一、数学文化的概念
一般而言，人们往往对数学的科学价值确信无疑，而对数学的文化内涵或者说数学是一种文化，普遍会感到不理解。因为一谈起文化，人们往往会将其与文字、语言、文学、艺术等联系起来，而数学却是数量、运算、推理、抽象等的代名词。事实上，数学文化是人类文化的重要组成部分。为了更好地去理解数学文化的本质内涵及其价值体现，我们有必要先认识文化的含义。
（一）文化的含义
对“文化”一词，我们经常在各种情景中提及和使用它。譬如，我们所说的学习文化，实际上就是学习人类祖先创造的精神财富，这表明文化是一个与自然相对的概念，它是人类的创造物。我们也会提到东方文化与西方文化，中华文化与异域文化，还有各种行业文化等，这表明文化又是一个相对于群体的概念，正因如此，不同地区、不同民族以及不同行业有着不同的文化。我们还会注意到，人们往往从某个人的言谈举止来判别他是否有文化修养，这实际上说明文化也在影响着人们的行为方式。
19世纪下半叶，随着人们对文化学的系统研究，文化问题越来越受到重视。1871年，泰勒在《原始文化》一书中给出了关于文化的经典定义：“所谓文化或文明，就其广泛的民族学意义来说，乃是包括知识、信仰、艺术、道德、法律、习俗和任何人作为一名社会成员而获得的能力和习惯在内的复杂整体。”此后，不同学者从不同的角度对文化提出了不同的定义，形成了众多的观点和结论。一般认为，文化有广义和狭义之分。广义的文化是一个与自然相对的概念，它是指通过人的活动对自然状态的变革而创造的物质财富和精神财富的总和。狭义的文化则是指社会意识形态或观念形式，即人们的精神生活领域。在现代的文化学研究当中，面对众说纷纭的局面，美国学者克罗伯和克拉克洪曾在《文化——关于概念和定义的评论》一书中，对160余种定义进行了分析、比较，从而对文化作了这样的界定：“文化由外显的和内隐的行为模式构成，这种行为模式通过象征符号获得和传递；文化代表了人类群体的显著成就，包括它们在制造器物中的体现；文化的核心部分是传统的观点，尤其是它所带的价值；文化体系一方面可以看做是活动的产物，另一方面是进一步活动的决定因素。”[1]在这里，他们倾向于把文化看做人类群体成套的行为系统，其核心是由一套传统观念所组成。这一观点强调了文化的两个重要特征：一是群体性，文化总是相对于某一特定的群体而言的，不同的群体有不同的文化；二是传统观念，这种传统将通过群体特有的行为、观念、态度、精神等决定群体的生活（行为）方式。由此我们可以认为，文化是指由于某种因素（居住地域、民族性、职业等）联系起来的各个群体所特有的行为、观念、态度、精神等。
（二）数学文化的内涵
在过去的两千年里，数学所表现出来的深刻性、有效性、普遍性以及由此产生的与人类文化的相互促进作用，使得数学作为一种文化现象，愈来愈广泛地被人们所接受。有位数学教育家说过：“数学不仅是生活的工具，也是一种思维习惯。”可见，数学不仅是一大堆算法，也是文化的重要组成部分。有人称数学是“看不见的文化”，这里说的“看不见”，是指数学家不像作家、艺术家甚至物理学家那样被社会所注目，他们的成果也很少有人理解。但数学确实是一种文化，它对人的影响无处不在，只是许多人没有意识到。著名的美国《科学》杂志特约主编斯蒂恩说得更清楚：“数学……在人类特性和人类的历史中，它的地位绝不亚于语言、艺术或宗教。”数学和其他科学、艺术一样，是人类共同的精神财富，是人类智慧的结晶。它表达了人类思维中生动活泼的意念，表达了人类对客观世界深入细致的思考，以及人类追求完美和谐的愿望。那么该如何深刻、系统地理解数学文化这一概念呢？下面我们主要从三个方面来进行阐述。
1．从数学对象的角度
数学对象并非物质世界中的真实存在，而是人类抽象思维的产物。在现实生活中，没有谁曾见到过“一”，我们只能见到某一张桌子、某一间房子、某一个符号，而绝不会见到作为数学研究对象的真正的“一”；同样，我们也只能见到圆形的月亮、圆形的轮胎、圆形的水池，而绝不会见到作为几何研究对象的真正的“圆”。因而，即便是最简单的数学对象，它们也都是抽象思维的产物。数学作为一种量化模式，显然是描述客观世界的，相对于认识主体而言，它具有明显的客观性，在肯定数学对象的这种“客观性”的基础上，我们确认数学对象终究不是物质世界中的真实存在，而是抽象思维的产物，它是一种人为约定的规则系统。为了描绘世界，数学家总是在发明新的描述形式，数学家实则是发明家。同时，数学家发明的量化模式，除了在科学技术方面的应用外，同样还具有精神领域的功效，就如人们通常所说的数学观念，如推理意识、化归意识、整体意识、抽象意识、数学审美意识等等。因此，从上述意义来说，数学就是一种文化。
