《高中数学思维方法》课程的实践与思考

▶2.3　《高中数学思维方法》课程的实践与思考

赵玉梅

一、背景分析

1.基于思维方法教学存在的问题分析

（1）初中数学教学内容少，反复操练多，中考题目相对简单；高中数学教学时间紧，内容多，高考的压力较大，初、高中教学需要很好地过渡衔接。而有些教师为了赶进度，在学生还未能充分掌握核心概念和思维方法时就进行大量解题训练，导致教学缺乏必要根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，课堂教学质量和效率低下，不能重视思维方法教学。

（2）教师通过对高一新生问卷和访谈后归纳如下问题：

①不清楚数学是什么　部分学生在长期数学学习中认为：数学就是不停地重复计算；也有学生把数学看成是一堆公式的集合，认为数学是由要背的事实和解题技巧组成的。可见，学生在数学学习上投入了大量精力和时间，但是不能正确认识数学学科本身的学习对象。

②不知道数学学什么　有的学生认为，数学学习就是从教师那里学习公式、题型和解题技巧；花较长时间分析思考一个数学问题是浪费时间，学好数学要有先天性的才能。学生没有很好地理解数学的学习方式和方法，体会不到数学在思维训练和实际应用中的价值。

弗赖登塔尔说：“数学是在冰冷的美丽下蕴含着火热的思考。”通过调查不难看出，学生只体会“冰冷的美丽”，很难体会“火热的思考”。要想提高学生数学学习兴趣和学习能力，必须从整体性、系统性的角度考察中学数学教学内容，揭示数学知识背后蕴含的数学思想方法，从而提高学生思维能力。所以，要开展数学思维方法教学和研究。

2.基于高中数学“课程标准”对思维能力的要求

1952年，高中数学大纲提出数学特殊能力是指“生动的空间想象力，发展学生逻辑思维力和判断力”，这个能力一经提出就一直用到新世纪。2000年高中数学大纲保持了这一说法，而且做了展开说明：“思维能力主要是指：会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理。”对思维能力已具体阐释为数学思维方法。“课程标准”提出：数学能力是“提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理”等基本能力；解决问题的能力则表述为“数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力”。可见，教学大纲或课程标准在一次次的修改中体现了对思维能力要求的一步步升华。

3.基于我校对学生思维能力培养的探索

我校致力于思维方法研究，开展“学习素养”校本拓展型课程建设，组织教师编写“学习素养”校本教材，已有多位教师开设数学、物理、化学等各学科的思维方法课程，学校进行“关注思维过程，提升学习素养”教学实践研究，为本课程的开展营造了良好的氛围。

二、数学思维方法概念界定

1.数学思维方法的定义

思维，是指主体对客体深远区层的穿透性反映。而主体要实现对客体的穿透性反映，必须进行信息加工，把握事物的本质，所采用的方法，称为思维方法。

广义而言，思维方法是指人类在理性认识中认识客观事物的一切方法。狭义而言，指在抽象思维理论中，抽象思维过程中所采用的基本方法。抽象和概括，分析和综合被认为是人类最基本的思维方法。

在数学上，人们对数学思维方法有两种看法：一是认为用于思维数学的方法就是数学思维方法，也就是数学中思考问题的方法，包括一般的思维方法和数学特有的思维方法；二是认为属于数学特有的思维方法才是数学思维方法。前者是一种广义的理解，后者则是一种狭义的理解。后者包含于前者之中。

数学思维方法是指在数学思维过程中所运用的基本思维方法，它包含了一般的思维方法和数学特有的思维方法。这样既体现了数学思维的个性，又蕴含了思维的共性。从共性的角度来说，数学思维方法包括了诸如抽象和直观、分析和综合，归纳和类比、特殊化和一般化、抽象和直观、整体和全息、证明和反驳等一系列的一般科学的思维方法；从个性方面而言，它包含有数学归纳法、公理化法、化归法、数学建模等方法。

2.数学思维、数学思想、数学方法密不可分

数学方法是数学思维和数学思想的具体化，是数学思维的结晶，而数学思维又蕴含于数学思想和数学方法之中，因此数学思维、数学思想和数学方法是紧密相连的，说到其中一个，往往会联系到另外两个。

