年金现值和终值计算公式百科

拿破仑的“玫瑰花承诺”

拿破仑1797年3月在卢森堡第一国立小学演讲时说了这样一番话: “为了答谢贵校对我，尤其是对我夫人约瑟芬的盛情款待，我不仅今天呈上一束玫瑰花，并且在未来的日子里，只要我们法兰西存在一天，每年的今天我将亲自派人送给贵校一束价值相等的玫瑰花，作为法兰西与卢森堡友谊的象征。”时过境迁，拿破仑穷于应付连绵的战争和此起彼伏的政治事件，最终惨败而流放到圣赫勒拿岛，把卢森堡的诺言忘得一干二净。可卢森堡这个小国对这位“欧洲巨人与卢森堡孩子亲切、和谐相处的一刻”念念不忘，并载入他们的史册。1984年底，卢森堡旧事重提，向法国提出违背“赠送玫瑰花”诺言的索赔: 要么从1797年起，用3路易作为一束玫瑰花的本金，以5厘复利(即利滚利)计息全部清偿这笔“玫瑰花”债; 要么法国政府在法国政府各大报刊上公开承认拿破仑是个言而无信的小人。

起初，法国政府准备不惜重金挽回拿破仑的声誉，但却又被电脑算出的数字惊呆了:原本3路易的许诺，本息竟高达1375596法郎。

经苦思冥想，法国政府斟词酌句的答复是: “以后，无论在精神上还是在物质上，法国将始终不渝地对卢森堡大公国的中小学教育事业予以支持与赞助，来兑现我们的拿破仑将军那一诺千金的玫瑰花信誉。”这一措辞最终得到了卢森堡人民的谅解。

请同学们思考:

(1)什么是资金时间价值?

(2)资金时间价值又是什么表现形式?

(3)资金时间价值如何计算?

(4)为何本案例中每年赠送价值3路易的玫瑰花相当于在187年后一次性支付1375596法郎?

(5)今天的100元钱与一年后的100元钱等价吗?

一、资金时间价值的概念

自2008年12月23日起，5年期以上的商业贷款利率从原来的6．12%下降为5．94%，以个人住房商业贷款50万元(20年)计算，降息后每月还款额将减少52元。但即便如此，在2008年12月23日以后贷款50万元(20年)的购房者，在20年中，累计需要还款85．5万多元，需要多还银行35万余元，这就是资金的时间价值在其中起的作用。

要真正了解资金时间价值，必须了解其产生的前提条件。从整个经济发展的历史看，商品经济产生以前不可能产生资金的时间价值，而只有在高度发达的商品经济里，在出现借贷关系使资本的所有权和经营权暂时分离的情况下，资金的时间价值才能够产生。货币资本的所有者将自己拥有的资本借贷出去，以期在将来收回本金并按照借贷合同规定的利息率收取利息。在这必须明确，利息作为剩余价值的一部分，是由货币资本所有者的所有权产生的，要想获得这一利息，货币资金必须被投放于盈利的生产经营活动中，否则其数量不会改变，价值也不会增值，更不会产生资金的时间价值。也就是说，货币只有在投资的条件下经过一定时间才能增值。

资金时间价值又称货币时间价值，是指货币经历一定时间的投资和再投资后所增加的价值，也就是说，在没有风险和通货膨胀的情况下，投资100元用于经营，一年后其价值一定多于100元，也就是说现在的100元与一年后的100元是不相等的。

资金的时间价值是企业生产经营活动中客观存在的现象，所以企业在从事财务活动过程中必须考虑资金的时间价值。比如，企业将一定数量的资金投入生产经营中，通过购买原材料、生产产品、销售等一系列活动获得利润。在这段时间中，资金完成了一次循环，实现了价值增值。可见，随着时间的推移，资金总量在循环和周转中呈几何级数增长，资金时间价值的实质是资金周转使用后的增值额，投入生产经营过程的时间越长，周转的速度越快，资金的时间价值就越大。

