无穷的悖论

在几何中，我们不仅承认无穷量——就是比任何指定的量都大的量——而且我们承认那些无穷量无穷增大，一个比一个大。这的确令我们的大脑感到惊奇。人类最大的脑袋也仅仅只有约6英寸长、5英寸宽和6英寸深。

伏尔泰（Voltaire）

特里斯特拉姆·山代（Tristram Shandy）感到困惑不解，甚至有些绝望。他曾经动手写自传，却发现在一天的时间里仅仅只能记录半天的经历。即使从一出生就开始写，即使能长生不老，他也不可能记录下自己的整个一生，因为在任何时候他都将只能记录自己生命的一半历程。但是，如果他的确能长生不老的话，他就应该能够记录整个一生，因为头10年的经历将在20岁时记录下来；头20年的经历将在40岁时记录下来；等等。这样一来，他每一年的生活都将在适当的时候能被记录下来。因此，按照他的推理，他是能写完自传，又不能写完自传！特里斯特拉姆对这个悖论思考得越久，他就越发糊涂，似乎就越理不出头绪。

特里斯特拉姆不能解决这个悖论，乃在预料之中，因为他所面临的问题涉及时间的无限性。从希腊时代开始，最伟大的数学家、哲学家就一直为涉及无穷量的问题而心烦意乱，而且没有取得任何实质性的进展。例如，伽利略认识到整数的个数是无穷的；也就是说，整数的数目比任何能够写出的有限数都大。他还认识到，偶数的个数也是无穷的。于是他问道：这两个无穷集合哪一个较大呢？一方面，似乎应该是第一个较大，因为它不仅包含第二个集合中所有的数，而且还包含有其他的数（奇数）。但另一方面，对于第一个集合中的每一个数，在第二个集合中都有一个确定的数与之对应，如5对应于第二个集合中的10。对于第二个集合中的每一个数，在第一个集合中也有一个确定的数与之对应，如10对应于5。按照两个集合中间这种一一对应（one-to-one correspondence）的关系，第一个集合应该与第二个集合一样大。伽利略据此得出结论说，比较无穷量是不可能的。后来他也就不再思考这类问题了，他说：“无穷量和不可公度量（无理量）在本质上对我们来说是不可理解的。”莱布尼茨也考虑过类似的问题，他得出的结论是：“所有整数的个数”这一提法自相矛盾，应该抛弃。

在最后成功地着手解决无穷问题的几年前，19世纪天才的数学家高斯也表达了他对无穷量的惊恐情绪：“我反对使用无穷量……这在数学中是绝不允许的。”

无论有多少数学家在无穷量面前退缩，或者否定其存在，到19世纪中叶时，数学中却再也不能没有这个概念了。从1600年到1850年的这段时间里，数学已经取得了巨大的进展。在这一英雄的时代里，伟大的智力冒险家们凭借他们的天才和直觉，敢于越过困难的断层而先设想追求的目标。这些开路先锋们期望有人能够为断层架起桥梁，以帮助那些打算追随他们的比较谨慎小心的思想家采取严谨的步骤。

但是，架设桥梁可不那么容易。人们试图填补英雄时代所留下的空白，但却受到悖论、矛盾和更多的悖论的阻挠。如果想继续前进，就迫切需要一批富有想像力和大胆批判精神的思想家，这一批大胆的思想家将能够不顾、甚至蔑视直觉和常识。这种时代的要求最终实现了。可是，无论是谨小慎微的学者，还是那些开路先锋，都不可能率先做出这一令人惊奇的、具有重要意义的、产生具有批判性成果的发现。

第一位开始对无穷问题进行研究并取得成功的是数学家G·康托尔（Georg Cantor）。父亲要他学习工程技术，因为这将比教书获得更多的收入，但是康托尔却开始走上了数学研究这一脚踏实地的生涯；他终于对数学中最抽象的领域做出了巨大的贡献。他的工作受到了革新家们通常所遭遇到的那种经历——被人忽视、嘲弄，甚至虐待。第一流的数学家L·克罗内克（Leopold Kronecker）对康托尔的成就进行了猛烈的攻击。稍微温和一点的权威性评价，是由19世纪末最著名的数学家J·H·庞加莱（J. Henri Poincare）给出的，他说：“后人将把（康托尔的）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了。”这就告诉人们，在不遵从逻辑、思想保守、互相倾轧方面，数学家们丝毫也不亚于大多数人。像其他思想保守的人一样，他们在固有的思维方式的帷幕后面隐藏自己的愚钝，而疯狂地猛烈攻击那些将摧毁这幅帷幕的人。在经历了几次这样的攻击后，康托尔甚至也开始怀疑起自己的工作来了，他因此而变得十分沮丧，最后导致了精神分裂症。