张奠宙先生在《数学文化的一些新视角》一文中认为，数学是一种文化现象，并从数学和文学、数学和语言、数学和美学等方面加以阐释，“数学和文学的思考方法往往是相通的”，“语言是文化的载体和外壳，数学的一种文化表现形式，就是把数学溶入语言之中”。
张楚廷先生从广义文化学的角度阐释数学文化：“文化即人类创造的物质文明和精神文明。数学则既是人类精神文明又是物质文明的产物，尤其要关注到，数学是人类精神文明的硕果，数学不仅闪耀着人类智慧的光芒，而且数学也最充分地体现了人类为真理而孜孜以求乃至奋不顾身的精神以及对美和善的追求。”他还指出把数学作为一种文化的数学教育功能是多方面的，它“不仅可以使人变得更富有（知识）、更聪明、还可以使人更高大、更高尚，变善、变美”[2]。郑毓信先生在他的《数学文化学》中阐述说：“由于在现代社会中数学家显然构成了一个特殊的群体（可称为数学共同体），并有着相对稳定的数学传统。”[3]因此，我们也就可以说，数学是一种文化也即是指数学家的“行为方式”。
数学家齐民友先生在《数学与文化》中阐述：“数学作为文化的一部分，其最根本的特征是它表达了一种探索精神。”“数学作为文化的一部分，其永恒的主题是‘认识宇宙，也认识人类自己’，在这个探索过程中，数学把理性思维的力量发挥得淋漓尽致。它提供了一种思维的方法与模式，提供了一种最有力的工具，提供了一种思维合理性的标准，给人类思想解放打开了道路。”他深刻指出：“没有现代的数学就不会有现代的文化。没有现代数学的文化是注定要衰落的。一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。”[4]
2．从数学活动的主体角度
在现代人类文化学的研究中，关于文化的一个较为流行的定义是：由某种因素（居住地域、民族性、职业等）联系起来的各个群体所特有的行为、观念和态度等，也即是指各个群体所特有的“生活（行为）方式”。正如美国文化学家克罗伯和克拉克洪在对西方160多种关于文化的定义进行剖析后所指出的：应把文化看做成套的行为系统，其核心是由一套传统观念尤其是价值系统所组成的。
在现代社会中数学家显然构成了一个特殊的群体——数学共同体。在数学共同体内，每个数学家都必然地作为该共同体的一员从事自己的研究活动，从而也就必然地处在一定的数学传统之中，而这种数学传统正好可以看成是一种成套的行为系统，并具有相对的稳定性。因此，我们也就可以在这个意义上来谈及数学文化，也即是指数学家的行为方式，或者说是指特定的数学传统。在此我们可以明确地提出数学传统的概念：这即是指相应的数学共同体在什么是数学和应当如何去从事数学研究这样一些基本问题上的共同认识，也就是一种总的观念或信念；另外，数学家的研究活动又总是在一定传统之中进行的，也正如美国著名科学史学家库恩所指出的，科学活动就是“范式指导下的活动”。数学传统的具体内容一般包括三个方面：第一是核心思想，是指关于数学本质的总的认识，也就是总的数学观，它提供了“什么是数学”的问题的具体解答；其次是规范性成分，这是指应当如何去从事数学研究的一些具体规范或准则，各个数学家只有按照这些规范或准则去进行研究，他的工作才有可能得到数学共同体的承认，从而具有较强的制约作用；最后是启发性成分，指一些可以给人以启示和帮助的问题和建议，如著名数学家、数学教育家波利亚的数学启发法（他认为数学发现是一种技巧，发现的能力可以通过灵活的教学加以培养，而不应是“像帽子里突然跑出一只兔子”，让学生自己领会发现的原则并付诸实践）就可看成是现代数学传统中一个重要的启发性成分。整体性和历史性是文化的两个重要方面。那么从以上的意义上讲，数学作为一种文化的实质就在于强调了数学活动的整体性。数学共同体和数学传统正是表现了数学文化的整体性。因此充分肯定数学是文化体系的一部分是非常有必要的。
