人寿保险费率的厘定

三、人寿保险费率的厘定

（一）人寿保险费的概述

和财产保险费一样，人寿保险费也由两部分构成：纯保险费和附加保险费。由于人寿保险费并不是一次付清的，所以投保人所缴纳的纯保险费可分为危险保险费和储蓄保险费。前者用于当年保险金的支付，后者则是一种累积的保险费，用来弥补未来年份的赤字。附加保险费用于保险费经营中的一切费用开支。纯保险费和附加保险费构成了营业保险费，它是寿险机构实际收取的保险费。

寿险计算的基本原则是收支平衡原则，“收”是指保险机构收取的保险费总额；“支”是指保险机构的保险金给付和支出的各项经营费用。这里所说的收支平衡，并不是数学意义上的简单相等，它要考虑货币的时间价值等一些重要因素。

以缴费方法为依据，寿险保险费可分为自然纯保险费、趸缴纯保险费和均衡纯保险费。自然纯保险费是以死亡率为缴付标准计算的保险费，它按年收取。随着年龄的增大，人死亡的概率越来越高，需缴纳的保险费也越来越多，因此，这种缴费方式年轻人乐于接受，而老年人则不希望采用这种方式。趸缴保险费是在投保之日起便一次性缴清的保险费，如果从趸缴保险费中扣除附加保险费，就得到了趸缴纯保险费。计算趸缴保险费时，要考虑到货币的时间价值和死亡率因素，要把各个年岁应缴的保险费折合成现值。在现实生活中，很少有人一次性缴清所有的保险费。均衡保险费是指在某一期限内，投保人按固定数额缴纳的保险费，从均衡保险费中扣除附加保险费，就是均衡纯保险费。与自然纯保险费和趸缴纯保险费相比，均衡纯保险费更能让人接受，因此，在保险业中得到了广泛的运用。

（二）利息的概念与计算

利息是资金所有者由于借出资金而获得的报酬。利息广泛存在于现代生活之中，已成为衡量经济效益的一个尺度。利息率是指借贷期间所形成的利息额与所贷资金的比值。根据不同的标准，可以划分出各种各样的利率类别。以计算利息的期限单位为标准，利率可划分为年利率、月利率和日利率。年利率是以年为时间单位计算利息；月利率、日利率分别是以月、日为时间单位计算利息。

人寿保险机构在经营业务时，必须考虑利息因素，因为它直接影响着保险人的经营绩效，无论是确定保险费率，还是进行保险基金的投资，无不涉及利息的计算，利息的计算方法有两种，即单利和复利。

1.单利

单利计算利息的特点，就是对利息不再付息，其计算公式为：

I＝P×i×n，S＝P×（1＋i×n）其中，I为利息额；P为本金；i为利息率；n为借贷期限；S为本利和。

如一笔为期3年，年利率为5％的10000元存款，利息额为1500元：

10000×0.06×3＝1800（元）

本息和为：

10000×（1＋0.06×3）＝11800（元）

2.复利

复利是一种将上期利息转化为本金一并计算的方法。即上期的利息在本期也作为本金生息，如按年计息，第一年按本金算出利息，第二年计算利息时，要把第一年利息加在本金之上，然后再计算。以此类推，直到合同期满，复利计算的公式是：

S＝P×（1＋i）ⁿ，I＝S－P

用复利计算上述实例的利息：

S＝10000×（1＋0.06）³＝11910（元），I＝11910－10000＝1910（元）

可见，用复利计算，利息多出了110元。

和单利相比，复利是更符合利息定义的计算利息方法，现代经济生活中，复利的运用十分广泛。

（三）终值和现值

在人寿保险费率的厘定过程中，常常会遇到终值和现值的问题。终值又称将来值，是现在一定量现金在未来某一时点上的价值，也就是本利和。在上例中，10000元在3年后的本利和11800元就是终值。

现值又称本金，是指未来某一时点上的一定量现金折合到现在的价值。如上例中3年后的11800元折合成现在的价值为10000元，这10000元就是3年后的11800元的现值。

