年金终值与复利现值

第一节　资金时间价值

时间价值是客观存在的经济范畴。任何企业的财务活动,都是在特定的时空中进行的。离开了时间价值因素,就无法正确计算不同时期的财务收支,也无法正确评价企业盈亏。时间价值原理,正确揭示了不同时点上资金之间的换算关系,是财务决策的依据。

一、资金时间价值的概念

资金时间价值,是指资金经历一定时间的投资和再投资所增加的价值,也称货币时间价值。众所周知,在现实经济生活中,即使不存在通货膨胀,等量资金在不同时点上的经济价值量也不相等,或者说其经济效用不同。现在的1元钱和一年后的1元钱不等值,前者要比后者的价值大。比如,若银行存款年利率为10%,将现在的1元钱存入银行,一年后可得到1.10元。这1元钱经过一年时间的投资增加了0.1元,这就是资金时间价值。人们将资金在使用过程中随时间的推移而发生增值的这种现象,称为资金具有时间价值的属性。

资金投入企业生产经营过程后,随着时间的推移其价值不断增长,是一种普遍而客观的经济现象。资金时间价值的实质是资金周转使用后的增值额。企业资金循环和周转的起点是货币资金,企业用它来购买所需的经济资源,然后生产出新的产品,产品出售后得到的货币量大于最初投入的货币量。在企业生产经营正常运作情况下,企业资金每完成一次循环,货币就增加一定数额,资金周转次数越多,货币增值的数额也就越大。因此,随着时间的推移,货币总量在循环和周转中按照几何级数增长,使得货币具有时间价值。资金投入再生产并能够正常运作是产生时间价值的前提条件,也就是说,并不是所有的货币都能产生时间价值,货币作为流通手段、贮藏手段、价值尺度的时候,货币量不会发生增值,也就不具时间价值,只有当货币投入再生产活动时才能产生时间价值,货币投入再生产过程中如果运作不正常,不仅不会发生增值而且还有可能减值。

通常情况下,资金的时间价值相当于没有风险和没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率,这是利润平均化规律作用的结果。由于时间价值的计算方法同有关利息的计算方法相同,因而时间价值与利率容易被混为一谈。实际上,财务管理活动总是或多或少地存在风险,而通货膨胀也是市场经济中客观存在的经济现象。因此,利率不仅包含时间价值,而且也包含风险价值和通货膨胀的因素。只有在购买国库券等政府债券时几乎没有风险,如果通货膨胀率很低的话,可以用政府债券利率来表现时间价值。财务管理对时间价值的研究,主要是对资金的筹集、投放、使用、收回和分配等从量上进行分析,以便找出适用于分析方案的数学模型,改善财务决策的质量。

二、资金时间价值的计算

在企业财务管理中,要正确进行筹资决策、长期投资决策和短期经营决策,就必须弄清楚在不同时点上收到或付出的资金价值之间的数量关系,掌握各种终值和现值的计算方法。

有关资金时间价值的指标有许多种,这里着重说明单利终值和现值、复利终值和现值、年金终值和现值的计算。由于资金随时间的增值过程与利息增值过程在数学上相似,因此计算时广泛使用利息计算的各种方法。

(一)单利的计算

单利是计算利息的一种方法。在单利计算方式下,每期都按初始本金计算利息,当期利息即使不取出也不计入下期本金,计算基础不变。

在单利计算中,经常使用以下符号:

P——本金,又称现值;

i——利率,通常指每年利息与本金之比;

I——利息;

F——本金与利息之和,又称本利和或终值;

n——时间,又称计息期,通常以年为单位。

1.单利利息的计算。

单利利息的计算公式为:

I=P·i·n(2.1.1式)

【例2-1】某企业有一张带息票据,面额为4000元,票面利率为5%,出票日期为8月12日,到期日为11月10日(共90天)。则该持票人到期可得利息为:

在计算利息时,除非特别指明,给出的利率均为年利率,对于不足一年的利息,以一年等于360天来折算。

2.单利终值的计算。

单利终值的计算公式为:

【例2-2】假设【例2-1】带息票据到期,出票人应付的本利和即票据终值为:

3.单利现值的计算。

单利计息方式下,现值的计算与终值的计算是可逆的,由终值计算现值的过程称为折现。将单利终值计算公式变形,即可得出单利现值的计算公式:

【例2-3】某人希望5年后取得本利2000元,用以支付一笔款项。则在利率为5%,单利方法下,此人现在需要存入银行多少钱?

