高等数学教学中应该培养的数学思维能力及教学原则

第二节　高等数学教学中应该培养的数学思维能力及教学原则

数学思维能力，就是在数学思维活动中，直接影响着该活动的效率，使活动得以顺利完成的个体的稳定的心理特征。数学思维能力的纵向发展型教学目标，是指在整个数学教育过程中，学生在不同的学习阶段，数学思维能力必须发展到的高度或水平，是与学生的年龄特征和智力发展密切相关的总体数学目标。在高等数学教学中主要应该培养的数学思维能力：①具体形象思维能力；②抽象思维能力；③辩证逻辑思维能力；④创造性思维能力。

一、高等数学教学中主要应该培养的数学思维能力

（一）具体形象思维能力

具体形象思维，就是指脱离开感知和动作而利用头脑中所保留事物的形象所进行的思维，它的特点是不能离开具体形象来进行思维活动的。数学形象思维具有直观性、概括性和多面性等特征。直观性表现在思维借助于具体的形象（如几何图形、代数结构等）而运行的；概括性表现在思维时所用的材料往往是经过加工的具有一定概括性的数学形象；多面性则是相对逻辑思维而言的，逻辑思维按部就班，一步一个脚印，是线性的，而形象思维则是多角度、多侧面的，因而是面型的。

表象是思维的基本材料，实际的数学形象思维材料往往是在表象的基础上有所抽象概括加工而成的数学形象，表象量愈多，形象思维内容愈丰富；表象质愈好，形象思维结果愈准确。随着数学知识领域的拓广和内容的不断抽象，由表象所形成的形象就成为更高层次的表象。例如，通过对函数图象的实践认识，学生积累了不少有关函数的形象，在此基础上，一笔画成的曲线就成为连续曲线的形象；没有尖点角点等奇异点的连续曲线就成了可微函数的形象。几何直观是形象思维在数学中的重要表现形式。在传统数学领域，分析、代数、几何正在日益彼此渗透，其中几何直观功不可没。康德（Kant）如是说：“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的……”

在高等数学中，微积分以函数为研究对象，这些函数都是定义在Rⁿ（n∈N）上的，当n＝1，2时，这些函数就获得了在平面直角坐标系内的几何直观，当n≥3时，对函数性质的研究和了解也往往是类比R¹、R²上的情形，因而可以说形象思维贯穿于微积分学习的全过程。比如，多元复合函数的求导法则如同一元复合函数一样，都遵循着“链式法则”，但由于变量个数的增多，其具体的求导形式要比一元函数复杂得多。运用数学形象思维，建立多元复合函数求导法则的“树形图”几何结构，可将其复合关系和链式法则的具体形式揭示得一清二楚，使多元复合函数的求导过程变得简单有序。

再如讲授拉格朗日（Lagrange）中值定理时，可先作一光滑图形来说明函数在闭区间上连续、开区间内可导等条件，然后说明在开区间内至少存在一点，使这点处的切线平行于曲线两端点的连线，并给出该连线的斜率，再给出严格的证明。这样做会使学生对问题的理解更为深刻。另外，形象化教学还可以借助多媒体手段，在计算机上编制适当的软件以加强形象化教学的效果，这是一条很好的途径。但是，我们不可能也没有必要对所有内容都编制软件。笔者通过多年的教学实践，体会的形象化教学并不是全靠出示教具或编排电脑节目以达到应有的效果的，它的精妙之处在于教学过程中信手拈来的生动有趣的例证和寥寥几笔的图形带给学生思维上的启示和触类旁通的感悟。所以培养学生的形象思维是培养学生用数学方法创造性地解决实际问题的一个十分重要的方面。利用数学形象思维进行直观判断的方法，能迅速抓住问题的实质，发现问题的答案，它是学好高等数学的一种重要方法，也往往是许多复杂证明赖以成功的基石。徐利治教授说：“真正的懂离不开数学直观，因此数学直观力的培养非常重要。”因此，大力提高学生形象思维水平十分必要。

多年的教学经验告诉我们，“数形结合”的方法对提高学生的形象思维水平极为有效，“数形结合”表现为对问题的数学逻辑表述和对问题的几何意义综合考察，前者偏于逻辑思维，后者偏于形象思维。在思维实践活动中，二者总是相互交叉，相互制约，难以截然分开。因此，在教学活动中应重视有关概念、法则与定理所反映的几何意义以及逻辑的数学语言与直观的几何表示互译的教学。用形象思维寻找问题解决的突破口，用抽象思维对思维过程进行监控与调节。