资金时间价值的计量有绝对数和相对数两种形式。由于绝对数的计算结果在不同货币规模下不可比，因此资金时间价值的衡量大多采用相对数形式，即资金价值的增长幅度，在生活中大多数以利率或投资报酬率来表示。货币在经过一段时间(比如一年)后其价值的增长幅度究竟有多大? 根据马克思主义的观点，资金时间价值是没有风险和通货膨胀状态下的社会平均资本报酬率。这是因为，在完全竞争市场经济条件下，资本是完全流动的，这使得各类资本家的投资报酬率达到完全相同，银行资本家也得到产业资本家一样的报酬(不考虑风险和通货膨胀)。现实生活中，由于风险和通货膨胀不可能完全不存在，因此资金时间价值近似地等于短期国库券的利息率。资金时间价值一般是用利率或折现率、贴现率来表示。

资金时间价值对财务管理有决定性影响。它使得人们在进行投资、筹资等各种决策时，要充分考虑资金时间价值因素，将各个不同时间段的现金流量进行对比，发现各种财务活动对企业价值的影响，从而寻求最优决策。

二、资金时间价值的计算

(一)一次性收付款项终值与现值的计算

由于企业财务活动中收付款的特征不同，因此资金时间价值的计算比较复杂，我们首先讨论一次性收付款的资金时间价值计算。

一次性收付款项是指在某一特定时点上一次性支出或收入，经过一段时间后再一次性收回或支出的款项。例如，现在存入银行一笔现金1000元，5年后一次性取出本利和。资金时间价值的计算，涉及两个重要的概念，即终值和现值。终值又称将来值，是指现在一定量资金在未来某一时点上的价值，亦称本利和。现值又称本金，是指未来某一时点上的一定量资金折合到现在的价值。由于终值和现值的计算同利息的计算方法有关，而利息的计算又有复利和单利两种，因此，终值与现值的计算也有复利和单利之分。在财务管理中，一般按复利计算。

1． 单利终值与现值的计算

单利方式下，每期都按原始本金计算利息，当期利息即使不取出也不计入下期本金，计息基础不变，即只是本金计算利息，所生利息均不加入本金计算利息。通常用P表示现值，F表示终值，i表示利率，n表示计息的期数。无特殊说明，给出的利率均为年利率。

单利终值的计算公式: F=P+P×i×n=P×(1+i×n)

单利现值的计算公式: P=F/(1+n×i)

例1－1 张先生存入银行15万元，若银行存款利率为5%，求5年后的本利和。(采用单利计息)

解: F =P+P×i×n=P×(1+i×n) =150000+150000×5%×5

=150000×(1+5%×5) =187500(元)

例1－2 某人存入银行一笔钱，希望5年后得到20万元，如果银行存款的年利率为5%，要求计算此人现在需存入银行多少元。

解: P=F/(1+n×i) =200000/(1+5%×5) =160000(元)

2． 复利的终值与现值的计算

复利方式下，以当期期末本利和为计息基础计算下期利息，即不仅本金要计算利息，利息也要计算利息。

(1)复利终值的计算。复利终值是指一定量的本金按复利计算的若干年后的本利和。

设现有一笔资金，共计金额为P，存期为n年，年利率为i，则n年后的终值F为:

第1年年末的本利和为: P×(1+i)

第2年年末的本利和为: P×(1+i) +P×(1+i) ×i=P×(1+i)2

第3年年末的本利和为: P×(1+i)2+P×(1+i)2×i=P×(1+i)3

……

第n年年末的本利和为: P×(1+i)n

因此，复利终值的计算公式为:

F=P×(1+i)n

式中，(1+i)n在财务管理学上称为复利终值系数，我们用符号(F/P，i，n)表示，它是计算复利终值的主要参数，其数值可查阅1元复利终值系数表(附表一)。上述复利终值的计算公式也可写作:

F=P×(F/P，i，n)

例1－3 王先生买彩票中奖100000元，他想将这笔钱存入银行，以便将来退休时使用。假设张先生还有10年退休，年存款利率2%，如果按复利计算10年后王先生退休时能获得多少元钱?

