形式不受固定格式的限制，思维方向多，既可横向，又可纵向，还可逆向。形式灵活善变，代数、几何、三角、初等数学、高等数学的知识交汇使用。反映了数学发散思维的数量特征，突出一个“多”字。发散思维的第四个特征是独特性，独特性是指思维方式求异、新颖奇特，一题多思，千方百计寻求最优解法、创优机制强烈，思维结果有创新的特点，它反映了数学发散性思维的质量特征，突出了一个“新”字。

数学发散性思维的实质就是创新，所以数学发散思维是创造性思维的重要组成部分。

（四）逆向思维

思维本身具有双向性，由此及彼与由彼及此就是思维的两个相反方向，一般情况下，人们把习惯思维的方向叫做顺向思维，而相反的方向称为逆向思维。逆向思维是相对于习惯思维的另一种思维形式，它的基本特点是：从已有思维的反方向去思考问题。顺推不行，考虑逆推，直接解决不行，想办法间接解决，正命题研究过后，研究逆命题。探讨可能性发生困难时，考虑探讨不可能性，由于逆向思维突破了习惯思维的框架，克服了思维定势的束缚，所以具有创造性。

在高等数学中，有不少内容都可以培养学生的逆向思维。例如，数学公式的逆向应用、问题分析中的“执果索因”、微分与不定积分相互转换、辅助函数和几何图形、无穷级数和函数的求法、定积分定义求和、定积分和不定积分的关系、命题的逆否命题、探讨问题的不可能性以及反证法等都充分体现着逆向思维。

（五）猜想思维

英国数学家牛顿说过：“没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现。”所谓数学猜想，是指根据某些已知的事实、材料和数学知识，对未知的量及其关系所作的一种预测性的推断。它是研究数学、发现新定理、创造新方法的一种手段。猜想是一种合情推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成。对于未给出结论的数学问题，猜想也是寻求解题思维策略的重要手段。著名数学家波利亚就曾呼吁“让我们教猜想吧”。目前已有很多教师开始重视“教猜想”，这正是由于大家已意识到猜想不仅是数学发现的重要手段，也是训练思维的有效方法。因此，对学生进行猜想训练、培养他们敢于猜想的精神，有利于学生数学直觉的形成，从而发展他们的创造性思维。纵观数学教育和数学发展历史，可以发现，学生猜想思维能力的发展和提高，离不开以下几方面的素质。

1．要有较好的数学知识基础并具备较高的文化素质

想要眼前所遇到的各种数学问题有所超脱、升华以至改组和变形，需要具备较广博的基础知识与文化素质。只有在较宽广的知识层面上，数学想象才能振翅高飞，通过广泛的想象和联想，从那些形式上互不相关的问题中，发现知识之间的本质联系。

2．要培养高层次的数学想象能力

数学想象能力，可以划分为若干个层次，不同的层次相应地决定了想象所能涉及的范围和效果。高层次的想象可以涉及数量关系和空间形式以及由其重新组合的更为抽象、更为深入的数学构想。以非欧几何的发现为例，意大利数学家萨开里和德国数学家伦伯特远在17世纪和18世纪期间，曾经试图证明第五公设从而发现一般与直观相矛盾的结果，及至19世纪德国数学家须外卡特等对于这些类似结果推断可能属于一种星际几何。虽然他们的想象能力已经达到一定的水平，但仍然未能创立非欧几何。其根本原因在于他们的数学想象能力被框死在欧几里德几何的老框架内，没有把想象力突破性地拔高。

罗巴切夫斯基则敢于冲破欧氏几何的束缚。他声明：“在观测不足的情况下，应当凭理智来设想，想象几何可以适用于被观测到的世界之外以及分子引力范围之内。”

3．要善于发挥数学的直觉思维

波利亚在其名著《数学与似真推理》中提出：“还必须学习合情推理，即数学猜想。数学猜想是一种直觉思维，利用它不仅可以预测解决现有问题的思路，而且还可以提出有价值的新问题。”数学直觉即是关于数学对象的关系和性质的直接领悟。庞卡莱说过：“这种对于数学秩序的直觉，能使我们去推测隐蔽着的各种和谐性与联系，但它并不是每个人都具备的，而必须靠人们自觉地培养锻炼和提高。”

以直觉在数学发现中的作用而论，又可将其划分为辨认直觉、联络直觉和审美直觉三类型。辨认直觉可以辨明和预测数学猜想是否具有科学价值；联络直觉可以探究和考察不同理论、不同猜想之间的内在联系；审美直觉可以审查和评论数学猜想是否符合数学理论的美学标准。在科学研究和学生日常解题教学中，对于理论发展的方向往往会有多种猜想，对于解决问题的思路也会有多种猜想，究竟何去何从，也必须要求助于辨认直觉和审美直觉。庞卡莱认为直觉思维是一种无意识活动。然而，在诸多无意识活动的分化组合之中，有些意识是和谐、美妙而有用的。这些意向如果能触动数学家的审美直觉，即可立刻变为数学家的有意识行为。

4．要正确理解“数学的本质就在于它的自由”

数学家康托曾经提出“数学的本质就在于它的自由”。他认为数学与其他领域的区别，在于它可以自由地创造自己的概念，也即是说数学想象可以自由自在地发挥。例如，要想在欧氏几何中建立起非欧几何的模型，这确实是难以想象的。但是克莱因、庞卡莱和贝尔特拉米等数学家，利用数学想象的自由发展，巧妙地作了一些约定，结果把非欧几何中那些直观上看来格格不入的空间关系，也转换为欧氏几何中的普通定理，并且由此而完成非欧几何理论相对相容性的证明。