（二）抽象思维能力

抽象思维，就是指离开具体形象，运用概念、判断和推理等进行的思维。这一思维能力目标，要求学生能在取得感性认识材料的基础上，运用概念、判断和推理等理性认识形式对认识对象的间接的、概括的反映。抽象思维是数学思维最显著的特征之一。在高等数学教材中，大部分概念（如导数、二重积分、曲线积分、曲面积分等）在引入时，都是从实例入手，抛开实际的意义抽象得出的。教师在教学中，可以很好地利用这一点，有意识地培养学生的抽象思维能力。例如，对二重积分定义时，一般的教材都是先讨论两个具体实例。其中一个是讨论曲顶柱体的体积，另一个是讨论平面薄片的质量。尽管前者是几何量，后者是物理量，实际意义截然不同，但他们的计算方法与步骤却是相同的，排除其具体内容（非本质属性），从中抽象出相同的数学结构，得出了二重积分的概念。教师在讲授这一概念时，可以试着让学生自己去抽象出相同的数学结构。通过多次对不同内容的分析过程，可以逐步培养和提高学生的抽象与概括能力，也使学生掌握从具体到抽象的学习原则。久而久之，学生的抽象思维能力将会得到显著的提高。

（三）辩证思维能力

辩证思维，就是客观辩证法在人们思维中的反映，它是客观事物和客观过程的内容发展的辩证法在逻辑形式中的再现。这一能力目标，要求学生在运用概念判断和推理时应具灵活性、可变性和辩证矛盾的特性。数学教育的重要目的之一在于培养学生的数学思维能力。辩证逻辑研究的是思维形式如何正确反映客观事物的运动变化，事物的内部矛盾，事物的有机联系和转化问题。辩证逻辑研究对象的这种矛盾的解决，一般都是以辩证思维方法为依据的。在数学思维中，辩证思维被认为是最活跃、最生动、最富有创造性的成分。前苏联数学教育家奥加涅相认为：“真正完美的数学思维首先是辩证思维。”在数学发展史上，许多重大的数学发现过程都具有辩证的特点。很难设想，一个缺乏辩证思维的人能创立微积分。可见辩证思维对数学的研究和发展及数学学习的重要性。作为变量数学的高等数学，蕴涵着极其丰富的辩证思想。其内容的辩证性体现得非常典型和深刻，集中反映了辩证法在数学中的地位。因而它是培养学生数学辩证思维能力的最优载体。

高等数学是用全新的变化的观点去研究现实世界的空间形式和变量关系，所以学生从学习常量数学到变量数学，在思维方法上是一个转折。突出高等数学的辩证法，有助于学生摆脱在初等数学中静态思维方式的束缚，学会用辩证法的方法分析问题，提高辩证思维的层次。例如，极限概念中“ε－N”定义的产生和形成过程，就带有辩证思维方法的色彩。它的主要特点是用有限量来描述和刻画无限过程及有限到无限的矛盾转化。极限概念包含着非常深刻、丰富的辩证关系，特别是变与不变、近似与精确、有限与无限等。

矛盾的对立统一观点，是辩证法的核心，它在高等数学中的表现尤为突出。例如，极限值的得出就是变化过程与变化结果的对立统一；微分和积分刻画了变量连续变化过程中局部变化与整体变化之间的对立统一；还有“离散”与“连续”、“近似”与“精确”、“均匀”与“不均匀”等，都是矛盾对立统一的具体反映。高等数学中的许多概念也是多种矛盾的统一体，如“无穷小量”有零的特征但却不是零。

高等数学的概念、原理之间既互相渗透又互相制约的特点是高等数学辩证性的又一重要特征，是事物普遍联系规律的反映。例如，定积分、重积分、线积分、面积分概念，都是从不同的具体原型抽象概括出来的，但它们之间却有着本质的联系，即都是“分割，近似代替，求和，取极限”的数学思想方法，概念的结构是类似的。又如从不定积分与定积分的概念来看，不定积分属于求原函数的问题，而定积分属于求和式极限的问题。但上限为变量的定积分实际上就是被积函数的一个原函数，从而沟通了定积分与不定积分概念之间的联系。这种联系还体现在运算上，牛顿—莱布尼兹公式就是建立定积分和不定积分关系的桥梁。它表明，要计算f（x）在［a，b］上的定积分，可先求出f（x）的不定积分，然后再计算差值F（b）－F（a就可得到所要求的定积分的值。在高等数学中，矛盾对立统一的观点、普遍联系的观点、否定之否定的观点以及量变到质变的辩证规律随处可见。因此，教师在数学教学中应充分挖掘这些知识间的辩证关系，努力发展学生的辩证思维，从而逐步提高其思维能力。