(二)复利的计算

复利是将本金所生利息加入本金,以当期末本利和作为计算下期利息的基础,逐期滚算的一种计息方法,俗称“利滚利”。在这种计息方法下,既要计算本金的利息,又要计算利息的利息。在西方国家及国际贸易惯例中,也按复利计算货币时间价值,以反映货币不断运动、不断增值的规律。因此,在长期投资决策考虑货币时间价值因素时,必须按复利计算有关指标。

1.复利终值的计算。

复利终值是指一定量的本金按复利计算若干期后的本利和。例如某公司将一笔资金P存入银行,年利率为i,如果每年计息一次,则n年后的本利和就是复利终值。如图2-1所示。

图2-1　复利终值示意图

如图2-1所示,一年后的终值为:

F₁=P+P·i=P·(1+i)

两年后的终值为:

F₂=P·(1+i)·(1+i)=P·(1+i)²

三年后的终值为:

F₃=P·(1+i)²·(1+i)=P·(1+i)³

依此类推,第n年的本利和为:

式中的(1+i)ⁿ被称为复利终值系数或1元的复利终值,用符号(F/P,i,n)表示。复利终值计算公式也可写作:

即:复利终值=现值×复利终值系数

复利终值系数可通过查阅“1元复利终值表”(见本书附表一)直接获得。该表的第一行是利率i,第一列是计息期数n,相应的(1+i)ⁿ值在其纵横相交处,此即某一利率若干期的1元复利终值的系数。

【例2-4】某企业将10000元现金存入银行,年利率为6%,问5年后的终值是多少?

F＝P·(1+i)ⁿ=P·(F/P,i,n)

　＝10000×(1+6%)⁵=10000×(F/P,6%,5)

　＝10000×1.338=13380(元)

即在年利率为6%的情况下,现在的10000元和5年后的13380元在经济上是等值的,或现在的10000元相当于5年后的13380元。

2.复利现值的计算。

复利现值相当于原始本金,它是指未来某一特定时间的一定量资金按复利计算的现在价值。复利现值是复利终值的逆运算。例如,将n年后的一笔资金F,按年利率i折算为现在的价值,这就是复利现值。如图2-2所示。

图2-2　复利现值示意图

复利现值的计算公式为:

式中的(1+i)^-n被称为复利现值系数或1元的复利现值,用符号(P/F,i,n)表示。复利现值计算公式也可写作:

即:复利现值=终值×复利现值系数

复利现值系数可通过查阅“1元复利现值表”(见本书附表二)直接获得。该表的使用方法与“复利终值系数表”相同。

【例2-5】假定某人拟在5年后获得本利和10000元,如果年利率为10%,问他现在应存入银行多少钱?

P＝F·(1+i)^-n=F(P/F,i,n)

　＝10000×(1+10%)^-5=10000×(P/F,10%,5)

　＝10000×0.621=6210(元)

即在年利率为10%的情况下,5年后的10000元和现在的6210元在经济上是等值的,或现在的6210元相当于5年后的10000元。

(三)年金的计算

年金是指在一定时期内,每隔相同时间就发生相同数额的系列收付款项。通常记作A。年金在现实生活中有广泛的应用。例如,保险费、养老金、折旧、租金、等额分期收款、等额分期付款以及零存整取或整存零取储蓄,等等,都存在年金问题。

