年金终值和现值计算

第一节　货币的时间价值

【案例】

超凡能源有限责任公司是一家大型煤炭、电力生产企业。为了提高企业整体实力，公司计划投资兴建一钢铁厂。面临的问题是，如果现在投资，马上可获利500万元；如果3年后投资，由于钢材价格上涨，可获利700万元。此时，该公司内部在投资时机的选择上产生了分歧：有人主张在3年后投资，因为700万元明显大于500万元；有人主张应将货币时间价值考虑进去而现在投资。应该如何分析和确定投资时机呢？

案例的简单分析：

第一，如果不考虑货币时间价值，因为700万元明显大于500万元，所以应该3年后投资对公司更有利。

第二，如果考虑了货币时间价值，社会平均获利率是15%，那么现在投资3年后可获得的利润为：500×（1＋15%）×（1＋15%）×（1＋15%）≈760（万元）。

因此，现在投资对公司更有利。

这样在考虑了货币时间价值后，公司投资获取的利润又多了；如果不考虑，公司的钢铁厂投资时机决策虽然不至于失败，但肯定不是最科学和对公司最有利的。像超凡能源有限责任公司这类问题在许多企业的财务决策中是十分常见的，它涉及财务管理中一个非常重要的概念——货币时间价值。

一、货币时间价值的含义

货币时间价值，是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值，也称为资金的时间价值。

时间价值是客观存在的经济范畴。在商品经济中，存在这样一种现象：即现在的1元钱和一年以后的1元钱，其经济价值是不等的，或者说其经济效用是不同的。现在的1元钱，比一年后的1元钱经济价值要大一些，即使不存在通货膨胀也是如此。为什么会这样呢？例如，将现在的1元钱存入银行，假设存款利率为10%，一年后可得到1.10元。这1元钱经过一年时间的投资增加了0.10元，这就是货币的时间价值。

任何货币使用者把货币投入生产经营后，通过用它来购买所需的资源，然后生产出新的产品，创造出新的价值，产品出售时得到的货币量大于最初投入的货币量。资金的循环和周转以及因此实现的货币增值，需要或多或少的时间，每完成一次循环，货币就增加一定的数额，周转的次数越多，实现的增值额就越大。因此，随着时间的延续，投入的货币总量在循环和周转中呈几何级数增长，使得货币产生时间价值。任何资金，如果不投入生产经营过程，不与劳动力相结合，是不可能实现价值增值的，也就谈不上有时间价值。

货币的时间价值可以用绝对数表示，也可以用相对数表示，但用绝对数表示不便于不同投资项目之间的比较，所以在实务中，人们习惯使用相对数字表示货币的时间价值，即用增加价值占投入货币的百分数来表示，如前述货币的时间价值为10%。

从量的规定性来看，货币的时间价值是没有风险和没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率。由于竞争，市场经济中各部门投资的利润率趋于平均化，每个企业在投资某项目时，至少要取得社会平均利润率，否则不如投资于另外的项目或另外的行业。因此，货币的时间价值成为评价投资的基本标准。

货币的时间价值是现代财务管理的基础观念之一，它是财务估价和资产价值评估必须考虑的因素。因其非常重要并且涉及所有理财活动，有人称之为理财的“第一原则”。财务管理中对时间价值的研究，主要是对资金的筹集、投放、使用和收回等从量上进行分析，以便找出适用于分析方案的数学模型，改善财务决策的质量。把货币时间价值观念引入财务管理，在资金筹集、运用和分配等各方面考虑这一因素，是提高财务管理水平，搞好筹资、投资、分配决策的有效保证。

二、货币时间价值的计算

由于不同时间单位上的货币价值是不等的，所以，不同时间上的货币收入不宜直接比较大小，需要把它们换算到相同的时间基础上，然后才能进行大小的比较。这就涉及不同时点上货币之间的换算即货币时间价值的计算。

货币时间价值的计算涉及两个重要的概念，就是终值和现值。终值（Future Value）又称未来值，是指现在的一定量现金按一定利率折合为未来一时点的价值，俗称本利和，通常记做F。现值（Present Value）又称本金，是指未来某一时点上的一定量现金折合为现在的价值，通常记做P。

终值与现值的计算都涉及计算利息的方式，目前有两种计算利息的方式，即单利和复利。

为计算方便，先设定如下符号标志：F为终值；P为现值；i为报酬率或利率；n为计算利息的期数；A为年金。

（一）单利模式下终值和现值的计算

单利（Simple Interest）是指仅就本金计算利息，本金于每期所产生的利息不再加入本金再计算下一期的利息。在单利模式下，各期计息的本金是不变的，因而各期的利息是相同的。