以上都是在以单利计算的情况下讨论的终值和现值。在以复利计算时，终值可表示为：

终值＝F＝P×（1＋i）ⁿ

现值可表示为：

式中，令

现值＝P＝F×vⁿ

例如，求现在存入多少钱，可在复利为6％的前提下，得到3年后的10000元。

（四）年金

年金是指在一定时间内按照一定的时间间隔有规则地收付的款项，依据不同的标准，年金可划分为很多类。按支付条件，年金可分为确定年金（与死亡率无关）和生命年金（与死亡率有关）。对人寿保险而言，有意义的年金划分方式还有以下几种：以每期年金支付的条件为标准，可分为期首付年金和期末付年金。期首付年金是指年金的支付发生在期初。期末付年金是指年金的支付发生在期末。以支付开始的时间为标准，可分为即期年金和延期年金。即期年金是指一旦年金领受人符合条件就立即开始支付的年金，延期年金是延长一定时期后才开始支付的年金。

鉴于期首付年金和期末付年金在厘定保险费率时较为常用，下面详细加以介绍：

（1）期首付年金。以n表示年金支付的期间，用i表示利率，设支付额为1单位元，令

用¨a_n表示期首付年金的现值，则

（2）期末付年金。以n表示年金支付的期间，用i表示利率，设支付额为1单位元，令

期首付年金与期末付年金的现值与终值之间有以下关系：

（五）生命表

1.生命表的含义及分类

生命表是根据一定时期某一国家或地区的特定人群的有关生存、死亡的统计资料，加以分析整理而形成的一种表格，它是人寿保险测定危险的工具，是寿险精算的数理基础，是厘定人寿保险纯费率的基本依据。生命表以年龄为纲，全面地反映某一国家和地区一定人群的生死状况。在生命表中，最重要的是计算每个年龄段的死亡率。

（1）以死亡统计的对象为标准，生命表可分为国民生命表和经验生命表。国民生命表是根据全体国民或某一特定地区人口的死亡资料编制而成的。经验生命表是根据保险机构有关人寿保险、社会保险的死亡记录编制而成的。在人寿保险的精算过程中，一般选用经验生命表，因为国民生命表统计的范围很大，老弱病残无所不包，而经验生命表所统计的对象仅为被保险人，他们只有在身体合格的情况下，才能参加人寿保险。因此，相对国民生命表而言，经验生命表的死亡率更低，对保险机构更具有实际意义。

（2）以反映程度为标准进行分类，生命表可分为完全生命表和简单生命表。前者是以人口普查资料为依据编制的，它能够反映出每一年龄段的生死概率；后者的编制依据是人口动态统计资料与人口调查，它只能反映出某一年龄段的生死概率。

2.生命表的内容

在生命表中，首先要选择初始年龄并假定在该年龄上，有一定数量的人生存，这个数量就叫做基数。一般选择0岁为初始年龄，并规定此年龄的人数，通常选择10万、100万、1000万等整数。下面以中国人寿保险业经验生命表（1990—1993年）的部分内容为例说明。

表10‐1　生命表

可以看出，生命表一般包括以下内容：

x：年龄。

l_x：生存数。是指从初始年龄至满x岁尚生存的人数，即x岁的生存人数。例如，l₂₅＝980199，表示在初始年龄定义的1000000中有980199人活到了25岁，或者说25岁的生存人数为980199。