（四）创造性思维能力

创造性思维，就是有创建的思维，即通过思维不仅能揭示客观事物的本质及内在联系，而且能在此基础上产生新颖的、前所未有的思维成果。这一思维能力目标，是我们数学教育所追求的最高境界，是其他思维能力目标充分发展、突变、飞跃而达到的终极目标。要求学生能针对数学问题给出新的解决办法，或提出新的数学问题，创造新的数学理论。如学生能在复数系基础上提出新的数系，或能定义新的运算，即所谓创造性思维能力。应该指出的是，从创新的相对意义看，创造性思维是广义的，学生的数学创造性思维是“再发现”式的，主要是相对思维主体而言，具有一定的自身价值或认识意义的新颖独到的思维活动。创造性思维能力的培养可以从以下几个方面进行：①培养学生的聚合思维和发散思维。聚合思维在内容上具有求同性和专注性，发散思维在内容上具有变通性和开放性，每个人的思维都有聚合性，又有发散性，发散思维和聚合思维是相辅相成的。在数学教育中，往往更强调对学生聚合思维的训练，而对发散思维的训练则较少关注。事实上，由于高等数学教材的表述侧重于聚合思维，因而教师要善于挖掘和选取数学问题中具有发散思维的素材，恰当地确定发散对象或选取发散点，以培养学生的发散思维。例如，在引入定积分概念时，教师在举出“求曲边梯形的面积”的实例，引导学生分析其“分割、近似代替、求和、取极限”的数学思想方法后，启发学生联想“液体的静压力”、“物体转动惯量”等问题，并思考这些问题的共性，从而抽象出数学模型，给出定积分的定义，这是一个聚合思维的过程。教师应进一步引导学生分析该思维成果，并应用它去解决类似的实际问题，以实现对学生发散思维的培养。②培养直觉思维和分析思维能力从辩证思维的角度看，分析思维与直觉思维是相互依赖、相互促进的。任何数学问题的解决和数学知识的发现都离不开分析思维，但是分析思维也有保守的一面，即在一定程度上缺乏灵活性与创造性，而这正是不严格的直觉思维所含有的积极的一面。教学中，教师可通过出示一组相近命题，引起学生的思维冲突，激活思维兴奋状态，发展直觉思维。同时，教师应要求学生对猜想的结果进行严格论证，从而使直觉思维和分析思维和谐地发展。③培养学生的良好数学思维品质。学生的思维品质是思维发展水平的重要标志。它主要表现于思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性和批判性等五个方面，这五个方面既有各自特点，但又是互相联系、互相补充的。

创新能力的培养必须以创造性人格的塑造为根本。创造，不仅包含智力因素，也包含非智力因素。非智力因素主要是指创造过程中的人格特征，创造性人格包含着创新意识、创新热情和创造意志等多种成分。过去的做法往往注重创造性思维的技巧和方法的培养，而忽视创造性人格的塑造，这是应当加以纠正的。爱因斯坦说过：“一个人智力上的成就很大程度上取决于人格的伟大，这一点往往超出人们通常的认识。”因而，创造性人格的塑造绝不是可有可无的，教学中可从以下几方面塑造学生的创造性人格。

1．激发学生的学习动机和好奇心

具有明确的学习动机和探究事物的强烈欲望，是学生进行主动深入学习的动力源泉。高数的教学目标应着眼于学生思维方法“质”的飞跃以及数学精神的培养，教师应从数学精神的培养这一高度来阐述高数学习的意义，并借此激发学生的学习动机，使学生认识到数学学习还会影响人格特征，因而，学生的学习动机也就更明确。

2．引导学生独立思考，树立批判精神

教师必须树立师生平等观念，教学强调以人为本，充分尊重人的主体价值，强化学生的主体意识。只有这样学生才能充分发挥自身的主观能动性，才有可能从事创造活动。为此，教师应根据教材内容和学生的实际水平，提出一些富有启发性的问题，例如，讲解“定积分的应用”时，先提出：①定积分的应用主要有哪些方面？②如何分析实际问题与数学知识间的联系？③如何应用数学模型解决实际问题？④对这类问题的解决有什么值得注意的因素？⑤是否有更好的改进方法？然后让学生带着问题自学，再进行讨论，教师适时加以点拨、指导。这样的课堂设计，学生主动参与教学过程，自主地分析问题和解决问题。教师应调控教学活动进程，对学生的讨论要悉加引导，合理评价学生的思维与学习，并要求学生对所学知识加以总结、提高，强调对知识的批判性吸收。批判精神应包括对科学知识的分析、评价、延伸、完善、改造等因素。最后，教师应依据学生的学习情况作概括性总结。