解: F=100000×(1+2%)10=100000×(F/P，2%，10)

=100000×1．219=121900(元)

上式中(F/P，2%，10)表示利率为2%，期限为10年的复利终值系数。在复利终值系数表上，我们可以从横行中找到利率2%，纵列中找到期数10，纵横相交处，可查到(F/P， 2%，10) =1．219。该系数表明，在年利率为2%的条件下，现在的1元相当于10年后的1．219元。

将单利终值和复利终值比较发现，在第一年，单利终值和复利终值是相等的，从第二年以后，单利终值和复利终值不相等，这是因为从第二年开始，每年应按上期本利和为计息基础计算本期利息。

(2)复利现值的计算。所谓复利现值是指将来某一特定时间取得或支出一定的资金，按复利折算到现在的价值。

由复利终值的计算公式可推出复利现值的计算公式为:

P=F/(1+i)n=F×［1/(1+i)n］=F×(1+i)－n

式中，(1+i)－n在财务管理学中称为复利现值系数。我们用符号(P/F，i，n)表示，它是计算复利现值的主要参数，其数值可查阅1元复利现值系数表(附表二)。上述复利现值的计算公式也可写作:

P=F×(P/F，i，n)

例1－4 银行年利率为8%，吴女士想在3年后得到100000元，请问吴女士现在应存入银行多少元。

解: P =F×(P/F，i，n) =100000×(P/F，8%，3)

=100000×0．7938=79380(元)

上式中的(P/F，8%，3)表示利率为8%，期限为3年的复利现值系数。同样，我们在复利现值系数表上，从横行中找到利率8%，纵列中找到期限3，纵横相交处，可查到(P/F，8%，3) =0．7938。该系数表明，在年利率为8%的条件下，3年后的1元相当于现在的0．7938元。

(二)年金(等额系列收付款项)终值和现值的计算

在日常经济生活中，我们经常会遇到有企业或个人在一段时期内定期支付或收取一定量资金的现象。比如，大学生在大学四年中，每年要支付金额大致相等的学费; 租房户每月要支付大致相同的每月租金。这种现金的收付与平常的一次性收付款相比有两个明显的特点，一是定期收付，即每隔相等的时间段收款或付款一次; 二是金额相等，即每次收到或付出的资金金额相等。

在财务管理学中我们把这种定期等额的系列收付款项叫做年金。例如，按直线法计提的固定资产折旧、定期支付的保险费、养老金等都属于年金问题。

年金具有连续性和等额性的特点。连续性要求在一定时期内间隔相等时间就要发生一次收付业务，中间不得中断; 等额性要求每期收、付款项的金额必须相等。

年金根据每次收付款项发生的时点不同，可分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种。

1． 普通年金终值和现值的计算

普通年金又称后付年金，是指从第一期开始，在一定时期内每期期末发生的等额系列收付款项。

普通年金的资金时间价值计算有两个方面: 普通年金的终值和现值。

(1)普通年金终值的计算。普通年金终值就是每期末收入或支出“等额款项”的复利终值之和。设每年的等额款项为A，利率为i，期数为n，其计算方法如图1－1所示。

由图1－1可知，普通年金终值的计算公式为:

F=A×(1+i)0+A×(1+i)1+A×(1+i)2+…+A×(1+i)n－1 (1)

先将(1)式两边同时乘上(1+i)得:

(1+i) ×F=A×(1+i)1+A×(1+i)2+A×(1+i)3+…+A×(1+i)n (2)

再将(2)式减(1)式得:

(1+i) ×F－F=A×(1+i)n－A

F=A×［(1+i)n－1］/i

图1－1

式中的［(1+i)n－1］/i是普通年金为1元、利率为i、经过n期的年金终值系数，记作(F/A，i，n)，可查阅“年金终值系数表”。上述年金终值的计算公式也可写作:

F=A×(F/A，i，n)

例1－5 小王是位热心于公众事业的人，自1995年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款。小王向这位失学儿童每年捐款1000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小王九年捐款在2003年底相当于多少钱?

解: F=A×［(1+i)n－1］/i=1000×［(1+2%)9－1］/2%=9754．6(元)

或: F=1000×(F/A，2%，9) =1000×9．7546=9754．6(元)

(2)年偿债基金的计算。计算年金终值是已知年金求终值，有时还会碰到已知年金终值，反过来求每年支付的年金数额，这就是年金终值的逆运算，我们可以把所求的年金称作年偿债基金。根据年金终值的计算公式可推导出年偿债基金的计算公式如下:

上式中:称作“偿债基金系数”，记为(A/F，i，n)，它是年金终值系数的倒数。

上述偿债基金的计算公式也可写作:

例1－6 某企业有一笔4年后到期的借款，到期值为1000万元。若存款年复利率为10%，为偿还该项借款应建立的偿债基金为多少?

