案例分析的实践与思考

案例分析的实践与思考

王　伟

一、问题的提出

《新课程标准》在包括宁夏在内的四省市已实施两年。此次课改，从课程的目标、结构、内容、实施、评价和管理等方面都有重大的创新和突破。数学学科更为突出，从对数学的描述、数学目标、学习内容、评价方法等方面都有了重大变化，通过我校两年来对人教版数学教材的试验，我深深感觉到：

（1）再好的课程标准、再好的教材、再好的学习方案，没有理解并能正确引导学生学习的教师，对数学课程改革的实施来说都是纸上谈兵。数学教师对新课程理念的理解、对数学课程标准精神的领会、对教材的把握，都对数学课堂的实效性起到关键的作用。因此，需要教师认真研读教材，发挥自我的能动性，将新课标的理念和精神贯穿于教学的全过程。

（2）《高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）明确指出：“数学课程其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学的理解与支持的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面都得到进步和发展”。因此，我们的课堂需要在教师的组织引导下使学生积极参与教学活动，将知识学习与能力提高落到实处。

本文以案例为素材，谈谈在新课程实施中如何剖析教材，以学生为主体展开教学活动，提高课堂效益。

二、案例分析

案例1：“对数概念”的教学，教材的背景知识是：截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在1％，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿……该如何解决呢？教材的设计意图是从实际背景出发，引发矛盾，从而为概念的建立搭建平台。但这一引例的难点在于学生对设未知数列等式掌握的不好，因而他的注意力一开始全集中的例题的解法上，而对“对数的概念”无暇顾及。由此例引出概念，只是教材与教师的一厢情愿，忽视了学生原有知识结构的差异性和接受新知识的层次性，将新概念强制地灌输到学生的头脑中去，学生只能被动的接受这一定义而未能内化，课堂的实效性差。针对高一学生习惯于形象思维，教学中我采用类比的方法，从互逆运算入手，激发学生学习数学兴趣和信心，提出问题链：（1）观察下列等式，你发现了什么？

（2）你还有其他互逆运算的例子提供大家吗？这样通过类比，很顺利的过渡到指数与对数的互逆运算关系的研究，既培养了学生良好的思维品质，也沟通了数学概念间的内在联系，使“数学美”得以完善。

案例1给我的启示是：

（1）知识并不能简单的由教师传授给学生，而只能由每个学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构。传统的教师一言堂，虽然课堂进程顺利，但在这种表面的“繁荣”之下，教师对学生真实的思维活动的了解是肤浅的，学生真实情况被掩盖着，那样的学习只能是被动的和接受性的。在教学中，我发现，学生在数学学习中存在着显著的个性差异。学优生在学习和理解数学时，能对新知识进行主动地分析和加工，因而在记忆数学符号时就能自觉地对数学符号表示的相关内容进行处理，使自己认知结构中相关的概念、公式、定理形成了网状排列，使新知识与旧知识保持了一定的连续性；而学习困难的学生的记忆基本上是块状结构，即学什么就记什么，从不思考不同的数学符号所表达的相同的内容，他们记忆的大量数学符号是相互孤立的，即使有联系也是混乱和松散的，有时还是错误的，因此在回忆和提取时往往显得忙乱和无效。

（2）课本的编排未必都是合理的，教科书提供的实例只是为了说明指数幂推广到有理数的必要性，但忽略了问题本身带给学生理解上的困难，也没有从本质上揭示概念产生的数学背景。因此，教师要有很好的处理教材的能力，敢于对教材作大胆的教学设计。实践证明，这样的设计学生易于接受新的概念，也易于形成合理的知识结构。

（3）好的课堂教学，需要从好的问题开始，为学生思考、探索、发现和创新提供尽可能大自由空间，让学生在教师创设的问题情境中，学会观察、分析、揭示和概括，从而对学生的主动建构提供帮助和促进。

案例2：在一节《抛物线习题课》上，出示问题：已知直线y=kx-x及抛物线y²=2px…（p＞0），则直线与抛物线的交点个数为（），学生解答。

意图：本题易于理解，学生可以从不同的角度去解决，但不同的思考其思维的层次有显著的差异。

在案例2的教学中，教师首先给出了一种常规的解法。

在我认为解法很合理的时候，有几位同学已经跃跃欲试了，下面让我们听听同学的解法吧：

［解法2］：∵直线y=kx-x过点（1，0），点（1，0）在抛物线y²=2px…（p＞0）的内部，故当k=0时，直线与抛物线有一个公共点；当时，直线与抛物线有两个公共点。

［解法3］：分析直线的斜率，当k＞0时，直线过一、三、四象限，必与抛物线有两个交点；当k=0时，y=0是对称轴，直线与抛物线有唯一的交点；当k＜0时，直线过一、二、四象限，与抛物线有两个交点，所以直线与抛物线有一个或两个交点。