3．促使学生勤于和善于吸纳与加工改造知识经验

个体的创新活动，离不开前人的文化积累，因为已有的知识经验是个体进行创造的基础。个体必须不断吸收已有的知识经验，并进行整理、加工，使之融入主体的认知结构，形成主体的结构化知识，有助于促进个体的创新行为。知识经验的获得与改造离不开个体的主动的、高效率的学习。因而教师应教会学生如何学习，如何制定学习策略和学习方法。例如，常微分方程这一章，教师在引导学生的学习策略上，应强调对所学材料进行合理编码，有条理地总结归纳微分方程的类型以及各种类型的解法，根据它们的意义与内在联系形成编码系统。

4．培养学生坚忍不拨的意志品质

贝费里奇在《科学研究的艺术》一书中提到，“所有有成就的科学家都具有一种百折不挠的精神，因为大凡有价值的成就，在面临反复挫折的时候，都需要毅力和勇气”。因此，教师要有意识培养学生坚强的意志品质，特别是学生在学习中遇到不易理解的内容或难题时，教师应帮助学生树立自信，让学生不要轻易放弃，因为良好的意志品质是在平时的学习生活中锻炼形成的。以上四个方面，在创造性人格这一统一体中是相互联系的。兴趣与爱好是创新的源泉与动力，学习与改造知识经验是创新的基础与前提，思考与批判是创新的灵魂，持之以恒的努力是创新得以成功的保证。为了开发学生的创造能力，除了塑造学生的创造性人格，培养创造性思维，还需要教给学生有关创造的思维方法。数学学习不仅是具体的数学知识的学习，而且也是数学方法的学习。学生将来未必会用到所学过的具体数学知识，而数学思想方法却会影响一个人的思维方式、认知习惯、做事原则，甚至人生态度与信仰。从这个意义上来说，数学方法的训练显得尤为重要。另外，创造性方法的基础意义还在于能够有意识地、自觉地运用合理方法洞察事物的本质属性，寻求事物的特殊规律。在教学中，通过从思想方法的分析来带动具体数学知识的传授，才可真正地做到把数学课“讲活”、“讲懂”、“讲深”。因此，教师应注重对典型例题的解析来揭示创造的一般方法，探索创造的一般过程。创新能力的培养是一种教育活动，这种活动是教育者与学习者之间积极有效的相互作用。教育者除了不断提高自身素质外，还应充分考虑学习者的气质类型、年龄特点、性别特征，把创新能力的培养落到实处。

二、培养数学思维能力的教学原则

根据多年从事高等数学教学的实践和认识，笔者认为在高等数学教学中培养学生的数学思维能力应当遵循以下原则。

（一）渗透性原则

首先，因为数学思维能力的培养离不开表层的数学知识，那种只重视讲授表层知识而不注重培养数学思维能力的教学是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；另外，出于数学思维能力的培养总是以表层知识教学为载体，若单纯强调培养数学思维能力，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生的数学思维能力难以得到培养和提高。其次，数学思维是一种复杂的心理现象，它体现为一种意识或观念。因此，它不是一朝一夕、一招一式可以完成的，而是要日积月累，长期渗透，才能水到渠成。再次，数学思维能力的培养主要是在具体的表层知识的教学过程中实现的。因此，要贯彻好渗透性原则，就要不断优化教学过程。比如，概念的形成过程；公式、法则、性质、定理等结论的推导过程；解题方法的思考过程；知识的小结过程等。只有优化这些教学过程，数学思维才能充分展现它的活力。取消和压缩教学的思维过程，把数学教学看做表层知识结论的教学，就会失去培养学生数学思维能力的机会。以上三个方面，说明了贯彻以渗透性原则为主线的重要性、必要性和可行性。