这是已知年金终值求年金，也就是求年偿债基金。即已知: F=1000，i=10%，n=4，求A=?

解: A=1000/4．6410=215．5(万元)

(3)普通年金现值的计算。普通年金现值是指一定时期内每期期末收付款项的复利现值之和。其计算方法如图1－2所示。

由图1－2可知，普通年金现值的计算公式为:

P=A×(1+i)－1+A×(1+i)－2+A×(1+i)－3+…+A×(1+i)－n (3)

先将(3)式两边同时乘上(1+i)得:

(1+i) ×P=A×(1+i)0+A×(1+i)－1+A×(1+i)－2+…+A×(1+i)－(n－1) (4)

图1－2

再将(4)式减(3)式得:

P×i=A×［1－(1+i)－n］

P=A×［1－(1+i)－n］/i

式中［1－(1+i)－n］/i是普通年金为1元、利率为i、经过n期的年金现值系数，记作(P/A，i，n)，可查阅“年金现值系数表”得到。上述年金现值的计算公式也可写作:

P=A×(P/A，i，n)

例1－7 某投资项目于2000年初动工，设当年投产，从投产之日起每年可得收益40000元。按年利率6%计算，计算预期10年收益的现值。

解: P =40000×(P/A，6%，10) =40000×7．3601=294404(元)

(4)年资本回收额的计算。上题是在已知年金的条件下计算年金的现值。如果已知年金现值，反过来求年金，这是年金现值的逆运算，我们可以把所求的年金称作年资本回收额。根据年金现值的计算公式可推导出年资本回收额的计算公式如下:

例1－8 甲公司现在借得1000万元的贷款，在10年内以利率12%偿还，则该公司每年应付的金额为多少?

解: A =P×(A/P，i，n) =P/(P/A，i，n) =1000/5．650=177(万元)

2． 预付年金的计算

与普通年金不同，预付年金是指从第一期开始，在一定时期内每期期初发生的等额系列收付款项，也称先付年金或即付年金。预付年金在现实生活中也很多。如租房户每个月在月初支付房租，学生在学期开学支付学费等等。

预付年金资金时间价值的计算包括两个方面: 终值和现值。

(1)预付年金终值的计算。预付年金的终值和普通年金终值的计算思路相似，都是将每次收付款折算到某一时点的复利终值，然后再将这些复利终值求和。但由于预付年金和普通年金的收付款时间不同，因此二者的计算也有所区别。

我们首先将二者的资金收付时间用图1－3表示。

图1－3

从图1－3中我们可看出，预付年金和普通年金相比，相当于整个现金收付向前提前了一年，因此与普通年金相比，如果计算终值，预付年金的终值要比普通年金终值多计算一期的利息。因此，在n期普通年金终值的基础上乘上(1+i)就是n期预付年金的终值。我们现在推导预付年金的终值计算公式:

经整理得到预付年金终值的计算公式:

式中:称作预付年金终值系数，它是在普通年金终值系数的基础上，期数加1，系数减1所得的结果。也可记为［(F/A，i，n+1) －1］。这样，通过查阅1元年金终值系数表可得到(n+1)期的普通年金终值系数，然后减1便可得到对应的预付年金终值系数。因此预付年金终值的计算公式也可用下式表示:

F=A×［(F/A，i，n+1) －1］

例1－9 为给儿子上大学准备资金，王先生连续6年于每年年初存入银行3000元。若银行存款利率为5%，则王先生在第6年末能一次取出本利和多少钱?