1.普通年金的计算。

普通年金是指每期期末收付的年金,又称后付年金。如图2-3所示。

图2-3　普通年金示意图

图2-3中,横线代表时间的延续,用数字标出各期的顺序号;竖线的位置表示支付的时刻,竖线下端数字表示收付的金额。图2-3表示5期内每年100元的普通年金。

(1)普通年金终值的计算。普通年金终值是指一定时期内每期期末收付款项的复利终值之和。例如,按图2-3的数据,第五期末的普通年金终值计算见图2-4。

图2-4　普通年金终值计算示意图

在第一期末的100元,应赚得4期的利息,因此,到第五期末其值为146.4元;在第二期末的100元,应赚得3期的利息,因此,到了第五期末其值为133.1元;在第三期末的100元,应赚得2期的利息,因此,到第五期末其值为121元;第四期末的100元,应赚得1期的利息,因此,到第五期末其值为110元;第五期末的100元,没有计息,其价值是100元。整个年金终值为610.5元。

如果年金的期数很多,用上述方法计算终值显然相当繁琐。由于每年支付额相等,折算终值的系数又是有规律的,所以,可找出简便的计算方法。

设普通年金为A,利率为i,期数为n,则按照复利计算的普通年金终值F为:

F=A+A·(1+i)+A·(1+i)²+…+A·(1+i)^n-1

等式两边同乘(1+i),则有:

F·(1+i)=A·(1+i)+A·(1+i)²+A·(1+i)³+…+ A·(1+i)ⁿ

后式减前式:

F·(1+i)-F=A·(1+i)ⁿ-A

F·i=A·[(1+i)ⁿ-1]

式中被称为年金终值系数或1元的年金终值,用符号(F/A,i,n)表示,该系数可通过查阅“1元年金终值表”(见本书附表三)直接获得。普通年金终值计算公式也可写作:

F=A(F/A,i,n)(2.1.9式)

即:普通年金终值=年金×年金终值系数

【例2-6】某企业每年末向银行存入10000元款项,若年利率为6%,5年后可获得本利和多少?

(2)年偿债基金的计算。偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务后积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金,即为使年金终值达到既定金额每年应支付的年金数额。由于每次形成的等额准备金类似年金存款,因而同样可以获得按复利计算的利息,所以债务实际上等于年金终值,每年提取的偿债基金等于年金A。也就是说,偿债基金的计算实际上是年金终值的逆运算。其计算公式为:

式中是年金终值系数的倒数,被称为偿债基金系数,用符号(A/F,i,n)表示,该系数可通过查阅“偿债基金系数表”直接获得,或通过年金终值系数的倒数推算出来。偿债基金计算公式也可写作:

即:偿债基金年金=终值×偿债基金系数

即:偿债基金年金=终值÷年金终值系数

【例2-7】拟在5年后还清10000元债务,从现在起每年末等额存入银行一笔款。假设银行存款利率为6%,每年需要存入多少钱?

有一种折旧方法,称为偿债基金法,其理论依据是“折旧的目的是保持简单再生产”。为在若干年后购置设备,并不需要每年提存设备原值与使用年限的算术平均数,由于利息不断增加,每年只需提存较少的数额即按偿债基金提取折旧,即可在使用期满时得到设备原值。偿债基金法的年折旧额,就是根据偿债基金系数乘以固定资产原值计算出来的。

(3)普通年金现值的计算。普通年金现值是指一定时期内每期期末收付款项的复利现值之和。例如,按图2-3的数据,五期的普通年金现值可计算如图2-5。

图2-5　普通年金现值计算示意图

设普通年金为A,利率为i,期数为n,则按复利计算的普通年金现值P为:

P=A·(1+i)^-1+A·(1+i)^-2+…+A·(1+i)^-(n-1)+ A·(1+i)^-n

等式两边同乘(1+i):

P·(1+i)=A+A·(1+i)^-1+…+A·(1+i)^-(n-1)

后式减前式:

P·(1+i)-P=A-A·(1+i)^-n

P·i=A·[1-(1+i)^-n]

式中的被称为年金现值系数或1元的年金现值,用符号(P/A,i,n)表示,该系数可通过查阅“1元年金现值表”(见本书附表四)直接获得。上式也可写作:

即:普通年金现值=年金×年金现值系数

【例2-8】某企业打算连续5年在每年年末取出20000元,如果年利率是6%,现在应一次存入银行多少钱?