1．单利终值的计算

单利终值是利用单利的方法计算的现在的一笔现金按一定利率折合为未来一时点的价值，单利终值可由本金加上各期的利息求得。单利终值的计算可利用如下公式求得：

F=P + P×i×n= P×（1 + i×n）

【例2-1】某人将10 000元存入银行，存款年利率为5%，在单利计息方式下，5年后的本利和是多少？

解：F =10 000×（1+5%×5） =12 500（元）

因此，单利计息终值为12 500元。

2．单利现值的计算

单利现值与单利终值互为逆运算，由终值计算现值的过程称为折现。单利现值的计算公式为：

P =F/（1 + i×n）

【例2-2】某人准备存入银行一笔钱，希望5年后得到20 000元，若银行存款年利率为5%，在单利计息的情况下，此人现在应存入多少钱？

解：P =20 000/（1 + 5%×5）=16 000（元）

因此，现在应存入16 000元。

（二）复利模式下终值和现值的计算

1．复利

复利是指不仅本金要计算利息，利息也要计算利息，即将每一期的利息加入本金后再计算下一期的利息，也称为利滚利。复利既考虑本金的时间价值，也考虑利息的时间价值，是一种常用的计算时间价值的方法。

（1）复利终值的计算 

复利终值是利用复利的方法计算现在的一定量现金按一定利率折合为未来一时点的价值，计算复利终值的利率称为复利率。复利终值的计算可利用如下公式求得：

上式为复利终值的一般公式，式中的  被称为复利终值系数，用符号（F/P，i，n）表示，其含义是当利率为i时，经过n期后，1元本金的最终价值。例如（F/P，10%，5）表示当利率为10%时，经过5期后，1元本金的终值。式中的计息期可以以年计算，也可以以季或月等计算，只要式中的i是对应的同期利率即可。为了便于计算，可编制“复利终值系数表”（参阅本书附表一）备用。该表的第一行是利率i，第一列是计息期数n，相应的 值在其纵横相交处。

【例2-3】某人将10 000元存入银行，银行按复利率10%计算利息，那么5年后的本利和为多少？

解：F=10 000×

　　 =10 000×（F/P，10%，5）

　　 =10 000×1.611=16 110（元）

（2）复利现值的计算 

复利现值相当于原始本金，它是指今后某一特定时间付出的一笔款项，按复利折现率计算的现在时点价值。可见，复利现值计算实际上是复利终值计算的逆运算，所以，复利现值的计算可利用如下公式求得：

上式为复利现值的一般公式，式中的 被称为复利现值系数，用符号（F/P，i，n）表示，其含义是当利率为i时，为取得n期后的1元，现在需要多少本金。例如（F/P，10%，5）表示当利率为10%时，为取得5期后的1元钱，现在需要多少元。为了便于计算，可编制“复利现值系数表”（参阅本书附表二）备用。该表的使用方法与复利终值系数表相同。

【例2-4】某投资项目预计5年后可获得收益100万元，按年利率（折现率）10%计算，则这笔收益的现值为多少？

解：P=100×=100×（F/P，10%，5）

　　 =100×0.621=62.1（万元）

2．普通年金

年金是指连续若干期等额的收支。年金存在的形式是多种多样的，如分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等。年金按发生的时间、起点、期数不同，可分为普通年金、预付年金、递延年金、永续年金四种。

普通年金（Ordinary Annuity）又称后付年金，是指各期期末收付的年金。普通年金的收付形式见图2-1。横线代表时间的延续，数字表示各期的期号；竖线的位置表示支付的时刻，竖线下端数字表示支付的金额（年金）。

图2-1

（1）普通年金终值的计算 

普通年金终值是指其最后一次支付时的本利和，它是每次支付的复利终值之和。

根据定义，n期普通年金终值的计算如下：

上述等式两边同时乘以（1+i），便得到：

将（2）－（1）得：

上式为普通年金终值的一般公式，式中的  被称为普通年金终值系数，用符 号（F/A，i，n）表示，其含义是普通年金为1元、利率为i、经过n期的年金终值。为了便于计算，可编制“普通年金终值系数表”（参阅本书附表三）备用。该表的第一行是利率i，第一列是计息期数n，要查找的年金终值系数就在利率所在的列和期数所在行的交叉点上。