解: F =A×［(F/A，i，n+1) －1］=3000×［(F/A，5%，7) －1］

=3000×(8．1420－1) =21426(元)

或者:

F=A×(F/A，i，n)(1+i) =3000×6．8019×(1+5%) =21426(元)

(2)预付年金现值的计算。预付年金的现值和普通年金现值的计算思路相似，都是将每期期初的收付款折算到现在的现值，然后再将这些现值求和。但由于预付年金和普通年金的收付款时间不同，n期预付年金现值比n期普通年金现值少折现一期。因此，在n期普通年金现值的基础上乘以(1+i)，便可求出n期预付年金现值。其计算公式推导如下:

经整理得到预付年金现值的计算公式:

式中:称作预付年金现值系数，它是在普通年金现值系数的基础上，期数减1，系数加1所得的结果。也可记为［(P/A，i，n－1) +1］。这样，通过查阅普通1元年金现值系数表可得到(n－1)期的普通年金现值系数，然后加1便可得到对应的预付年金现值系数。因此预付年金现值的计算公式也可用下式表示:

P=A×［(P/A，i，n－1) +1］

例1－10 张女士采用分期付款方式购入商品房一套，每年年初付款15000元，分10年付清。若银行利率为6%，该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少?

解: P =A×［(P/A，i，n－1) +1］=15000×［(P/A，6%，10－1) +1］

=15000×(6．8017+1) =15000×7．8017=117025．5(元)

3． 递延年金的计算

递延年金是指第一次收付款发生的时间不是从第一期开始，而是隔若干期(设为m期， m≥1)后才开始发生的等额系列收付款项，如图1－4所示。它是普通年金的特殊形式。

图1－4 递延年金

(1)递延年金的终值。图1－4清晰地显示，递延年金在终值计算上与递延期无关，没有特殊性，可以按照普通年金计算终值。即: F=A×(F/A，i，n)。

例1－11 某企业年初投资一项目，估计从第五年开始至第十年，每年年末可得收益10万元，假定年利率为5%，请计算该项目到第十年年末可得到多少收益。

解: F=10×(F/A，5%，6) =10×6．8019=68．019(万元)

(2)递延年金的现值。递延年金在现值计算上，因为递延期的存在，与普通年金现值的计算有所不同。递延年金现值可以用如下两种方法来计算:

方法一: “二阶段计算”方式。所谓“二阶段计算”方式是指先把递延年金视为n期普通年金，求出递延期末的现值，然后再将此现值调整到第一期期初。即:

P=A× (P/A，i，n) ×(P/F，i，m)

方法二: “假设计算”方式。所谓“假设计算”方式是指假设递延期内也发生年金，即变成一个(m+n)期的普通年金，求出(m+n)的普通年金现值; 然后扣除虚构的递延期内m期的年金现值，即可求得递延年金现值。即:

P=A×［(P/A，i，m+n) －(P/A，i，m)］

例1－12 吴女士向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为8%，银行规定前10年不用还本付息，但从第11年至第20年每年年末偿还本息1000万元，问这笔款项的现值应为多少。

解: P =1000×(P/A，8%，10) ×(P/F，8%，10)

=1000×6．7101×0．4632=3108．12(万元)

或: P =1000×［(P/A，8%，20) －(P/A，8%，10］

=1000×［9．8181－6．7101］=3108(万元)

两种计算方法相差0．12万元，是因小数点的尾数造成的。

4． 永续年金的计算

永续年金是指无限期等额收付的年金，也称永久年金。可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。英国和加拿大有一种国债就是没有到期日的债券，这种债券的利息可以视为永续年金。绝大多数优先股因为有固定的股利而又无到期日，因而其股利也可以视为永续年金。另外，期限长、利率高的年金现值，可以按永续年金现值的计算公式计算其近似值。

由于永续年金持续期无限，没有终止的时间，因此没有终值，只有现值。通过普通年金现值公式可推导出永续年金现值的计算公式为:

当n→+∞时，(1+i)－n→0。

故: P=A/i

例1－13 归国华侨吴先生想支持家乡建设，特地在祖籍所在县设立奖学金。奖学金每年发放一次，奖励每年高考的文理科状元各10000元。奖学金的基金存在中国银行该县支行。银行一年的定期存款利率为2%。问吴先生要投资多少钱作为奖励基金。

解: 由于每年都要拿出20000元，因此奖学金的性质是一项永续年金，其现值应为:20000/2%=1000000(元)。也就是说，吴先生要存入1000000元作为基金，才能保证这一奖学金的成功运行。