d_x：死亡数。是指x岁的人在此后的一年内死亡的人数，即在x～x＋1岁的年龄死亡的人数。如d₂₅＝723，表示25～26岁死亡的人数为723人。

px：生存率。是指x岁的人在一年内仍生存的概率，即x岁的人生存1年的概率。

q_x：死亡率。是指x岁的人在一年内的死亡率。即在x～x＋1岁的年龄死亡的人数与l_x的比率。

e_x：平均余命。是指x岁的一群人以后还能生存的平均年数。对年龄为0岁的人来说，其平均余命就是其平均寿命。

3.生命表中的几个关系式

（1）l_x－d_x＝l_x＋1。该式表示x岁的人年初的生存数l_x与年内的死亡数d_x的差额就是次年x＋1岁的人的生存人数l_x＋1；上式也可写作：

d_x＝l_x－l_x＋1

即来年死亡人数是本年初生存人数与次年初生存人数之差。

（2）d_x＋d_x＋1＋…＋d_x＋n－1＝l_x－l_x＋n。该式表示连续数年死亡人数之和等于第一年年初生存人数与最后一年年初生存人数之差。

本年年初生存人数之比，它表示x岁的人能生存到x＋1岁的概率。

同理，可以推导出另一个关系式：

该式表示x岁的人存活到x＋n岁的生存率。

同理，可推导出x岁的人在n年间的死亡率关系式

容易看出，x年度的生存率与死亡率之和为1，即：

px＋qx＝1，npx＋nqx＝1

（5）n|mqx表示x岁的人在生存了n年之后，于m年内死亡的概率。

（六）纯保险费率的计算

与自然纯保险费、趸缴纯保险费、均衡纯保险费对应，保险费缴纳方式分为两种：趸缴和分期缴纳。趸缴是指投保人将保险费一次缴清；分期缴纳是指在一定期限内按某一数额缴纳保险费。

1.趸缴纯保险费的计算

根据不同的险种，对趸缴纯保险费的计算，分别加以介绍。

（1）定期生存趸缴纯保险费的计算。定期生存保险是以被保险人在一定时期继续生存为保险金给付条件的一种保险形式。也就是说，如果被保险人在保险期届满时仍然存活，则保险机构给付保险金；如果死亡，则不给付保险金，也不退还所缴保险费。通过一个例子给出计算纯粹生存保险纯保险费的公式。

3年期满时，保险机构应支付的总保险金为

l₂₈×1＝978051×1（元）

根据收支平衡的原则，考虑货币的时间价值因素，可得到以下等式：

则0.837779344元就是投保人应趸缴的纯保险费。如果在签订保险契约时规定，在3年期满时每个活着的被保险人可以领到5万元的保险金，则投保人应趸缴的纯保险费为

如果投保人的保险金额为R元，应趸缴保险费为

（2）定期死亡保险的趸缴纯保险费计算。定期生存保险又称为定期人寿保险，是以被保险人在保险期限内死亡为条件支付保险金的一种形式。也就是说，只有当保险人在保险期间死亡时，保险机构才支付保险金，如果继续存活，则不予支付。

通过例子，给出定期死亡保险趸缴纯保险费计算的公式。

【例10‐2】 设有25岁的被保险人980199人，他们购买3年期的死亡保险，利率为6％，保险金额为1单位元，即：如果被保险人在25～28岁死亡，在其死亡后紧接着的整数年龄上，其受益人将可以领到1单位元的保险金。令v＝1/（1＋0.06）。采用表10‐1提供的数据求每个投保人应趸缴的保险费。

查生命表可知，保险机构的保险费支出情况如下：

在25～26岁的第1年内被保险人中有723个人死亡，在26岁的整数年龄上，保险机构支付保险金总额为723×1元，这笔保险金在25岁时的现值为723×v；

在26～27岁的第1年内被保险人中有713个人死亡，在27岁的整数年龄上，保险机构支付保险金总额为713×1元，这笔保险金在25岁时的现值为713×v²；

在27～28岁的第1年内被保险人中有712个人死亡，在28岁的整数年龄上，保险机构支付保险金总额为712×1元，这笔保险金在25岁时的现值为712×v³。

根据收支平衡原则，可得到下列等式：

现在可以给出计算定期死亡保险的趸缴纯保险费的一般计算公式：

由以上例10‐1和例10‐2的分析可知：

∶

（4）年金保险的趸缴纯保险法。年金保险是指保险公司在一定时期内，以年金方式按期支付直至期满的一种保险形式。年金保险分为两个阶段：一是缴费期；二是年金支付期。这里探讨的是缴费期趸缴保险费的计算方法。