【例2-5】假设某项目在5年建设期内每年年末从银行借款100万元，借款年利率为10%，则该项目竣工时应付本息的总额是多少？

解：F=100×

　　 =100×（F/A，10%，5）

　　 =100×6.105=610.5（万元）

（2）偿债基金 

偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金额必须分次等额形成的存款准备金。由于每次形成的等额准备金类似年金存款，因而同样可以获得复利计算的利息，所以债务实际上等于普通年金终值F，每年提取的偿债基金等于年金A。也就是说，偿债基金的计算实际上是普通年金终值的逆运算（已知年金终值F，求年金A）。所以，计算可利用如下公式求得：

上式中的分式  是普通年金终值系数的倒数，称作“偿债基金系数”，用符 号（A/F，i，n）表示，它可以把普通年金终值折算为年金。

【例2-6】准备在5年后还清10 000元债务，从现在起每年末等额存入银行一笔款项。假设银行存款利率为10%，每年需要存入多少元？

解：A=10 000×

　　 =10 000×（A/F，i，n）

　　 =10 000×

　　 =10 000×

　　 =10 000×0.1638=1 638（元）

因此，在银行利率为10%时，每年存入1 638元，5年后可得10 000元，用来还清债务。

（3）普通年金现值的计算 

普通年金现值，是指为在每期期末取得相等金额的款项，现在需要投入的金额。

根据定义，n期普通年金现值的计算如下：

上述等式两边同时乘以（1+i），便得到：

将（2）-（1）得：

上式为普通年金现值的一般公式，式中的  被称为普通年金现值系数，用符号（P/A，i，n）表示，其含义是普通年金为1元、利率为i、期限为n期的年金现值。为了便于计算，可编制“普通年金现值系数表”（参阅本书附表四）以供查阅。

【例2-7】某企业计划租用一设备，租期为6年，合同规定每年年末支付租金1 000元，年利率为5%，试计算6年租金的现值是多少？

解：P=1 000×

　　 =1 000×（P/A，5%，6）

　　 =1 000×5.076=5 076（元）

（4）年资本回收额 

年资本回收额是指在给定的年限内等额回收初始投入资本或清偿所欠债务的金额。也就是说，年资本回收额的计算实际上是普通年金现值计算的逆运算（已知年金现值P，求年金A）。所以，计算可利用如下公式求得：

上述计算过程中的  是普通年金现值系数的倒数，称作投资回收系数，计为 （A/P，i，n），它可以把普通年金现值折算为年金。 

【例2-8】假设以10%的利率借款20 000元，投资于某个寿命为10年的项目，每年至少要收回多少现金才是有利的？

解：根据普通年金现值的计算公式可知：

因此，每年至少要收回现金3 254元，才能还清贷款本利。

3．特殊年金

（1）预付年金 

预付年金（Annuity in Possession）是指在每期期初支付的年金，又称即付年金或先付年金。与普通年金不同的是，预付年金的现金流量发生在每期的期初，预付年金收付形式见图2-2。

图2-2

预付年金终值是指一定时期内每期期初等额收付款项的复利终值之和。就其计算来看，预付年金终值比普通年金终值多计算一期利息，其计算公式如下：

上式中的  称为预付年金终值系数，与普通年金终值系数相比，期数 加1，系数减1，利用普通年金终值系数表先查得n+1期的值，然后再减1，就可以得到预付年金的终值系数。

【例2-9】某公司决定连续5年于每年年初存入银行1 000万元作为住房基金，银行存款利率为10%，则该公司在第5年年末能一次取出的本利和为多少？

解：F=1 000×

　　 =1 000×［（F/A，10%，6）－1］

　　 =1 000×（7.715 6－1）=6 715.6（万元）

预付年金现值是指一定时期内每期期初等额收付款项的复利现值之和。就其计算来看，预付年金现值比普通年金现值多计算一期利息，其计算公式如下：

式中的  称为预付年金现值系数，与普通年金现值系数相比，期数减 1，系数加1，利用普通年金终值系数表先查得n－1期的值，然后再加1，就可以得到预付年金的现值系数。

【例2-10】某企业租赁一座办公楼，租期5年，从现在起每年年初支付1年的租金20 000元，年利率为6%，问5年租金的现值一共是多少？

解：P=20 000×

　　 =20 000×［（P/A，6%，4）+1］

　　 =20 000×（3.465 1+1）=89 302（元）

（2）递延年金 

递延年金（Deferred Annuity）是指第一次收付款并非发生在第一期而是若干期（假设为m期，m≥1）后才开始发生系列等额收付款项。它是普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的年金都是递延年金。递延年金收付形式见图2-3。