在他去世前（康托尔于1918年逝世），他的与常识相反的而又在逻辑上可靠的结论，终于得到了几位数学家同行的认可，为反驳庞加莱的上述观点，不久以后，本世纪（20世纪）最伟大的数学家D·希尔伯特（David Hilbert）作出了令人欣慰的评价：“谁也不能把我们从康托尔为我们创造的伊甸园（乐园）中赶出去。”今天，康托尔的工作已经被完全、广泛地接受了，许多思想深刻的数学家们都十分愿意致力于解决由于接受康托尔的工作随之出现的一系列进一步的问题。

现在，让我们来看看康托尔如何处理无穷问题。最为人们所熟知的无穷集合的例子，是整数集合、分数集合和全体实数，即整数、分数以及诸如，π一类无理数的集合。为了得到这些集合中的元素的个数，通过数数的方法是不可能的，因为这个过程无穷无尽。另一方面，将它们描述为无穷则等于什么也没说。因为“无穷”这个词就说明它们不是有限的。这种描述，与直立猿人不是奶牛这个命题所提供的信息差不多。如果可能的话，必须对无穷集合中有多少个元素这个问题给出肯定的回答。

康托尔当然认识到，一个无穷集合或无穷类中元素的个数，通过计数是不可能得到的。但他更认识到了另一个初看似乎很肤浅的观点的较深层次的意义。假定有两个由元素构成的集合，第一个集合中的每一个元素，对应且只对应第二个集合中的一个元素，反之亦然。例如，如果一小队每人手里都握有一枝枪的士兵从我们面前通过，这样，在士兵与枪这两者之间正好有一个这样的对应关系。两类集合之间如士兵和枪两者之间的关系，用专业术语来说就可以描述为是一一对应关系。明显地，两个一一对应的集合所包含元素的个数必定相等。而且，更为重要的是，无需数遍整个集合就能得到这一结论。

康托尔的伟大之处就在于，他理解了一一对应原理的重要性，并且有勇气继续去研究这个原理的推论：如果两个无穷集合能建立起一一对应的关系，那么按照康托尔的说法，它们所含元素的个数相等。例如正整数集合

1，2，3，4，5，6，…

与这些数的倒数所组成的集合

从康托尔的定义出发，我们再来思考一下曾使伽利略迷惑不解并且阻碍了他对无穷量进行探索的困难问题。我们记得，伽利略已经认识到，在正整数集合与正偶数集合两者之间有一一对应关系，但他无法承认这一事实与下述事实是一致的：第一个集合中除了包含第二个集合中所有的数之外，而且还含有其他的数。

正整数集合与其真子集合正偶数集合含有同样多的数，岂不荒谬可笑吗？但是，如果我们接受一一对应关系作为决定无穷集合中的数量的基础，那么就必须同意这种似乎荒谬的结论。当然，任何不严谨的推理都会使我们导致矛盾。因此，我们必须静下心来，正视这一使人惊奇的事实。在康托尔的无穷数概念中，没有任何逻辑上的困难和缺陷。我们之所以认为正偶数与正整数一样多是荒谬的，仅仅是因为我们处理有穷集合时的那一套有效的思维习惯在作祟，这种针对有穷集合的思维方式，在指导无穷集合研究时就失效了。在数学史上，我们再一次看到了逻辑与传统思想之间的冲突。我们也再一次看到了学者们在十字路口所面临的抉择。正是由于康托尔以前数学家们的失败，使得康托尔等数学家们认识到，必须抛弃关于量的传统习惯思维方式，因为这种思维方式会阻碍发展无穷数这一学科。19世纪富有批判精神的思想家不是那么容易灰心丧气的。