3．从数学与整个社会文化关系的角度
从历史的角度来看，数学最初只是作为整个人类文化的一部分得到了发展。然而，随着数学本身与整个人类文明的进步，数学又逐渐表现出了相对的独立性，尤其是获得了特殊的发展动力并表现出了特有的发展规律。所以许多学者认为，数学文化的发展已经达到了一个较高的水平，并可被认为构成了整个人类文化的一个相对独立的子系统。关于数学文化的发展动力和发展规律，怀尔德提出了影响数学文化发展的11种力量，并在此基础上提出了数学文化发展的23条规律。比如，重大问题的多重的独立发现或解决，是一条规律，而不是例外。例如，苏格兰人约翰·耐普尔与瑞士钟表匠标尔格彼此独立地创立了对数计算法；17世纪下半叶，牛顿与莱布尼兹彼此独立地创立了微积分理论；19世纪初，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶、俄国数学家罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何的新思想与新体系。再如，假设接受的一方已经达到必要的文化水平的话，不同文化与不同领域之间的传播将会导致新概念的产生并加速数学的发展。又如，革命可能发生在数学的形而上学、符号体系和方法论之中，但不会发生在数学的内核中。也就是说数学的发展并不是以破坏或取消原有理论的方式进行的，而是用深化和推广原有理论的方式，用以前的发展作准备而提出新的概括理论的方式进行的。至此，我们实际上已超越各个个别的数学家而以数学自身为直接的研究对象，显然这是一种更高层次上的数学文化观点。这里需要特别注意的是，数学在一定意义上确实可以看成一个相对独立的自足的系统，一方面，数学可以单纯凭借内在力量得到一定的发展；另一方面，数学具有自己特殊的价值标准和发展规律，从而相对于外部而言，数学的发展就具有一定的独立性。然而作为问题的另一方面，我们又应看到外部因素对于数学发展的重大作用：外部因素不仅为数学的发展提供了重要的动力，而且也提供了必要的调节因素和检验标准。实际上，数学的发展就应被看成外部力量和内在力量共同作用的结果。
综上所述，数学不应被等同于知识的简单汇集，而应主要地被看成是人类的一种活动，一种以“数学共同体”为主体、并在一定文化环境中所从事的创造性活动；同时，由于数学不仅具有自己特殊的价值标准，更有着自己特殊的发展规律，因此数学应当被看做是整个人类文化的一个相对独立的子系统，当然，这并非是一个完全封闭的系统，恰恰相反，正是由于其内在力量和外部力量的共同作用直接决定了数学的发展和进化，我们也就更加确定了数学系统的开放性。
二、数学文化的特征
数学作为一种文化，除具有文化的某些普遍特征外，还有其区别于其他文化形态的独有特征。
（一）数学符号语言的简洁性
在数学中，用以描述现实世界的各种量、量的关系及其变化，都是用数学所特有的符号语言来表示的。德国数学家、哲学家莱布尼兹曾指出：“数学之所以如此有效、之所以发展如此迅速，就是因为数学有特别的符号语言。”M·克莱因也称：“数学的另一个重要特征是它的符号语言。如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式。……凭借数学语言的严密性和简洁性，数学家们就可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言表达出来，就会显得冗长不堪，这种简洁性有助于思维的效率。”正是这种简洁性和概括性使得数学语言具有广泛的普适性，以至被广泛应用，并成为科学的语言。
（二）数学思维方法的独特性
（1）抽象思维是数学思维方法的灵魂。它用抽象化和符号化的方法来描述世界，它通过对“人类思维抽象物”的研究来触及事物的根本，从而认识宇宙、揭示世界的规律，在对实际问题的研究中，通过抽象建立模型，并在数学模型上展开数学的推导和计算，以形成对问题的认识、判断和预测。比如以欧几里德《几何原本》为代表的数学的公理化方法，它用极少的几个概念和命题作为必要的基础，通过明确的定义和逻辑推理来建立知识体系。这种思想方法已成为对理论进行整理和进行表述的最好形式，并被其他科学广泛地采用，现如今已经超出了自然科学的范围而扩大到了政治学、经济学、伦理学等各个方面。