数学思维方法是使人学会学习和研究数学，形成学习和研究数学的能力的基本方法。它是思考问题的方法，也是解决问题的手段。数学思维会在一定的数学思想指导下进行，进行数学思维时离不开具体的数学方法。

三、《高中数学思维方法》课程设计

在《高中数学思维方法》课程中，笔者分数学思维方法概述、数学思维方法的基本类型和数学中常用的思维方法三章来设计教学，其中，第一章和第二章在高一年级完成，第三章在高二年级完成。内容如下表所示：

四、《高中数学思维方法》课程的教学案例

案例一　数学类比思维方法

为了学生更好地参与，在每节课的教学设计中，笔者都设计了“想一想”、“学一学”、“议一议”、“练一练”和“辨一辨”五个栏目。如在《数学类比思维》一节学习时，在学习“等差数列”定义后抛出“等和数列”并要求学生自定义，达到引发学生思考的作用。

【想一想】

定义　在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列｛a_n｝是等和数列，且a₁= 2，公和为5，那么这个数列的前n项和S_n是多少？

学生通过讨论，体会到“等和数列求和”与“等差数列求和”在研究方法上可以类比研究，对类比法有了初步认识后，在提出新的数学问题和猜想时，发现新的数学知识和规律起到很好的引导作用。

经过“想一想”的课前预热，学生们很想知道类比法的含义和如何运用类比法研究问题，所以进入新课“学一学”的阶段。【学一学】

1.类比法的含义

类比是根据两个对象或两类事物间存在着的相同或不同属性，联想到另一类事物也可能具有某种属性的思维方法（或推理方法）。

类比法在各种逻辑推理方法中是最富有创造性的一种方法。类比又称为类比法或类比推理。类比是指两类事物（现象、过程等）在某些属性和关系上的一种相似。类比法的一般过程是：观察——比较——联想。

类比法是一种从特殊到特殊的推理方法，而归纳法是一种从特殊到一般的推理方法。类比推理是在不同类事物之间进行的，由类比得到的结论具有或然性，是否正确有待进一步的证明。

2.类比法的类型

在数学学习中主要使用以下两种类比。

（1）简化类比　所谓简化类比，就是把一个复杂的原问题与一个简单的问题加以类比，并通过寻求解决简单问题的思路和方法，得到解决原问题的思路和方法的类比。如把高维空间的问题类比于低维空间的问题，多元问题类比于少元问题，无限问题类比于有限问题等，都属于简化类比。

（2）结构类比　如果待解决的问题没有现成的类比物，则可通过观察，凭借结构上的相似性来寻找类比问题，然后通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决。如将数、事件、命题等在运算性质方面进行类比，就属于结构类比。

通过“学一学”，学生们知道类比法是科学研究的重要方法。它帮助人们由事物的已知性质来推测事物的未知性质；使抽象的理论形象化、具体化，为了更加深刻体会类比法，联系所学数学知识，对等差数列、等比数列进一步辨析。

【辨一辨】

问题1　回顾等差数列、等比数列的定义可知，将等差数列的定义中的“差”改为“比（商）”、“公差”改为“公比”即得等比数列的定义。通过类比还能得到“等差数列”与“等比数列”的很多联系，你能类比出哪些关系呢？

学生从定义、通项、中项、性质、求和等类比中得到结论：“和”与“积”、“差”与“商”、“积”与“乘方”、“商”与“开方”的运算类比，为更好地应用，进入“练一练”阶段学习。【练一练】

（2）类比（1）中的结论，相应地在等比数列b｛} n中，写出一个类似的真命题，并加以证明。

通过类比，不但发现新的结论，而且得出证明的方法。在两个问题的分析过程中，学生对等差数列、等比数列的类比学习理解较深刻，所以选用平面与空间的问题进行类比，进入最后“议一议”阶段。

【议一议】

问题4　平面与空间分划的类比

在平面分划问题上，把直线与抛物线或圆三者类比，就不能得到正确的结论。因为直线与抛物线的相似程度太低：只有一点是相似的，即都是无限延伸的“线”；而直线与圆的相似程度也很低；只有“线”这一点是相似的。

如果把直线对平面的分划与平面对空间的分划进行类比，相似度就高得多，那就是直线与平面类比，平面与空间类比。

首先，直线与平面都可以用一次方程表示；其次，直线和平面的“直”和“平”及无限延伸性和无限延展性相似；还有其他一些相似的性质，如不重合的两点确定一直线与不共线的三点确定一平面，等等。