(4)年资本回收额的计算。年资本回收额是指在约定的年限内等额回收初始投入资本或清偿所欠债务的金额,即为使年金现值达到既定金额每年应收付的年金数额。年资本回收额的计算是年金现值的逆运算。

其计算公式为:

式中的是年金现值系数的倒数,称资本回收系数,用符号(A/P,i,n)表示,该系数可通过查阅“投资回收系数表”直接获得,或通过年金现值系数的倒数推算出来。上式也可写作:

即:资本回收额=年金现值×资本回收系数

即:资本回收额=年金现值÷年金现值系数

【例2-9】某企业以10%的利率借得10000元,投资于某个寿命为5年的项目,每年至少要收回多少现金才是有利的?

2.预付年金的计算。

预付年金是指每期期初收付的年金,又称即付年金或先付年金。预付年金与普通年金的区别仅在于收付款的时间不同。预付年金的收付形式如图2-6所示。

图2-6　预付年金示意图

图2-6,横线代表时间的延续,用数字标出各期的顺序号;竖线的位置表示支付的时刻,竖线下端数字表示收付的金额。图2-6表示5期内每年100元的预付年金。

(1)预付年金终值的计算。预付年金终值是指一定时期内每期期初等额收付款项的复利终值之和。

设预付年金为A,利率为i,期数为n,则按复利计算的预付年金终值为:

F=A·(1+i)+A·(1+i)²+…+A·(1+i)ⁿ

从图2-3和图2-6可以看出,n期预付年金终值与n期普通年金终值的付款次数相同,但由于其付款时间不同,n期预付年金终值比n期普通年金终值多计算一期利息。因此,在n期普通年金终值的基础上乘上(1+i)就是n期预付年金的终值。其计算公式为:

预付年金终值=预付年金×普通年金终值系数×(1+i)

式中的被称为预付年金终值系数或1元的预付年金终值,它是在普通年金终值系数的基础上,期数加1,系数减1所得的结果,用符号[(F/A,i,n+1)-1]表示。该系数可通过“普通年金终值表”查得(n+1)期的值,然后减去1,便可得出对应的预付年金终值系数。这时可用如下公式计算预付年金的终值:

即:预付年金终值=预付年金×预付年金终值系数

【例2-10】某企业连续5年于每年年初存入银行10000元,年利率为10%,到第五年年末可获本利和多少?

F＝A·[(F/A,i,n+1)-1]

　＝10000×[(F/A,10%,6)-1]

　＝10000×(7.716-1)

　＝67160(元)

(2)预付年金现值的计算。预付年金现值是指一定时期内每期期初等额收付款项的复利现值之和。

设预付年金为A,利率为i,期数为n,则按复利计算的预付年金现值为:

P＝A+A·(1+i)^-1+A·(1+i)^-2+…+A·(1+i)^-(n-1)

从图2-3和图2-6可以看出,n期预付年金现值与n期普通年金现值的期限相同,但由于其付款时间不同,n期预付年金现值比n期普通年金现值多折现一期。因此,在n期普通年金现值的基础上乘以(1+i),便可求出n期预付年金现值。其计算公式为:

预付年金现值=预付年金×普通年金现值系数×(1+i)

式中的被称为预付年金现值系数或1元的预付年金现值,它是在普通年金现值系数的基础上,期数减1,系数加1所得的结果,用符号[(P/A,i,n-1)+1]表示。该系数可通过“普通年金现值系数表”查得(n-1)期的值,然后加1,便可得出对应的预付年金现值系数。可用如下公式计算预付年金的现值:

即:预付年金现值=预付年金×预付年金现值系数

【例2-11】某企业连续五年每年年初向银行借款20000元,若银行借款利率为8%,五年借款的现值是多少?

