复利的终值和现值

在财务决策中，我们首先要估算或确定一项投资或筹资机会的现金流量，而后再根据相应的利率 （或折现率）将不同时点的现金流量调整为同一时点的现金流量。因此，资金时间价值计算的对象是现金流量。

现金流量可分为单笔现金流量和系列现金流量两种。不同时点的现金流量既可以调整为现值，也可以调整为终值。现金流量的现值就是该现金流量现在的价值，用P来表示。与现值相对应的是终值，用F来表示，是指现在的现金流量相当于未来时刻的价值，可以计算该现金流量1年后的终值、1个季度后的终值……未来任意时点的终值。

在资金时间价值计算中有两种利息计算方式：单利和复利。单利计息是只有本金计算利息，利息不再计算利息。复利计息是指不仅要对本金计息，而且对本金所生利息也要计息，俗称 “利滚利”。在复利计算利息时，隐含着这样的假设：每次计算利息时，都要将计算的利息转入下次计算利息时的本金，重新计算利息，这是因为债权人每次收到利息，都不会让其闲置，而是重新借出，从而扩大自己的资金时间价值。

1.复利终值

复利终值计算公式为：

F＝P（1＋i）n（2－1）

公式（2－1）中的（1＋i）n是现值为1元、利率为i、期限为n的复利终值，通常称为“复利终值系数”，用符号表示为 （F／P，i，n），可以通过直接查阅 “复利终值系数表”获得。例如， （F／P，5％，8）表示利率为5％的8期复利终值系数，查表可知该系数为1.4775。公式 （2－1）也可写作：

F＝P（F／P，i，n）

【例2－1】 小李将10000元存入银行，存期为3年，银行年利率为4％，如图2－1所示，问3年后小李能取出多少钱？

图2－1 例2－1图示

解：

F＝P（1＋i）n＝10000×（1＋4％）3＝10000×1.1249＝11249（元）

或：

F＝P（F／P，4％，3）＝10000×1.1249＝11249（元）

2.复利现值

复利现值是复利终值的逆运算，计算公式为：

P＝F／（1＋i）n＝F（1＋i）－n（2－2）

公式（2－2）中的（1＋i）－n是终值为1元、利率为i、期限为n的复利现值，通常称为“复利现值系数”，用符号表示为 （P／F，i，n），与复利终值系数互为倒数，可以通过直接查阅 “复利现值系数表”获得。例如，（P／F，6％，15）表示利率为6％的15期复利现值系数，查表可知该系数为0.4173。公式 （2－2）也可写作：P＝F（P／F，i，n）。

【例2－2】 小王计划3年后更换某品牌电脑，预计那时该品牌电脑的售价为5000元，目前银行年利率为3％，如图2－2所示，问小王现在需要一次性存入多少钱才能满足3年后的心愿？

图2－2 例2－2图示

解：

P＝F（1＋i）－n＝5000×（1＋3％）－3＝5000×0.9151＝4575.5（元）

或：

P＝F（P／F，3％，3）＝5000×0.9151＝4575.5（元）

时间、利率 （或折现率）与终值和现值间的关系如图2－3所示。在其他条件不变的情况下，现金流量的现值与折现率和时间呈反向变动，现金流量所间隔的时间越长，折现率越高，现值越小；现金流量的终值与利率和时间呈同向变动，现金流量时间间隔越长，利率越高，终值越大。

图2－3 时间、利率与终值和现值间的关系

3.名义利率与实际利率

在实务中，金融机构提供的利率通常为年利率。前面例2－1、例2－2的复利计算中，所涉及的利率均假设为年利率，并且每年复利一次。事实上，不同种类的投资要求不同的计息期，复利的计算期可以是一年、半年、一个季度、一个月或一天等多种情况。在进行复利计算时，利率或折现率必须是每个复利计算期对应的利率或折现率。假设复利计算期不是一年，而是一个月，那么应该将年利率换算为月利率进行复利计算。

【例2－3】 承前例2－1，小李将10000元存入银行，存期3年，银行年利率为4％，如图2－4所示，如果每季度复利一次，3年后小李能取出多少钱？

图2－4 例2－3图示

分析：

复利计算期为一个季度，共12期；每季度对应的利率为4％÷4＝1％。

解：

F＝P（F／P，i，n）＝10000×（F／P，1％，12）＝10000×1.1268＝11268（元）

按季度复利比按年复利多获得利息19（11268－11249）元。复利计息期越短，一年中按复利计息的次数就越多，利息额就越大。

如果年复利次数大于1，如每半年、每季度或每月复利一次，则按不同计息期计算的现值或终值就会发生很大差别。例2－3中，10000元存款的年利率为4％，1年复利1次的话，3年后的终值为11249元，1年复利4次的话，3年后的终值为11268元。如果复利次数可选的话，理性的投资者必然会选择后者，因为名义上的年利率都是4％，而实际上后者给投资者带来的利息更多，后者的真实利率更高。那这个真实利率是多少呢？如果按1年复利1次，仍能使小李3年后取出的本利和为11268元，则此时的年利率为小李存款的实际利率，又称为有效利率 （EAR）。我们把例2－3中给出的不考虑复利次数的年利率4％，称为名义利率。名义利率与实际利率的换算关系如下：

i＝（1＋r／m）m－1（2－3）

公式 （2－3）中，m为1年内复利的次数，i为实际利率，r为名义利率。

据公式（2－3）计算，例2－3中小李的实际存款年利率i＝（1＋4％÷4）4－1＝4.06％，也就是说，如果按照4.06％的年利率每年复利一次，小李3年后可取得11268元。

名义利率只有在给出明确的复利次数时才是有意义的，否则，仅仅有名义利率没有任何价值。

例如，名义利率为12％，10000元的本金，若是1年内复利2次，则1年后的终值为11236元；若复利4次，则1年后的终值为11255元。如果仅给出名义利率12％，但是没有给出年内复利的次数，则不能据此计算终值和现值。而实际利率则不同，只要知道了实际利率，就可以直接计算终值和现值。

例如，如果已知实际利率为12.36％，这就意味着如果存入100元钱到银行，在1年后肯定能得到12.36元的利息。

【例2－4】 本金10万元，投资8年，年利率6％，每半年复利一次，则本利和、复利息是多少？实际利率是多少？

分析：

半年利率i＝6％／2＝3％，期数n＝8×2＝16

解：

本利和：F＝P（F／P，i，n）＝100000（F／P，3％，16）＝100000×1.6047＝160470（元）

复利息：I＝160470－100000＝60470（元）

实际利率i＝（1＋6％／2）2－1＝6.09％

为了验证，按实际利率6.09％每年复利一次，8年后的本利和为160470元。我们做如下计算：

F＝P（1＋6.09％）8＝100000×1.6047＝160470（元），这样，计算出来的8年后的终值与按半年复利的结果完全一样。