第1年末：1×l_x＋1×v

第2年末：1×l_x＋2×v²

第3年末：1×l_x＋3×v³

以此类推，第n年末为1×l_x＋n×vⁿ。由收支平衡原则，可得

期初支付的年金保险保险费的推导类似于期末支付的年金保险保险费，用表示趸缴的保险费，则

由以上分析可知：

2.分期缴付纯保险费的计算

一次性缴清保险费，可以减少诸多烦琐环节，这对保险人、被保险人双方都有利，但现实的情况是，被保险人往往不愿意拿出较大的一笔钱缴纳保险费。为了解决这个问题，保险费缴纳可以采取分期方式，即保险人允许被保险人分期缴纳，如按年、按季、按月来缴付。一般来说，按年度缴费最为普遍。这里就年度纯保险费的计算予以介绍。

（1）定期生存保险年度缴付纯保险费的计算。

设有25岁的被保险人980199人购买3年期的生存保险，保险金额为1单位元，利率为6％，保险费均在期首支付，求每年应缴保险费。

保险机构需要对所有3年后存活的人每人支付1单位元的保险金，查生命表得l₂₈＝978051人，折成现值为：

l₂₈×1×v³＝978051×v³

根据收支平衡原则，有以下等式成立：

根据同一原理，可以推出一般情况下的等式：

设有x岁的被保险人l_x个人购买n年的定期生存保险，保险金额为R，利率为i，保险费均在期初支付，令v＝1/（1＋i），年度纯保险费为：

【例10‐5】 设有25岁的被保险人980199人购买3年期的生存保险，保险金额为50000元，利率为6％，保险费均在期首支付，采用表10‐1提供的数据求每年应缴保险费。由以上分析可知：

（2）定期死亡保险年度缴付纯保险费的计算。

。

分析：先将保险机构各年的保险费收入折合成现值如下：

……

第n年： P¹_x：n×l_x＋n－1×v^n－1

保险机构各年的保险金额支出折合现值为第1年末：d_x×v¹

第2年末：d_x＋1×v²

第n年末：d_x＋n－1×vⁿ

从而

【例10‐6】 设有25岁的被保险人980199人购买3年定期死亡保险，保险金额为50000元，利率为i，保险费均在期初支付，采用表10‐1提供的数据求每年应缴保险费。

由以上分析可知：

（七）毛保险费的计算

毛保险费是由纯保险费和附加保险费构成的。计算毛保险费一般可使用三种方法：1.三元素法

三元素法把附加费用分为三类：原始费用、维持费用、收费费用。原始费用是保险公司为招揽新合同，在第一年度支出的一切费用。维持费用是指整个保险期间为使合同维持保全的一切费用，它应分摊于各期。收费费用是指收取保险费时的支出。与维持费用一样，它也分摊于各期。把将来年份的附加费用折合成现值，就可得到附加保险费的现值之和。再根据“毛保险费现值＝纯保险费现值＋附加保险费现值”的原理来计算总保险费。三元素法的优点是计算结果准确，缺点是计算过程复杂、烦琐。

2.比例法

比例法假设附加保险费为毛保险费的一定比例K。这一比例通常是根据经验来确定的。设G表示毛保险费用，P表示纯保险费，F表示附加保险费，R表示附加保险费比例，则有

G＝P＋F＝P＋RG

整理得

比例法的优点是计算简便，不足之处在于R值的确定缺乏合理性。

【例10‐7】 若净保费P＝300元，附加保费比例R＝0.12，求毛保险费G与附加保险费F。

分析：

3.比例常数法

比例常数法是把附加保险费分为两部分：一部分表示为毛保险费G的一个固定比例，用R表示；另一部分是每单位（一般以1000元为一个单位）保险金收取的费用，用C表示。这样就有：

G＝P＋F＝P＋RG＋C

整理得

【例10‐8】 某一两全保险的保单，若保险金额为25000元，年缴净保险费为689元，附加保险费为总保险费的8％，另外每千元保险金另收管理费用8元，求这一保险的毛保险费与附加保险费。

分析：R＝0.08，C＝25000×0.008＝200，P＝689