年金的现值与终值计算

一、现金流

每种投资机会都可以用其产生的现金流作充分描述。简单地说,现金流就是支出或收入的款项,具有三个重要特征:一是现金流的大小或数量;二是现金流的方向;三是现金流发生的时间。收入的款项常称为现金流入,而支出的款项则称为现金流出。

财经工作人员在帮助客户讨论现金的流入(收入)和流出(支出)时,必须按照时间的顺序,列明现金的流动情况。这种按照时间顺序列明的现金流入量和流出量,称为现金流量。计算现金流量时,需要分析两个重要因素。一是时间间隔的长短,即时间上的联系;二是金额的高低,即价值上的联系。

现金流量计算或称现金流量分析,是为客户财务策划的第一步,是最基本的计算和分析方法。最典型的现金流量计算包括:终值、现值、年金、不等额年金、永久年金和递延年金等层面的计算。

用来描述某一特定投资的一整套现金流,通常称为现金流序列或收支序列。一个现金流序列可能是确切知道的,也可能不是确切知道的。现金流序列的确定性越大,则其相关的投资机会的风险就越小。

现在我们分别考虑以A和B代表的两个投资机会。它们从1年后开始提供现金流,到第4年末结束。投资A与投资B相比,提供的现金流合计较大。假设初始成本相同,投资A(从会计意义上)会提供较大的利润(或较小损失)。但这并不意味着从财务意义上讲,投资A就优于投资B。

二、时间价值

前面以投资A和投资B表示的现金流的财务价值,与会计利润并不等同。这是因为财务估值要明确地考虑现金流的时间价值,而会计利润却并非如此。也就是说,时间是具有价值的,而这种价值在现金流估值时必须明确地加以考虑。

由于不同时间单位货币的经济价值不同,所以不同时间单位的货币收入需要换算到相同时间单位的基础上才能作精准比较。货币的时间价值是指货币随着时间的推移,经过投资和再投资而获得的价值。在存在借贷关系的经济活动中,现在的1元钱与一年或几年后的1元钱的经济效用不相等。即使通货膨胀率为零,人们将当期的钱存入银行也能在未来时期获得利息。货币的循环和周转以及由此实现的货币增值,使货币总量随着时间的变化按几何级数增长。货币的时间价值从量的规定性来看,等于没有风险和通货膨胀率为零的情况下,社会平均的资金使用回报率。

(一)未来值

未来值(Future Value)即终值,指从当前时刻看,发生在未来某时刻的一次性支付(收入)的现金流量。它通常是把现在或未来某些时刻之前多次支付(收入)的现金额,按照某种统一利率(亦称“贴现率”)计算出的在未来某一时点的值。

1.单利终值和复利终值(simple interest future value&compounded future value)

终值按计算利息的方法不同可以分为单利终值和复利终值。

单利终值计算公式为:

F=P(1+in)

复利终值计算公式为:

F=P(1+i)n

式中,F为终值,P为现值,i为年利率,n为年数。

如某本金的当前值为1000元,年利率8%,期限为3年。如果利率按单利计,则3年后本金的终值为1000(1+3×8%)=1240元。如果利率按复利计,则3年后本金的终值为1000(1+8%)3=1259.71元。

2.周期性复利终值

在复利终值计算过程中,可以按年(如上例),也可以按半年、按季度、按月和按日等不同的周期计算复利,这称为周期性复利。按周期性计算复利的公式为:

式中,r为名义年利率,m为1年中计算复利的次数,n为年数。

如上例中复利按每季度计算,则3年后本金的终值为1000×(1+0.08/4)3×4=1268.24元。

(二)现值

未来的货币收入在目前时点上的价值就是现值(Present Value)。它既可以是未来一次支付(收入)的现金流量折算到现在的值,也可以是未来某些时刻多次支付(收入)的现金流量,按某种利率贴现到现在的价值。现值可以用符号P表示。假设未来的现金收入为F,即期利率为i,时期为n年,则:

单利现值可从单利终值公式中导出,单利现值计算公式为:

复利现值可从复利终值公式中导出,复利现值计算公式为:

式中的(1+i)-n称为现值系数,它只与贴现率和年限有关,也称为贴现因子。这个数值代表n年以后的1元钱,以贴现率i折算到现在的数值。

某个客户在3年后能获得1000元,年利率8%,如利率为单利,则3年后的1000元的现值为1000/(1+3×8%)=806.45元;如利率为复利,则3年后1000元的现值为1000/(1+8%)3=793.83元。