事实上，他们不畏艰难，勇于探索。在无穷集合理论发展过程中，早于康托尔的哲学教授B·波尔查诺（Bernard Bolzano）曾提出了这样的想法：一个无穷集合可以定义为是，一个能与其真子集合建立一一对应关系的集合，而有穷集合则不能。这样，正整数集合就是无穷集合，因为正整数集合与正偶数集合两者之间有一个一一对应关系，尽管正整数集合仅仅是正整数集合的一部分。

每一个无穷集合都能与正整数集合建立一一对应关系吗？绝不是这样。0与1之间所有数的集合，这个集合包括整数、分数、无理数，它就不能与正整数集合建立一一对应关系。这个证明很容易，通过假设在正整数集合与0至1之间所有数的集合之间建立任何一一对应关系的话，将导致矛盾，就证明了这个结论。但是，详细的证明过程我们就不叙述了。

既然0与1之间所有数组成的无穷集合不能与正整数集建立一一对应关系，那么这两个集合的数目就不能相等。0与1之间所有数的数目用超穷数C来表示。因此任何与0至1之间的数能够建立一一对应的集合，也必定包含着C个元素。

另一个含有C个元素的集合，是一条直线线段上所有点形成的集合。考虑一条直线和在直线上的一个固定点O。让我们以直线上的每一个点对应于从O点到该点的距离所表示的数，并且加上这样的条件：O点右边的距离为正，O点左边的距离为负。这样，从0到1之间的数与该直线上表示这些数的点，两者之间就建立了一一对应的关系。这就意味着这些点的数目是C。

我们已经定义了C为0与1之间所有实数的数目。这个集合与全体正实数是一一对应的。我们将从几何上证明这个事实。实数集合本身与直线上的点，与在解析几何中所使用的x轴，是一一对应的。因此，让直线L（图76）上点O右边的点代表所有正实数，让OA代表单位长度，这样OA上的点就与0至1之间的实数一一对应。画一个长方形OABC，画出其对角线OB。现在，P是O右边任意一点。画出CP使得它与OB相交于Q，从Q向L引一垂线，这样得到P′。按这样的构图方式，就决定了一种对应关系：

图76　单位线段上的点与半直线上的点一一对应

L上点O右边的任意一点P，对应且只对应于OA上的一点P′。反过来，如果首先在OA上确定任意一点P′，然后再画出一条在P′与OA垂直的垂线，则这垂线将与OB在Q点相交。然后我们画出直线CQ，这样CQ将与L相交于P，因此我们就有点P对应于P′。由于OA上的点与直线L上右边所有的点一一对应，这样OA上的点的数目，以及全部半直线上的点的数目就都是C。用算术方法表示就是，正实数集合与0至1之间的实数一一对应，因此正实数的所有数目是C。

一条线段上的点的数量，与整个半条直线上的点的数量是相等的，尽管事实上一条其长度是无穷大，而另外一条只不过为一个单位长。实际上，OA不论是两个单位长或是其他有限长度，我们的结论都相同。因此，在任意线段上点的数量总是C。

这一结论，像上面确定的其他结论一样，似乎与我们的直觉相悖。但是，我们有什么理由期望两条线段中，较长的一条其上面的点就多些呢？支持这种期望的关于点和线的精确知识是什么呢？欧几里得几何的确要求任意线段包含有无穷数量的点，因为任意线段能被分割得任意小，但是这种几何并没有说一条线段上点的数量。康托尔理论则明确地告诉我们：任意两条线段，无论它们的长度如何，都具有相同数量的点。这个理论不仅在逻辑上是成立的，而且也能使我们解决关于空间、时间、运动的本质的一些使人困惑的问题，这些问题已经使哲学家们困惑了2000多年。

长度、时间的数学概念中的困难，首先是由希腊哲学家芝诺（Zeno）阐述出来的，但是，利用无穷集合的理论，我们现在能解决这些问题了。让我们来考虑由罗素表示的阿溪里与乌龟的悖论。