（2）逻辑思维使数学文化系统化、体系化、科学化。罗素说过：“逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代，青年与壮年没有截然的分界线，故逻辑与数学亦然。”
（3）形象思维是激励人们的想象力和创造力的，它常常导致重要的数学发现。正如维纳所言：“就我而言，最有用的资质，乃是广泛持久的记忆力，以及犹如万花筒一般的自由的想象力，这种想象力本身或多或少会向我提供关于极其复杂的思维活动的一系列可能的观点。”
（4）直觉思维是数学哲学思维中的重要内容之一。数学的猜测和想象，都已经具有一定的非逻辑性。越是复杂的数学想象，可能越缺少逻辑。因为在逻辑苍白无力的地方，恰恰是直觉在发挥着重要的作用。庞加莱曾这样说过：“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条道路能引导我们到达目的地。为此，必须从远处瞭望目标，而数学教导我们瞭望的本领是直觉。没有直觉，数学家就会像这样一个作家：他只是按语法写诗，但是却毫无思想。直觉实际上是一种机敏的洞察力，是一种无法言传身教但又是每个数学家所必不可少的素养。”
（三）数学美的高雅性
著名数学家、哲学家罗素为人们理解和欣赏数学美提供了一个不可多得的视角，他说“数学，如果正确地对待它，不仅拥有真理，而且也具有崇高的美，正如雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰；它可以纯净到崇高的地步，能够达到只有伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。”数学的这种高雅的美，既是数学文化的组成部分，也是数学文化的一个重要特征。
（四）数学精神的深刻性
数学家M·克莱因指出：“从最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维得以达到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确定已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”这种数学精神的第一个要素就是对理性的追求。正如齐民友先生在《数学与文化》中所指出的，数学的“每一个论点都必须有依据，都必须持之以理，除了逻辑的要求和实践的检验以外，无论是几千年的习俗、宗教的权威、皇帝的赦令、流行的风尚统统是没有用的。这样一种求真的态度，倾毕生之力用理性的思维去解开那伟大而永远的谜——宇宙和人类的真面目是什么？——是人类文化发展到一定高度的标志”。
数学精神的另一个要素是对于完美的追求。庞加莱曾有一段名言：“科学家研究自然，是因为他爱自然，他之所以爱自然，是因为自然是美好的。如果自然不美，就不值得理解；如果自然不值得理解，生活就毫无意义。当然，这里所说的美，不是那种激动感官的美，也不是质地美和表现美；……我说的是各部分之间有和谐秩序的深刻的美，是人的纯洁心智所能掌握的美。”也正因为如此，在数学的研究中，数学家们往往根据审美的标准选择自己的研究方向，用审美的标准对数学理论进行评价和取舍，正是数学内在的美一直激发着数学家们的浓厚兴趣；正是数学所蕴涵的无限的奥妙和美感，诱使着如此众多的人去探索、去遨游、去为之献身。这正是数学精神的深刻所在、魅力所在、力量所在，这也是数学文化的价值所在。
（五）数学发展的时代性
数学发展的历史表明，不同的民族文化会产生不同风格的数学，它们具有鲜明的时代文化烙印，而且一个时代的特征在很大程度上总与这个时代的数学活动密切相关。如，中国古代数学崇尚实用，由此促进了实用数学的发展，从而诞生了“以计算见长”且具有较强实用性的《九章算术》；古希腊的城邦实行“奴隶主的民主政治”，由此促进了理性思维的发展，从而使古希腊数学闪耀着理性思维的光辉。