同样,对于周期性复利,其现值计算公式为:

若复利按每季度计算,则3年后1000元的现值为1000/(1+0.08/4)3×4=788.49(元)。

现值计算是终值计算的逆运算。简单地说,终值计算是现在一笔钱在未来某一时刻的本利和,而现值计算是将来一笔钱相当于现在的多少钱。这是现金流量计算和分析中最基本也最为重要的换算关系。

每个现金流都有相应的现值,所有现金流的现值都应当具有相同的时间做参考点,如当前时点,它们是可以直接相比较的,从而也就是可叠加的。把现值相加是确定总体价值的关键。求现值的和首先要分别确定每个现金流的现值,然后再将各个现值相加求和。

投资机会的成本常常是以当前零时刻支出的单独一笔现金的形式出现。我们假设两个投资机会在零时刻可以以12000元的成本得到。手中持有的12000元现金的现值,一定是12000元,我们很容易发现任何零时刻的现金流,无论是作为成本的现金流出,还是作为收入的现金流入,其现值一定与其自身相等。故而,这样的价值可以从已经得到的现值的总和中,直接加上(如果是正的)或者减去(如果是负的)。

随着年数增长,现值系数(1+i)-n将减少,同样一笔钱,离当期越远现值就越小。同时,随着贴现率提高,现值系数将减少,即同样一笔钱,贴现率越大现值就越小,反之亦然。

(三)现值计算

对于比较不同的收入流或支出流的价值大小,现值的概念是重要的。现金流现值的总和与零时刻成本间的差,被称为净现值。净现值常常以NPV来表示,净现值对分析和比较投资机会是非常有用的。如同样的1万元,期限3年投资A的利润是2770.92元,投资B的利润为2598.72元。很明显,投资A优于投资B。

从会计核算意义上讲,项目A提供较多的利润合计数,似乎更为可取,但从财务分析和评估的角度来看,必须考虑到货币的时间价值时,则并不一定是这样。如采用了10%的贴现率对项目的未来现金流进行折现,结果表明项目B的利润实现期间早于项目A,实际价值可能更高。

在一般情况下,未来的现金流在事先是不能确知的,这是投资风险所表现的一个方面。退一步来讲,即便未来的现金流事先能够确知,如市场上的利率水平发生波动,投资者的融资成本直接会受到影响,从而对未来现金流适用的贴现率也应作出相应改变,而贴现率的改变又使得投资项目的净现值出现波动,并最终影响到项目的取舍。因此,在项目评估的过程中,有必要进行货币时间价值的敏感性分析,即通过评估投资项目的净现值在各种可能的贴现率下出现变化的情况,以考察投资项目对贴现率变动的敏感性。

仍续上例,假定市场利率水平出现下降,贴现率i降低至5%,这会导致项目的评估结果出现变化,即不管是从会计价值还是从财务价值来看,都是项目A更为可取。

三、年金概念及计算

(一)年金概念

以上论及的终值和现值,都是以单笔资金为分析对象,单笔资金的概念与年金的概念是不同的。所谓年金(annuities),是指在一个特定的时期里,每隔一段相等时间就有一笔相等金额的收入或支出。年金在经济生活实践中的运用范围较广,如采用直线法的折旧以及租金、利息、保险金、工资、养老金、分期付款信贷协议等,通常都是采用年金形式进行货币收付。

年金有两种类型:一类是收入或支出发生在期末,称普通年金(an ordinary annuity),这是典型的年金形式;另一类是收支发生在期初,称即付年金(an annuity due),如房租的支付通常就采用即付年金的形式,即租房合约一旦签订,首期租金就要支付。

如果某个年金会无限期地延续下去,称作永续年金(perpetual annuities)。财务状况非常稳定的大公司会发行一种定期支付股息的优先股,股息率是固定的,又没有到期年限。这种优先股派发的股息也可看作是一项永续年金。

某种年金每隔一段相等的时间就会发生一笔收入或支出,但每期的金额并不相等,这可称为“变额年金”。这类年金又可分成三种:(1)等差变动的年金,这实际上是一个等差数列;(2)等比例变动的年金,包括递增等比数列和递减等比数列;(3)不规则变动的年金。这几类变额年金按首期收支发生的时间,又有期末和期初的区别。