P＝A·[P/A,i,n-1)+1]

　＝20000×[(P/A,8%,4)+1]

　＝20000×(3.312+1)=86240(元)

3.递延年金的计算。

递延年金是指第一次收付款项发生在第二期或第二期以后的年金。它是普通年金的特殊形式,凡不是从第一期开始的普通年金都是递延年金。递延年金的收付形式如图2-7所示。从图中可以看出,前3期没有发生款项收付,一般用m表示递延期数,本例的递延期数m=3,第一次收付款在第四期期末,连续收付5次,即n=5。

图2-7　递延年金示意图

(1)递延年金终值的计算。递延年金终值的大小,与递延期数无关,故计算方法和普通年金终值相同。

【例2-12】某企业准备从第四年末起,每年年末向银行存入10000元款项,至第八年末。如果年利率为6%,第八年后可获本利和多少?

F＝A·(F/A,i,n)=10000×(F/A,6%,5)

　＝10000×5.637

　＝56370(元)

(2)递延年金现值的计算。递延年金现值的计算方法有三种:

第一种方法,是把递延年金视为n期普通年金,求出递延期末的现值,然后再将此现值调整到第一期期初。其计算公式为:

第二种方法,是假设递延期中也进行收付,先求出m+n期的年金现值,然后扣除实际并未支付的递延期m的年金现值,即得到递延年金现值。其计算公式为:

第三种方法,是先求出递延年金终值,再将其折算为现值。其计算公式为:

【例2-13】某企业年初存入银行一笔钱,从第四年末起每年取20000元,至第八年末取完。如果年利率为10%,企业现在应一次性存入银行多少钱?

P＝A·(P/A,i,n)·(P/F,i,m)

＝20000×(P/A,10%,5)×(P/F,10%,3)

＝20000×3.7908×0.7513

≈56960(元)

或P＝A·[(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)]

　 ＝20000×[(P/A,10%,8)-(P/A,10%,3)]

　 ＝20000×(5.3349-2.4869)

　 ≈56960(元)

或P＝A·(F/A,i,n)·(P/F,i,m+n)

　 ＝20000×(F/A,10%,5)·(P/F,10%,8)

　 ＝20000×6.1051×0.4665

　 ≈56960(元)

4.永续年金的计算。

永续年金是指无限期定额收付的年金,可视为普通年金的特殊形式,即期限趋于无穷的普通年金。现实中的存本取息,可视为永续年金的例子。由于永续年金持续期无限,没有终止的时间,因此没有终值,只有现值。永续年金现值的计算公式可以通过普通年金现值的计算公式导出:

当n→时,,因而上式可写成:

即:永续年金现值=年金÷利率

【例2-14】拟建一项永久性奖励基金,每年计划颁发100000元奖金,若利率为10%,现在应存入多少钱?

(四)名义利率与实际利率的换算

上面讨论的有关计算均假定利率为年利率,每年复利一次。但实际上,复利的计息期间不一定是一年,有可能是季度、月份或日。比如某些债券半年计息一次;有的抵押贷款每月计息一次;银行之间拆借资金均为每天计息一次。当每年复利次数超过一次时,这样的年利率叫做名义利率,而每年只复利一次的利率才是实际利率。

对于一年内多次复利的情况,可采取两种方法计算时间价值。

第一种方法是按如下公式将名义利率调整为实际利率,然后按实际利率计算时间价值。

式中:i为实际利率;r为名义利率;m为每年复利次数。

【例2-15】某企业于年初将10万元存入银行,在年利率为8%,每季复利一次的情况下,到第5年末,该企业能够得到多少本利和?

依题意,P=10,r=8%,m=4,n=5

则:i=(1+r/m)^m-1=(1+8%÷4)⁴-1=8.24%

F=P·(1+i)ⁿ=10×(1+8.24%)⁵=10×1.486=14.86(万元)

因此,企业于第5年年末可得本利和14.86万元。

这种方法的缺点是调整后的实际利率往往带有小数点,不利于查表。

第二种方法是不计算实际利率,而是相应调整有关指标,即利率变为r/m,期数相应变为m·n。其计算公式为:

【例2-16】利用上例的有关数据,用第二种方法计算本利和。

F＝P·(1+r/m)^m·n=10×(1+8%/4)^4×5

＝10×(F/P,2%,20)

＝14.86(万元)