对数学发展的时代性，M·克莱因作过精辟的论述：“数学是一颗富有生命力的树，她随着文明的兴衰而荣枯。它从史前诞生之时起，就为自己的生存而斗争，这场斗争经历了史前的几个世纪和随后有文字记载历史的几个世纪，最后终于在肥沃的希腊土壤中扎稳了生存的根基，并且在一个较短的时期里茁壮成长起来了。在这个时期它绽放了一朵美丽的花——欧氏几何，其他的花蕾也含苞欲放，如果你仔细观察，还可以看到三角和代数学的雏形。但是这些花朵随着希腊文明的衰亡而枯萎了，这棵树也沉睡了一千年之久。后来这棵树被移植到了欧洲本土，又一次扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年，它又获得了在古希腊顶峰时期曾有过的旺盛的生命力，而且准备开创史无前例的光辉灿烂的前景。”
三、数学文化的外延
数学文化是一个外延宽泛的学科，它涉及多种学科。马克思说：“一种科学只有成功地运用数学时，才算真正达到完善的程度。”近年来，特别是数学文化在人文社会科学、科技进步等方面的成功渗透，更充分证明了马克思这一论断的正确性。
（一）数学与文学
数学与文学的联系源远流长，其中数学与文学的思考方法往往是相通的。比如，数学里有“对称”，文学中则有“对仗”。对称是一种变换，图形经对称变换后有些性质保持不变。那么对仗是什么？无非是上联变成下联，但是字词句的某些特性不变。王维诗云“明月松间照，清泉石上流”，其中明月与清泉都是自然景物，形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变，其余各词均是如此。运用数学研究《红楼梦》也是一个很好的例子。1980年6月在美国威斯康星大学召开的首届国际《红楼梦》研讨会上，美籍华裔学者陈炳藻宣读了论文“从词汇统计论《红楼梦》的作者”。更令人吃惊的是，有专家把数学、物理中的谱分析概念与快速傅立叶变换密切联系，并成功地运用于文学研究。文学作品的微量元素，即文学的“指纹”，就是文章的句型风格，其判断的主要方法是谱频分析。日本有的专家利用谱频分析，随意挑选一段文字，不讲明作者，经过分析后就可以准确判断是谁的作品。
（二）数学与史学
由于把数学方法引入到史学研究中，所以产生了一门新学科——史衡学。正是数学方法的引进，开拓了史学研究的新领域，同时使加工、整理更科学化、准确化。数学的介入，排除了较多的人为主观因素。而近年来，网络新媒体、数字化的出现，更为史学研究添虎翼之功。
（三）数学与经济
数学与经济学可以说密不可分，以至于在今天不懂数学就无法研究经济。当今世界，运用数学建立经济模型，寻求经济管理中的最佳方案；运用数学方法组织、调度、控制生产过程；从数据处理中获取经济信息等，使得代数学、分析学、概率论和数理统计等大量数学的思想方法进入经济学，这反过来也促进了数学学科的发展。今天，一位不懂数学的经济学家是不可能成为杰出的经济学家的。1969～1981年间的13位诺贝尔经济学奖的获得者中，7位获奖者是因其杰出的数学工作起了主要作用。其中，前苏联数学家坎托罗维奇因对物资最优调拨理论的贡献而获1975年诺贝尔奖，被公认为现代经济数学理论的奠基人；克莱因因“设计预测经济变动的计算机模式”而获1980年诺贝尔经济学奖；托宾因“投资决策的数学模型”获1981年诺贝尔经济学奖；德布鲁获1983年诺贝尔经济学奖，其主要成就也是反映在数学上。
（四）数学与语言
法国数学家阿达马曾经说过，语言学是数学和人文科学之间的桥梁。数学与语言学的结合非常密切，包括产生了新兴的学科——数理语言学、计算语言学。现在，把演绎方法引入到语言学，建立了代数语言学。特别是借助计算机，对语言进行整理，编撰辞书已经比较普遍。
（五）数学与高科技
兰德尔讲过：“科学起源于数学。”数学与高科技的相互渗透，在今天已经非常广泛、深刻。作为高新技术的应用科学，其基础就是数学。高新技术在本质上是一种数学技术。所以有种说法，海湾战争其实就是数学战争。其实，除上面我们列举的许多方面，数学还广泛渗透到其他领域。有位数学家甚至断言：“只要文明不断进步，在下一个两千年里，人类思想中压倒一切的新鲜事物，是数学理智的统治。”
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