案例2给我的体会是深刻的：学生有巨大的潜能有待我们去挖掘。现代的课堂，已不再是教师的权威课堂，有很多知识需要我们向学生学习。教学过程应是教学相长，师生共同进步的过程。学生的解法表明，部分同学的思维是简洁的、发散的，但大部分同学已有的知识和经验未必能提供新认识活动的足够基础，他们已习惯于教师的灌输和引导。在学校学习的这种特定环境下，教师仍需发挥积极的启发或引导作用：如本案例，在学生成功地解决了问题以后帮助学生做出必要的总结，从而使之从不自觉的行为上升为自觉的行为，特别是在思维方法上更能有所收获。

案例3：函数符号“f”的教学片断。

1.提供函数概念的发展简史，“变量说”在解决某些问题上的困惑，以“平方机”的趣例引入对应。

2.提出问题：若是“2倍机”、“倒数机”，又会是什么情景呢？这些对应的共同特点是什么？

3.你能从集合、对应的角度给函数下定义吗？

4.师生共同分析、讨论，给出函数的定义。

5.你对符号“f”有怎样地理解和认识？（教学中给学生充分的思考时间，集体讨论），如：

学生一：只要是A中的元素，经过“f”这个暗箱，一定会变成B中的元素，即f（x）=y∈B；

学生二：f的作用是将A中的元素按一定的要求加工成B中的元素，是一种规则；

学生三：y=f（x）与y=ab是不同的，它不表示f与x的乘积，而是将x通过f的作用转变成B中的元素y。如f（x）=x2，f作用是平方；f（x）=2x+1，f作用是2倍加1等；

学生四：A中的每一个元素在f的作用下都能找到B中的元素与之对应，而且是唯一的一个元素；但B中的元素却不一定都在A中能找到对应的元素，即使找到了，也不一定唯一；

学生五：我注意到f：A→B与f：B→A是不一样的……

课堂因学生的思考和思辨而充满活力，学生对函数符号“f”的认识，逐渐从形式走向实质的理解。课后反馈表明，上述系列问题的探讨，不仅解决了问题本身，更可贵的是唤起了学生使用数学符号的意识。一学生在课后反思中写道：我原来的学习知识机械的记忆数学概念、公式、法则中的每一个字词及记号，不理解其内在含义，将符号及表达式与数学对象、数学关序割裂。现在我认识到，每一个数学符号都有其意义，只有“形”与“意”相结合，才能正确理解数学概念。

［案例5］：符号“∈”与“”的区别。提供习题组，用“∈”与“”填空，并说明理由。①0__{0}；②0__{1}；③__{0}；④{0}__{0，1}；⑤__{}；⑥0__{}。

学生通过这些类似材料作比较，分辨各类问题的实质，在头脑中形成分化。用同学的话说：“在不断的比较、辨析中，我分清了两个符号的不同。我想学习中要学会比较，经常将现在所学与过去的知识比较异同，数学知识就会形成知识网络，有机的结合起来。”

可见，在数学知识的形成过程中，通用、精确、简约的数学符号语言是其重要特征，当我们在使用大量数学符号带领学生遨游数学世界时，千万不要忽视学生学习数学符号中存在的困惑和疑难。学习这类符号语言，必须理解概念的本质意义，把握概念的内涵和外延。学生对概念本质意义的抽象过程，对概念外延的概括过程体验越深，对这类符号语言的抽象概括意义就理解得越透彻，概念也就掌握得越牢。

新课标加强了对数学思想方法的渗透，对数学文化给予很大的关注，教学中不仅需要知识的传授，还要让学生受到数学文化的熏陶，提高科学文化素质。数学教学的本质是“思维过程”，学生学习“主动”还是“被动”，是指思维是否活动或思维活动的质量。课堂教学学生活动实效性的一个重要标志是学生的数学思维是否展开、活跃与深化。

通过案例分析，笔者认为，改进学生的学习方式，有必要从教学中好的问题开始，教会学生发现问题的方法。以问题引导学生应成为数学教学的一条基本原则。要使学生“看过问题三百个，不会解题也会问”。通过恰时恰点的提出好问题，使学生领悟到发现和提出问题的艺术，引导他们更加主动、有兴趣的学，富有探索的学，培养问题意识，孕育创新精神。

总之，新课程标准的实施，必将带给课堂教学以深刻的变革。每一位处于变革年代的教师，都应积极做好准备，迎接新课程。用自己的智慧和教学实践，使每一位学生都拥有：一双能用数学视角观察世界的眼睛；一个能用数学思维思考世界的头脑；一副为谋国家富强人民幸福的心肠。

参考文献

〔1〕章建跃，当前数学课改中的一些问题

〔2〕马复，设计合理的数学教学

〔3〕孔启平，数学新课程与数学学习