（二）反复性原则

一般来说，数学思维的形成有一个过程，学生通过具体表层知识的学习，经过多次反复，在比较丰富的感性认识的基础上逐渐概括形成理性认识，然后在应用中，对形成的数学思维方法进行验证和发展，加深了理性认识。从较长的学习过程来看，学生是经过多次的反复，逐渐提高认识的层次，从低级到高级螺旋上升的。另外，数学思维的培养教学与具体表层知识教学相比，学生领会和掌握情况有着较大的差异，所以具有较大的不同步性，只有贯彻反复性原则，才能使大多数学生的数学思维能力得到培养和提高。反复性原则和渗透性原则联系在一起就是要反复地渗透，螺旋式地上升。例如，在积分定义教学中，需要反复渗透类比思维。高等数学中积分共有7大类：定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第二类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲面积分，每类积分都有一套定义，但它们之间却有着十分密切的联系，并且有许多共性，比如说这7类积分概念的引入过程都是经过“引例（通常就是几何、物理意义）—定义—性质—运算”四个步骤，同时它们积分定义也大致相同，都是按照“分割、近似求和、取极限”三个步骤下定义的，在讲其他类型的积分（本体）时，可用定积分概念（喻体）相类比的方法启发学生自己给出定义，即首先由教师指出其他积分与定积分类似，然后可引导学生类比定积分的定义来定义其他积分。这就教给了学生如何去找类比的已知概念（喻体），又如何通过类比给出新概念（本体）的定义，使学生较好地掌握了概念的本质。培养一种数学思维要通过教学内容的多次反复，一般由孕育阶段、形成阶段和加深应用阶段组成。

（三）系统性原则

数学思维能力的培养与表层知识教学一样，只有成为系统，建立起自己的结构，才能充分发挥它的整体效能。当前在数学思维能力培养中，一些教师的随意性较强，在某个表层知识教学中，突出培养某种数学思维，往往比较随意，缺乏系统性和科学性，尽管数学思维培养的系统性不如具体的数学表层知识那么严密，但进行系统性研究，掌握它们的内在结构，制定各阶段教学的目的要求，提高教学的科学性，还是十分必要的。要进行数学思维培养的系统研究，需要从两方面入手，一方面挖掘每个具体数学表层知识教学中可以进行哪些数学思维的培养，另一方面研究一些重要的数学思维可以在哪些表层知识教学中进行渗透，从而在纵横两方面整理出数学思维能力培养的教学系统。下面试分析归纳思维能力培养在高等数学教学中大致的系统，首先，在讲授完某一教学内容时可进行局部归纳。例如，教师在讲完极限概念后可进行归纳：对于自变量的变化趋势不外乎x→x₀（有限）与x→∞（无限）两种情形，若细分又可分为x→x₀^＋、x→x₀^－及x→＋∞、x→－∞，特别地，当x取自然数时即是数列的极限当n→∞时的情形。这样，通过对自变量的变化趋势进行归纳，使学生明白了自变量的变化趋势x→x₀这一从“薄”到“厚”（细分为五种情形）的变化过程。例如，教师在讲授完极限一章后可把本章内容归结为：五个定义、四种关系、三个性质、两种运算、两个准则、两个极限。其次，在讲授完同一类型知识后可进行横向归纳。例如，就函数的导数而言，有一元函数的导数、多元函数的偏导数及方向导数三种，它们在本质上都是函数的交化率问题，都是增量比的极限，但也有区别：前二者为双侧极限，方向导数为单侧极限。通过这样简单的对比归纳，可以使学生深刻理解概念的实质。最后，对相互关联的教学内容可进行纵向归纳，例如，《高等数学》教学内容中的“向量代数与空间解析几何”这部分内容是多元函数微积分的基础，学生在学习时比较容易理解，但却不能深入其中，以至于在学习方向导数与两类线（面）积分的关系及第二型线（面）积分的计算时不得要领。因此，教师在讲授前面的知识点时要为后面的教学内容作好铺垫，指导学生在学习后面的知识点时要与前面的教学内容紧密结合，使前后教学内容相互衔接，达到融会贯通。

（四）确定性原则

数学思维能力的培养，在贯彻渗透性、反复性和系统性原则的同时，还要注意到确定性原则，只是长期、反复、不明确的渗透，将会影响学生从感性认识到理性认识的飞跃，妨碍学生有意识地去培养数学思维能力。渗透性和明确性是数学思维能力培养的辩证统一的两个方面，因此，在反复渗透的过程中，利用适当机会，对某种数学思维进行概括、强化和提高，对它的内容、名称、规律以及运用方法明确化，应当是数学思维培养教学的又一个原则。当然，贯彻明确化原则势必在数学表层知识教学中进行，处理不好会干扰基础知识的教学，我们应当在整个教学过程中，有计划、有步骤地进行尤其可以在章节小结中去完成明确化的任务。另外，明确化也要做到适度，要针对教材的内容和学生的实际，有一个从浅到深，从不全面到较全面的过程。