图2-3

由于终值的计算与前期是否发生支付无关，因此，递延年金终值的计算与普通年金终值的计算方法相同，只要按其实际支付期计算即可。递延年金的现值与普通年金现值相比，主要差别是递延年金前m期没有年金的支付，因此，递延年金的现值公式可表示为：

P=A×［（P/A，i，m+n）－（P/A，i，m）］

或者先按普通年金的计算方法计算出第m期期末的年金现值，再将其折算成第一期期初的现值，即：

P=A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）

【例2-11】某人在年初存入一笔资金，存满5年后每年年末取出1 000元，至第10年年末取完，银行存款利率为10%。则此人在年初一次存入银行的资金为多少？

解：P=A×［（P/A，10%，10）－（P/A，10%，5）］

　　 =1 000×（6.144 6－3.790 8）

　　 =2 354（元）

或　P=A×（P/A，10%，5）×（P/F，10%，5）

　　  =1 000×3.790 8×0.620 9

　　  =2 354（元）

（3）永续年金 

永续年金（Perpetual Annuity）是指无限期等额收付的特殊年金，可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。存本取息可视为永续年金的例子。永续年金收付形式见图2-4。

图2-4

由于永续年金没有终止支付的时间，因此也就没有终值。永续年金的现值可通过普通年金现值的计算公式求极值来计算：

【例2-12】某奖励基金每年要颁发奖金48 000元，年利率为6%，则该奖励基金的数额为：

P=48 000/6%=800 000（元）

优先股每年股利也是典型的永续年金。

（三）利率和期数的计算

前面主要介绍了已知利率和期数计算现金流量的现值或终值的方法，有时我们也会遇到已知现金流量的现值、终值和年金计算利率或期数，如已知投资额和每期的收益，求投资项目的报酬率等。

1．利率的计算

利率的计算包括已知复利终值、复利现值、期数计算复利率或折现率和已知年金现值、年金、期数计算折现率。

（1）已知复利终值、复利现值、期数，求复利率或折现率。利用复利终值公式  可推导出：

（2）已知永续年金现值和年金，求折现率。根据永续年金现值公式  可推导出：

（3）已知年金、现值和期数，求折现率。计算年金的折现率首先计算年金现值系数，然后利用年金现值系数和年金现值系数表反查年金的折现率，如无法直接查到，还需要利用插值法计算求得。

【例2-13】某公司于第一年年初借款20 000元，每年年末还本付息额均为4 000元，连续9年还清。问借款利率为多少？

解：第一步，计算年金现值系数。

第二步，查年金现值系数表。找到期数所在的行，这里的期数是9，然后查找与之相同的年金系数，如果可以找到与之相同的年金系数，该年金系数所在的列对应的利率就是所要求的利率。如果无法找到与之相同的年金系数，则查找与之最相近的年金系数，被查找的数位于两数的中间，最后利用插值法计算所要查找的利率。

上例无法找到与5相同的年金现值系数，但可以找到与5最接近的两个年金现值系数，它们分别是：（P/A，12%，9）=5.32和（P/A，14%，9）=4.946。

第三步，利用插值法计算与年金系数5对应的利率。

2．名义利率和实际利率

在前面时间价值计算中我们使用的利率大都是年利率，每年计息一次，即每年复利一次。但实践中，计息期也可能短于一年，可能是季度、月份或日，在这种情况下每年的利息不能用本金乘以年利率求得，需要先计算与复利期一致的利率，然后再计算利息，或者重新计算年利率。当计息期短于一年时，年利率则有名义年利率和实际年利率之分。

实际利率是指每年复利期数超过一次时的年利率。名义利率是指在一年内实际所得利息总额与本金之比。当每年计息次数为一次时，名义利率与实际利率相等。

如果名义利率为r，实际利率为i，每年复利期数为n，则实际利率为：

【例2-14】存入银行10 000元，年利率为10%，每季复利一次，则实际年利率是多少？

解：r=10%，n=4，实际年利率为：

3．期间的计算

期间的计算与折现率的计算相似，下面以普通年金为例加以说明。

【例2-15】某企业打算购买一台柴油机用以更新目前所用的汽油机，购买汽油机要投资2 000元，但每年可节约燃料费用500元，若利率为10%，求柴油机至少使用多少年才值得替换？