还有一类递延年金(deferred annuities),这是指第一期年金发生在事项已经出现后若干时间的n期。根据年金的金额是否相同,它又可分为等额递延年金和变额递延年金。

(二)年金的原理

年金是商业人寿保险公司销售的一种投资产品,它可以在一定时期内周期性地(通常按月)给客户提供一系列的支付额。将年金纳入退休计划是客户更积极地为自己规划未来退休生活的一种有效措施。客户购买年金,实质上是与人寿保险公司签订了一个长期合同来管理自己的资金,通常可以用来避免因通货膨胀等因素造成的未来支付能力的损失,为客户将来的退休生活提供一定的辅助收入。因此,如何选择年金投资使其保值增值,就是一个重要问题。

从某种意义上说,年金可以看作是一个反向的人寿保险。正如我们在后文保险计划中提到的,人寿保险是一种系统的资产积累程序,通过这种程序客户可以在一定程度上规避早逝给家庭带来的财务风险。相反,年金是一种系统化地分摊资产的程序,通过这种程序客户可以在一定程度上规避长寿可能带来的经济困难。客户为了购买年金而支付保费的期间称为累积期,保险公司向客户支付年金的期间相应称为支付期。

就一个纯粹的养老年金而言,保险公司承诺每月向客户支付一笔金额,直到该客户去世为止。客户从这种年金中获得的分配可能有三种情况:本金返还、利息收益或年金保单余额。其中,本金是由年金购买者在累积期内支付的保费构成,利息是客户从所支付保费积累的资金中获得的收益,而年金保单余额则是在客户去世之前用来支付给客户的本金和利息。保险公司通过对死亡率和投资回报率的判断,可以计算出针对特定年龄层客户的具体支付额,并且这种支付额不会使保险公司因为支付过度而出现累积资金的枯竭。对客户来说,年金是一种非常安全的投资方式。

(三)年金的终值

年金的终值(future value of an annuity)是指一系列金额相等的定期收入或支出的终值之和。即若每年等额的流入(流出)量为A,每年利率为i,共n年,则n年的现金流量总和折算到n年末,为现金流量的终值,用符号Fa表示。年金计算可以分为年金终值计算和年金现值计算。

一般来说,每年的年金现金流的利息也具有时间价值,故此,年金终值和现值的计算通常采用复利形式。按年金等额发生量发生时间的不同,可分为期初年金和期末年金。现在介绍一下年金终值的计算。

1.即付年金终值

每年年初发生等额的现金流量A,利率为i,则n年的现金流量按复利计算的和称为即付年金终值。各年现金流的终值如表1-3所示:

表1-3　复利期初年金的各年现金流终值

上式中称为即付年金本利和系数。如某个客户在未来10年内能在每年年初获得1000元,年利率8%,则10年后这笔年金的终值为:

2.期末年金终值

每年年末发生的等额现金流量为A,利率为i,则n年的现金流量按复利计算的和称为期末年金终值。各年现金流的终值如表1-4所示:

表1-4　复利期末年金的各年现金流终值

上式中称为期末年金本利和系数。如某客户在未来10年内能在每年期末获得1000元,年利率8%,10年后这笔年金的终值为:

(四)年金现值

将每年等额的现金流量A按一定贴现率折算到现在,称为年金现值(present value of an annuity),它是年金终值的逆运算。按年金等额发生量发生时间的不同,可以分为期初年金现值和期末年金现值,贴现率通常采用复利形式。年金现值用符号Pa表示。

1.复利期初年金现值

每年年初发生等额的现金流量A,利率为i,则n年的现金流量按复利计算的现值和称为复利期初年金现值。各年现金流的现值如表1-5所示:

表1-5　复利期初年金的各年现金流现值

上式中称为期初年金现值系数。如某客户在未来10年内能在每年期初获得1000元,年利率8%,则这笔年金的现值为:

2.复利期末年金现值

每年年末发生等额的现金流量A,利率为i,则n年的现金流量按复利计算的现值和称为复利期末年金现值。各年现金流的现值如表1-6所示:

表1-6　复利期末年金的各年现金流现值

上式中称期末年金现值系数。如某客户未来10年内在每年期末可获得1000元,年利率8%,则这笔年金的现值为:

(五)年金分类

年金按照不同的标准(如保费支付方式、收入处置方式以及收益计算方法等),可以分为各种类别。下面,我们对这些不同的类别逐一进行简要的介绍。

1.一次付清保费年金和分期支付保费年金

客户在购买年金时可以通过两种方式支付保费,一种是一次性付清所有的保费,另一种是通过分期付款的方式支付保费。前者称为一次付清保费年金,目前在许多国家非常流行,不仅可以为客户的退休生活带来一笔稳定的收入,且在税收方面有许多吸引投资者的优惠条款。大部分客户虽然是通过一次付清的方式购买年金,但仍然有部分客户愿意通过分期付款的方式来购买,即所谓分期支付保费年金。在这种年金中,客户首先支付一定的首期保费,以后每月或每季支付分期保费。客户可以选择首先支付较高的首期保费,然后分期支付较低数额的分期保费;或者首先支付较低的首期保费,然后分期支付较高数额的分期保费。此外,还有一种结合上述两种年金特点的弹性年金。在弹性年金中,客户首先支付一笔较大数额的首期保费(这一点与一次付清保费年金非常相似),此后,客户可以选择是否继续追加投资。

2.无退款终身年金、最低保证年金、定期年金和限期给付生存年金

所有的年金都需要遵循“当前支付、今后收益”的基本原则,客户可以利用年金来满足他们的未来现金需要,同时还可以获得显著的税收优惠。年金的发放可以采用多种形式,比如一次性支付,或在一定期间内,如指定期限直到死亡等分期支付。按年金的发放方式又可将年金分为无退款终身年金、最低保证年金、定期年金、限期给付生存年金等类型,下面分别予以介绍。

在无退款终身年金中,客户会在其生存年限(也许是1年,但也有可能是50年)中获得某一特定金额的年金收入,一旦客户死亡,其家庭将得不到任何退款。在所有的年金类型中,无退款终身年金是月支付额最高的一种。因为,保险公司在客户死亡之后不必向客户的继承人退还年金的本金。无退款终身年金并不是一种很流行的年金形式,缘由是大多数客户并不希望如果自己在退休之后不久去世,所有的资金都付诸东流。

最低保证年金正是为了克服无退款终身年金的缺陷而产生的,有两种基本类型:最低年限终身年金和退款年金。在这两种年金中,客户都需要指定一个受益人,这样在客户死亡后,就可以让受益人继续获益。在最低年限终身年金中,客户可以在其生存期限内按月获得一定数额的收入,即使客户已经死亡,保险公司都必须满期支付到约定的最低年限(如5年或10年)。这样,即使客户在刚开始得到年金支付时就先行死亡,其受益人也可以在约定的年限中继续获益。而在退款年金中,如果客户死亡,保险公司必须按月向指定的受益人退款,直到年金的总购买价格退还完毕为止。

定期年金是保险公司在特定的年限内按月向客户支付特定余额收入的一种年金。例如某客户购买了一项期限为10年的定期年金,保险公司则需要在客户退休之后连续支付10年,不论客户是否已经死亡。定期年金可以用来满足客户在某一特定时期的现金需要。例如,某个50岁的残障客户选择期限为10年的定期年金,他就可以在60岁开始有社会保障收入之前,获得一项比较稳定的现金收入。

限期给付生存年金与定期年金十分相似,不同的是限期给付生存年金只有在客户在世的情况下才予以支付。如上一例中的残障客户在62岁时死亡,保险公司将停止年金的支付。正是由于限期给付生存年金的收益权不可以转移,因而其每月的年金支付额比定期年金要高。这个特点决定了它比较适合那些没有受益人的客户,出于与无退款终身年金相同的原因,该年金并非广泛使用。

3.定率年金和可变年金

当客户将资金投入年金中后,保险公司会代替客户进行各种投资,这就好比客户将资金投入共同基金中,客户可借此获得一定的回报。按照回报计算方式的不同,可以将年金分为定率年金和可变年金。

在定率年金中,保险公司在确保客户本金安全的同时,还保证向客户支付不低于某一最低利率的回报。这一最低利率通常比签订年金购买协议时的货币市场利率稍高一些。定率年金的价值不受市场利率的影响,客户的本金永远是安全的。总的来说,定率年金是一种保守的、低风险的年金产品,比较适合那些比较保守的客户,他们往往对投资的安全性和每月现金流的稳定性有较高的要求。