表现在分划结果上具有较大相似性：直线分划平面，在直线条数为1时，分划平面为2¹个部分；直线条数为2时，分划平面最多为2²个部分；当直线条数为3时，不再表现为分划成2³个部分，而是2³- 1个部分。平面分划空间，在平面数为1时，分划空间为2¹个部分；平面数为2时，最多把空间分划为2²个部分；平面数为3时，最多把空间分划为2³个部分；当平面数为4时，平面把空间分划的部分数，不再表现为2⁴个，而是2⁴- 1个部分。

在学习过程中，学生体会到：类比方法可以帮助我们发现新的数学知识和获得解题思路，把所学知识进行整合，收获自然更多。

案例二　特殊与一般的教学片段

问题　画出一元二次函数y= x²- 2x- 3的图像，并观察x取何值时，函数值：（1）大于0；（2）等于0；（3）小于0。

并讨论一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系。

从上面特殊问题入手，推导一般结论，体会数学问题的实质。用图3-5反映二次函数、二次方程、二次不等式的相互作用，感受连接三个“二次”的纽带是坐标思想，三个“二次”关系的实质是数形结合思想方法。

图3-5

五、《高中数学思维方法》课程教学的初步成效

1.学习数学思维方法课程，提高学生学习兴趣

课堂教学中采用“想一想”、“学一学”、“议一议”、“练一练”、“辨一辨”，激活了学生思维的空间，增加了思维的深度。在数学思维方法的学习过程中，教学方式不拘一格。采取了分组讨论、学生质疑、学生汇报交流等形式，学生动脑思考问题、到图书馆查阅资料、分享同学的交流成果等，调动了学生学习数学的积极性。谢天同学说：“我喜欢课前的‘想一想’栏目，具有自我挑战性。”

2.学习数学思维方法课程，开阔学生学习视野

学生了解了很多数学中的著名问题，如几何三大尺规作图问题、七桥问题、哥德巴赫猜想、四色猜想，激发了学生进一步学好数学的信心和决心。发掘数学中富有人文气息的素材，如圆周率的发展、丢番图、阿基米德的墓碑、百牛定理、无理数、四元数的产生等，让学生在数学故事中经历数学发展的曲折过程，领悟数学的无穷魅力。

3.学习数学思维方法课程，提升学生数学素养

由给出的问题变换题目的条件和结论，变成新的数学问题。知道了什么是好的问题。钱一心同学在她的体会中讲：“我学习了数学猜想的方法后，对我学习数列内容帮助很大，同学们都认为数列难学，我却感到很有趣。”

六、《高中数学思维方法》课程进一步思考的问题

1.在教学中注重渗透思维方法

由于数学思维方法课具有时间、人员等的局限性，所以更要在平日教学中有机渗透和培养思维方法。在概念、公式、法则等学习中，努力揭示其发生、发展和应用的全过程，揭示数学的本质，努力发掘其中蕴含的数学思想和数学方法，加深学生对数学基础知识的掌握和数学问题的理解，提高学生学习数学的积极性。

2.在教学中注重问题设计

数学是思维的科学，数学也是思维的体操，学生的数学学习始于模仿，并以创造为目的，这就是创造新思维，课堂教学是人与人之间的对话，其本质就是思维与思维的碰撞，这就要求教师从问题的引入到课堂的小结，从课堂的讲解到板书的设计，从课堂的提问到小组的讨论，都要进行充分设计，有一定的思维量。

3.在教学中注重锻炼学生的思维能力

学生的思维是任何人都代替不了的，哪怕思考时间长一些、哪怕思考的问题有问题，只有学生亲自经历的思维过程，才能记忆牢固，理解深刻，思维才能得到历练。所以要克服急功近利思想，不要以教师的思维代替学生的思维，也不能以部分学生的思维代替全体学生的思维，要给学生在课堂内留有思考时空，把培养学生思维能力真正落到实处。

参考文献

［1］郭思乐.数学思维教育论［M］.上海：上海教育出版社，1998

［2］陈鼎兴.数学思维与方法［M］.南京：东南大学出版社，2003

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［7］曹才翰，章建跃.数学教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，2001

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