在变式教学中激活并提升学生的数学思维策略研究

钱海华

摘　要：本文从老师和学生两个角度谈了如何开展变式教学，在自然而又流畅地进行变式教学中，点燃学生数学思维的火花，带领学生自主探究数学知识，自主地提出问题，让学生在体验“潮来潮去”的变式教学过程中享受到数学的魅力，同时激发学生数学思维的兴趣、提升学生数学思维的方法以及能力。

关键词：变式教学　激活　数学思维　自主

传统的变式教学往往都是在教学中，教师预设变式，在课堂中有序呈现；而我所提倡的教学是在教师引导下，让学生来探究变式，解决变式。从这角度上来说，即为“自主变式”，也可定义为“变式探究”。

在变式教学中激活学生数学思维

（一）在“变与不变”中激活学生数学思维兴趣

学生的数学思维体现在数学兴趣，要激活学生的数学思维，首先得激活学生的数学兴趣，让学生主动参与数学思维，成为数学思维的主人。激活数学思维兴趣的方法很多，如：

“变之一”——设计开放题激活学生数学思维兴趣

如在《解析几何》里学习对称问题时，进行由条件封闭变式为条件开放的变式教学，引导学生积极参与，更好地激活学生数学思维兴趣。

【例1】求直线y＝2x＋1关于x轴对称的直线方程。

变式1：直线L：y＝2x＋1与直线M关于_________对称，则直线M的方程是___________。

直线M的方程随着对称条件不同而不同，让学生先填对称条件，每个学生都可以填出一个对称条件（由于对称条件比较多，学生容易填，极大地激发了学生的数学思维兴趣），然后师生归纳出对称类型：关于点对称；关于直线对称，或许还有其他的（如关于图形对称）。再把问题的解决抛还给学生，探究出解决问题的方法。

“变之二”——利用升维思想激活学生思维兴趣

如在《立体几何》的学习之初，让学生进行叠三角形游戏，例：用6根火柴叠出4个正三角形。当学生的思维还停留在二维平面时，那么用尽不同的方法也叠不出4个正三角形，教师适时给出正四面体的空间模型，把学生的思维方式从平面引到空间，使学生对空间图形的学习产生一种强烈的渴望感，激发学生浓厚的空间思维兴趣。

“变之三”——利用学科渗透激活学生思维兴趣

在函数值意义的教学中，利用BASIC语言中赋值语句，一则可以降低学生接受知识的难度，解除学生对函数知识学习的困扰，加深对函数值意义的理解；二则又把数学知识和计算机知识有机地结合起来，自然而然地起到学科渗透的作用，激起学生对函数学习的思维兴趣。如函数值的教学中的典型例子：已知f（x）＝x2＋2x－3，求f（2x＋1）；又如地理中地图中的经度和纬度的定义可以在立体几何《球》的教学中进行说明，同时在《球》这一章的习题编制中也可以根据经纬度有关的问题来出题。

（二）在“变与不变”中激活学生数学思维方法

变式4（建模）：一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为每小时v千米，两车的距离不能小于千米，运完这批物资至少需要多少时间？

通过以上变式教学，更好地激发学生重要的数学思维方法，即归类。

（三）在“变与不变”中激发学生数学思维能力

首先它体现在概念教学中，要使学生真正理解、掌握概念，教学时也需要及时地进行变式教学，从不同的角度去推敲和理解，即变正例为反例，再又归到正例，或删减某个条件，讨论结论的可能性等，从而使学生真正认识概念的本质。激发学生数学思维能力的变式教学可以从以下三个教学主阵地中得以淋漓尽致地体现：

1．一题多解

一题多解不但可以培养学生数学思维的发散性，拓展数学思维，而且更重要的是夯实了数学思维基础。

【例2】已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，如果点P（1，2），A（x1，y1），B （x2，y2）都在抛物线上，（1）写出抛物线方程（y2＝4x）；（2）当PA和PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值。

对于（2），思维方法一（最近思维方式，交轨法）：因为PA，PB的斜率是互为相反数，所以由方程法分别求得y1和y2，从而得解；思维方法二（发散思维方式）：根据思维方法一有kPA＝－kPB在批改试卷或作业时发现，一些学生列出上式后思维受阻，思维受阻的原因是忽视了一个最基础的思维方法，即因果分析法。只要根据条件将x1，x2分别用y1，y2表示即可求出结果。

2．一题多变

一题多变不但可以培养学生数学思维的良好习惯，更能锻炼学生的数学思想，形成良好的数学思维方法。

【例3】关于x的一元二次不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1＜0的解是全体实数，求实数a的取值范围。