阿溪里是一位赛跑健将，他与乌龟进行赛跑。由于龟爬得很慢，因此允许龟先从起点出发，而阿溪里则在稍后一些时间再开始跑。人们会承认，赛跑终了时，阿溪里将超过龟而先达到终点。但在赛跑过程中的每一个时刻，阿溪里与龟都位于各自路程中的某一点，而且在同一点两者都不会停两次。这样，它们跑的时刻数是相同的，因此，龟与阿溪里跑过的距离的点也同样多，另一方面，如果阿溪里想追上龟，则他必须跑过比龟更多的点，因为它必须跑过更大的距离。因此阿溪里绝不可能超过龟。这是数千年来人们的思路及其困惑。

上述论据中只有一部分内容是站得住脚的。我们必须承认，在从起点到终点的赛跑中，龟跑过的点与阿溪里跑过的点一样多。因为在赛跑中这段时间的每一时刻，他们各自要占据一个确切的位置。因此，龟所通过的无穷多个点的集合，与阿溪里所通过的无穷的点的集合，两者之间有一种一一对应关系。但是，说什么因为他必须跑过更长的距离才能赢得赛跑，所以他必须比龟跑过更多的点，则是错误的！因为就我们现在所知道的那样，阿溪里必须跑过的那一条较长线段上点的数量，与龟所跑过的线段上点的数量是相同的。我们必须再次注意到这样的事实：一条线段上点的数量与其长度无关！简而言之，正是康托尔的无穷集合理论解决了阿溪里与乌龟这个问题，而且拯救了我们的时空数学理论。

在反对时空无限可分方面，芝诺提出了使他的对手困惑不已的其他悖论，这些悖论只有通过时空的现代数学概念和无穷集合理论，才能给出令人满意的回答。试考虑一枝飞动的箭。在任何时刻它都处于一个确定的位置。芝诺说，在紧邻的下一个时刻，它将处于另一个位置。什么时候这枝箭从一个位置飞到另一个位置呢？

到紧邻的下一个时刻时，这枝箭是如处于一新位置的呢？答案是，没有下一个时刻！而人们在争论中却假设有这么一个时刻。互相前后相继的时刻，就像实数系中的数一样，如同在2或以后没有下一个（紧接着）较大的数一样，在一个给定的时刻之后也没有下一个时刻。在任何两个时刻之间，介乎其间的其他时刻的数量是无限的。

但是，这种解释仅仅是把一个困难转变成了另一个困难。箭从一个位置到任何一个临近的位置之前，它必须穿过无穷数量的中间位置，一个位置对应于无穷个时刻中的一个。如果它必须穿过其间的无数个位置，那么它是如何到达最近的位置的呢？这也不是一个困难问题。为了穿过一个单位长度，物体必须穿过无穷个位置，但是所需要的时间也许只不过是一秒钟，因为即使一秒钟也包含有无穷多个时刻。

但是，关于箭的运动还有一个更大的困难。在它飞行的每一个时刻，箭头都占据一个确定的位置。在这个时刻，箭不能运动，因为一个时刻没有持续的时间。因此在每一个时刻箭都是静止的。既然这一结论对每一个时刻都是适用的，因此，运动的箭总是静止的。这个悖论总使人感到惊奇：它本身看来似乎是违反逻辑的。

现代无穷集合理论，能够对上述问题给出一个令人感到惊奇的解答。运动是一个由静止构成的序列。运动不过是位置与时间的时刻这两者之间的一种对应，位置、时刻各自形成一个无穷集合。一个物体在“运动”期间中一段时间的每一个时刻，它都占据一个确定的位置，因此可以说它处于静止状态。

这一运动的数学概念适合我们关于物理现象的运动概念吗？直觉告诉我们，运动不就是一个物体在不同的时间时刻处于不同的位置吗？因此，这再次向我们表明，不能对直觉过于相信。“动”画片只不过是在屏幕上以每秒16格的速度显示出一系列静止的图片而已。也就是说，它由不动的画片组成，这些画片以一定的速度呈现给眼睛以运动的形象。因此，这种运动不过是一系列的静止图片。运动的数学理论应该更能适应我们的直觉，因为它考虑了在时间的任何间隔内的无穷多个“静止”。由于这一概念解决了困惑人们的悖论，因此我们应该完全接受它。