解：第一步，计算年金现值系数。

500×（P/A，10%，n）=2 000

所以

第二步，查年金现值系数表。

查表得

（P/A，10%，5）=3.791，（P/A，10%，6）=4.355

第三步，利用插值法计算与年金系数4对应的期数。

三、货币时间价值的实务操作

时间价值是一种理财观念，也是一种理财思想，它产生于理财范畴，然而它改变了人们的理财决策思想。时间价值观念w告诉人们，由于货币随时间的延续而增值，现在一定数额的货币与将来相等数额的货币其经济价值不相等。企业进行财务决策时，决策者对不同时点上的货币收支不宜直接比较，必须将它们换算到相同时点的价值上，才能进行大小的比较，并进行有关的计算和决策分析。但是，目前有些企业的管理者对时间价值的作用重视不够。比如，在投资决策中，只考虑投资项目在寿命期内能实现的利润总额或现金流量的总和，而忽视利润或现金流量在各个时期的分布情况，从而高估或低估投资报酬率，造成投资决策失误。

【例2-16】超凡公司拟引进一条新的生产线，估计需要投资200万元，估计生产线寿命期为6年，建成投产后每年可收回的现金流量为40万元，假设不考虑残值，那么该项目是否可行呢？

如果不考虑货币时间价值，该项目显然是可行的，因为投产后6年的现金流量合计为240万元，超过了其最初的投资额200万元。但是，如果考虑货币时间价值，决策就变得不确定了。该项目是否可行关键要看项目的收益率是否能够达到决策者的期望报酬率。假设投资者要求的报酬率为10%，按10%的年利率计算出该项目可收回的现金流量的现值和为：

P=40×（P/A，10%，6）

=40×4.355 3

=174.21（万元）

由计算可知，174.21万元＜200万元，即该项目未来回收的现金流量净额的现值小于投资额，实际报酬率达不到投资者要求的报酬率，故该项目不可行。因此，是否考虑货币时间价值，对于同样的决策问题，其决策结果可能会完全不同。

【例2-17】天地化工有限责任公司是一家聚化剂制造企业，其生产的产品有良好的市场前景。为扩大生产能力，公司考虑购置一套大型生产设备，供应商提供了如下三种付款方式：

A．采用交款提货方式，要求购买方现在一次支付500万元；

B．采用分期付款方式，现在首付110万元，以后每过半年支付110万元，连续支付5次（包括首付），共550万元；

C．两年以后一次支付600万元。

关于选择何种付款方式的问题，天地化工有限责任公司进行了分析和讨论。

设备处负责人认为，付款方式A支付的全部价款比其他两种方式分别少50万元和100万元，因此付款方式A对公司有利。

投资管理处负责人认为，公司目前投资机会多，而资金较为紧张，因此，应该选择付款方式C。

财务处负责人则认为，上述两个部门负责人的分析均存在缺陷，应该综合分析各方面的因素，再作出决定。

究竟应该如何分析和选择付款方式呢？

解：天地化工有限责任公司购买设备的上述三种付款方式可以简称为：一次付款、分期付款和延期付款。从公司所支付价款总额来比较，确实A支付的全部价款比其他两种方式分别少50万元和100万元，但由于三种方式现金流出的时间不同，不能直接根据支付的价款多少来选择付款方式。

实际上，选择付款方式需要考虑的因素很多，应当根据该公司的实际情况作出分析。由于我们对天地化工有限责任公司的具体情况没有充分的了解，这里只能就决策时应当考虑的一些重要因素进行分析，其中最重要的是公司现金存量、投资机会和筹资成本等。

（1）如果该公司目前有足够的现金存量一次性支付设备价款，那么，公司采纳方式B或方式C就会出现暂时的资金闲置，这就需要考虑公司目前是否存在较好的投资机会。如果公司能够找到报酬率较高而变现力较强的投资项目，就应当考虑推迟付款，首选方式C，其次是方式B，使目前拥有的现金投资于高回报的项目，提高资金的使用效率。当然，如果公司目前没有合适的投资机会，就应当选择方式A，将设备价款一次性付清，以避免资金的闲置。

（2）如果该公司目前没有足够的现金一次支付500万元的设备款，公司似乎应当采纳方式B或方式C。但是，公司完全可以考虑通过适当的方式筹足500万元资金，以一次支付设备价款。这时就要考虑筹资成本的高低。如果公司能够以较低的代价筹集到足够的资金，那就应当选择一次性支付价款的方式；反之，如果公司目前筹资困难较大，筹资成本很高，那就应当放弃筹资，而选择分期付款或延期付款的方式。

实际上，对于天地化工有限责任公司付款方式的决策问题，可以作更为深入的定量分析。但鉴于许多财务决策的方法将在以后各章作系统的介绍和展开，因此读者可以在学完本书其他章节的主要内容后再回过头来进行深入的思考。