与定率年金不同,可变年金作为一种投资方式,它的特性介于股票、债券与货币市场基金之间,同时又可以提供一定的税收优惠。在可变年金中,客户最终获得的支付额,随着保险公司投资收益率的变化而变化。客户的收益甚至本金价值都是不确定的。当市场指数上涨时,可变年金可以让投资者获得较高的收益率;当指数下滑时,客户可能会遭受巨大的损失。可变年金的回报率,在很大程度上取决于市场的整体表现,客户承担这种相对较高的风险,也使其总是要求获得比定率年金更高的收益率。客户的月收益状况往往不如预期的那样好。当然,客户在风险面前也并非无能为力,他们可以通过调整高低风险投资的比例来控制风险高低。此外,保险公司在某些情况下,还向客户提供转换为定率年金的机会,客户可以根据自己的判断作出选择。

4.永续年金

永续年金又称“永久年金”,是一种特殊形式的年金,没有期限,收益的期数永远继续,是永久性质的年金。与一般年金性质的合约相比,永续年金性质的合约较为少见。英国政府曾发行过一种永远公债,它没有到期日,作为发行者的政府不承担归还本金的义务,但承诺定期支付固定数额的利息,直到永远。在美国,优先股是典型的永续年金的例子,即发行公司每年向优先股股东支付固定数额的股息,而且这种承诺是无限期的。除此之外,永续年金的现金流形式在不动产交易中也经常用到。

永续年金的终值是发散的,终值无穷大或者说没有终值。永续年金的现值是收敛的,有极值。根据期末年金现值公式当n→∞时,则:

因此,永续年金的现值就是每期年金数额除以贴现率。

5.递延年金

递延年金是指第一次年金发生在m年以后的n次年金。在m年后的每年末发生的等额年金,称为期末递延年金;m年后的每年初发生的等额年金,称为期初递延年金。

(1)期末递延年金现值。如在第m年以后的每年末发生等额年金为A,利率为i,则m年后的n年的现金流量现值和称为期末递延年金现值。

如果贴现率为复利,期末递延年金现值可以用复利期末年金现值公式将n次支付(收入)折现到第m年末为:再从第m年末折到现在时刻的现值为:

(2)期初递延年金现值。如在第m年以后的每年初发生等额年金为A,按利率i贴现,则m年后的n年的现金流量现值之和,称为期初递延年金现值。

如贴现率为复利,期初递延年金现值可以用复利期初年金现值公式将n次支付(收入)折现到第m年初为:,再从第m年初折现到现在时刻的现值为:

(六)年金的来源与成本

年金通常是由人寿保险公司管理的,人寿保险公司是销售年金的主渠道。此外,年金还可以通过股票经纪人、互助基金管理公司、银行和理财规划师等渠道获得。

年金作为一项投资,同样是有交易成本的,客户购买年金时应当充分考虑决定年金交易成本的各种因素,如年金的期限、年金开始交付的时间、年金支付的方式、生存年限的保障时间以及客户的性别等。通常,女性所承担的交易成本要比男性高,主要是因为女性的寿命往往比男性长。此外,值得注意的是,年金与互助基金一样需要缴纳某些管理费用和维持费用,这些费用最终都会降低客户的回报率,并抵消部分税收递延带来的收益。另外,大多数的年金还要收取高额的提前撤销违约金,这意味着客户在选择退出表现较差的年金时必须承担额外的损失。以上这些费用结合在一起,构成了年金的交易成本,它是个人年金投资决策时必须加以考虑的重要因素。见表1-7、1-8、1-9。

除以上产品以外,目前还有集合理财和信托产品,都是募集资金后,由专业机构进行投资,前者的投资对象是债券、股票或货币市场产品,后者一般用于已完工且投入经营的基础设施等项目。投资人要综合考虑自己的投资目标、风险承受能力、预期收益、资金量大小等因素,合理配置资产,积累投资理财经验,并借助银行、基金公司等专业机构的力量,不断实现资产的保值增值目标。

表1-7　金钱的时间价值换算表(压缩表)

续表

表1-8　在不同利率下,1000元的投资基金在不同年份的价值(总和终值)

表1-9　不同利率、不同年份每年投资100元的价值(年金终值)

最近几十年来,年金保险产品销售额在国外保险公司总营业额中的比例有了显著上升。这种变化在很大程度上源于客户的退休财务策划。此外,很多国家在年金税收上的优惠也吸引了大批投资者。