分析：由恒成立条件知

变题1：关于x的不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1＜0的解是全体实数，求实数a的取值范围。

分析：判别式Δ是一元二次方程特有的，在运用之前一定要分清是不是一元二次方程，在问题不能肯定时，就要对二次项系数等于零和不等于零进行分类讨论。

变题2：已知函数在R上单调递减，求实数a的取值范围。

分析：函数在R上递减，要求导函数f′（x）＝（a2－1）x2－（a－1）x－1＜0恒成立，这个问题就回到了变题1的情景。

3．一题多思

一题多思不但可以提高学生数学思维的灵活性，长期坚持更能丰富学生的数学素养，从而达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的境界。

【例4】写出数列2，－3，2，－3，…的一个通项。

思考1：第一步，用（－1）n－1处理“正、负”相间问题；

第二步，将原数列变为2，3，2，3，…，研究它的通项；

第三步，运用细分法寻找写2，3，2，3，…的通项的方法，即：把每一项中都有的数“分离”出来，使其出现“0”间隔：

第一项：2＝2＋0；

第二项：3＝2＋1；

第三项：2＝2＋0；

第四项：3＝2＋1；

第四步，将原数列变为写0，1，0，1，…，研究它的通项的办法：将“1”均分，再运用“正、负”相间问题的处理方法，得原数列的通项为

思考2：由思考1，直接把每一项中都有的数“分离”出来，使其出现“0”间隔。以下分析同思考1。

思考3：直接观察知，奇数项为2，偶数项为－3，从而运用分段函数直接写出通项如下：

在“自主变式”中提升学生数学思维能力

（一）将变式意识应用于课堂教学中

自主变式教学在课堂上的实施中，教师的引导是至关重要的，“引问”起着承上启下的作用，串联着知识发展、衔接着变式进程。一方面它是对原式的总结，另一方面它是对新变式的设问，而这两方面的比较，使学生能作出清楚判断，明白他要设计什么问题、怎样去设计、为什么要这样设计，从而达到自主变式的真正目的。

【例5】已知函数试判断f（x）在区间［0，2］上的单调性。

自主变式1：已知函数试讨论f（x）在区间［0，2］上的单调性。

自主变式3：（2008全国卷一第19题）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R，试讨论函数f（x）在R上的单调区间。

例如，在例5变式过程中可依次设置如下“引问”：

引问（1）：若需要对导函数根的分布进行讨论，请尝试引进一个参数构造出一个新函数。

引问（2）：在（1）的基础上，若同时我们需要讨论二次函数开口，那么再怎么设新函数比较合理？

引问（3）：事实上，若要研究的导函数为二次函数时，在我们关注导函数正负时有时就需要研究二次函数的“Δ”，请构造一个定义域在R上的三次函数，当求单调区间时就需要对“Δ”讨论。

引问（4）：刚才3个变式都是直接来求函数单调区间或判断函数单调性，但有时往往是直接告诉我们函数单调性来研究参数的取值范围，同学们能否把变式3适当改改，使得研究问题变成求参数取值范围。

（二）把变式意识带进研究型学习中

如在三角教学时通过函数建模来研究“大风车”，可设计如下的思维展开，积极引导学生自发地提出问题，并在教师的适时引导点拨下，讨论问题的深入发展及逐个解决。

对必修4中教师教学用书第63页的检测题稍加改编如下：

【例6】如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点P离地面0．5m。风车圆周上一点A从最低点P开始，按逆时针方向运动t（s）后与地面的距离为h（m），求函数h＝f（t）的关系式。

思考1：h是t的函数吗？

结论：易知t∈［0，＋∞），h∈［0．5，4．5］，因为在任何时刻点A的高度是唯一确定的，用数学语言可表述为：对于区间［0，＋∞）内的任一实数t，在区间［0．5，4．5］内存在唯一确定的实数h与之对应，所以存在区间［0，＋∞）到区间［0．5，4．5］的函数h＝f（t）。

思考2：为何宜先建立坐标系，再求函数关系式？

这时学生就自然而然地会提出以下问题并进行思考：

思考3：是否只能用模型h＝Asin（ωt＋φ）＋b来描述“大风车”？

在中学数学教学中，变式教学有更广阔的应用空间，能更好地为学生起到搭建“脚手架”的作用，使学生在数学问题策略的学习中，通过变的问题特征，去发现不变的方法特征。而自主变式教学是让学生在教师的引导下自己去搭建“脚手架”，让学生更好地体会知识发生发展、异化迁移的核心过程，有利于发散学生思维、培养学生创新思维等意义；但另一方面自主变式教学对学生的能力提出了更高的要求，所以在实际应用中受到的局限性也会更大，所以它更适合于高三的复习教学。