超限数代数也有一些令人惊奇的特征，并能帮助我们解决时空思想中的其他困难。考虑两个集合（a）与（b）的元素：

方程（1）揭示了一个有趣的事实，那就是，如果我们从一个无穷数中减去一个有限量，依然有相同的无穷量。大约公元100年的罗马诗人卢克莱修（Lucretius）将这一事实——除了不怎么切题之外——表达得更富有戏剧性：

只要你高兴，你可以万寿无疆；然而，不朽的死亡将等待着你；现在的人，他在今天结束其生命，比他在若干年前就已寿终正寝所度过的时间，并不会更长。

我们对康托尔在研究无穷量方面的贡献所进行的简单考察，表明他的理论具有十分重要的价值。但是，在入口处却还有另一处暗礁，这值得引起人们的高度注意。

无穷量研究中的基本概念是集合、类，或者元素的集合。例如，数的集合，直线上点的集合，时间的时刻集合。遗憾的是，这些初看起来简单的基本概念，却困难重重。到目前为止，我们还没有考虑过这一类困难。现在，让我们举几个例子来说明这一问题。

第一个例子是古典的，曾以几种不同的形式出现在许多古代文学作品之中，其中包括《新约》。耶稣门徒之一，在非犹太人中传播基督教的圣·保罗（Saint Paul），在致罗马皇帝提图斯（Titus）使徒的信中说，克里特岛（Gretan）人“很可能是他们自己的先知曾经说过：克里特岛人总是说谎，极其残忍，而又不思进取，易于满足。所有这些，后来都被证明是正确的”。《圣经》对克里特岛人进行了更进一步的丑化：“克里特岛人埃皮米尼得斯（Epimenides）宣称，所有克里特岛人总是撒谎。”但是，如果埃皮米尼得斯是正确的，那么他所讲的就是真话，因此克里特岛人总是撒谎这一命题就不为真。另一方面，按照他自己所宣称的，作为一位克里特岛人，他也是撒谎者，因此他所宣称的“所有克里特岛人总是撒谎”就是谎言。在这两种情形中，埃皮米尼得斯自相矛盾。明显地，他无法使“所有克里特岛人总是撒谎”这一命题在逻辑上完备，即使事实很可能是这样。他的断言遇到了逻辑上的困难。

我们再考虑诚实的乡村理发师所面临的进退两难的境况。他非常自信地宣称，尽管他不给自己刮脸的人刮脸，但却给所有自己不刮脸的人刮脸。一天，当他给自己脸上擦肥皂沫时，突然产生了一个疑问：是否应该给自己刮脸。如果他给自己刮脸的话，则他是给自己刮脸的人；因此，按照他自己所说的，他不应该给自己刮脸。另一方面，假如他不给自己刮脸，这照他自夸的，他应该给自己刮脸。简单地说，如果他给自己刮脸他就不应该给自己刮脸；如果他不给自己刮脸他就应该给自己刮脸。这位可怜的理发师所定义的人中，既包括他自己又不包括他自己。遗憾的是，我们必须离开理发师了，离开他那准备好的剃须刀和已涂好了肥皂的脸，去为他探索使他从自己的断言中解脱出来的道路。

在下面这个相当有趣的例子中，也能发现与此有关的困难。“单音节的”（monosyllabic）这个词不是单音节的，而“多音节的”（polysyllabic）这个词却是多音节的。第一个词不能描绘本身的情况，而第二个词则描绘了本身的情况。我们称那些不能描写它们自身的词是异己的（heterological），如“单音节的”这样的词。因此，我们说，若x自身并非x，则词x为异己的；但是，假设x就是“异己的”这个词，那么我们会说，“异己的”是异己的，如果“异己的”这个词本身不是异己的。换句话就是，我们说，某事是某事，如果它不是某事的话。关于这一点，所有能说的一切就是，某事是有毛病的。

所有这些悖论都涉及元素的类的区别，克里特岛人的类，被刮脸人的类，最后一个例子中异己的类。分析表明，这些关于类的命题是自相矛盾的。但这些困难，正是由于康托尔利用了集合、类的概念才引入到数学中来的。因此他的工作引发了人们暴风雨般的批评，集合论成了引起激烈争论的学科，就丝毫也不奇怪了。

与此相关，令人不安的是，这些问题还未被人们解决。因为它们涉及逻辑与数学之间的问题，这两门科学因此也已经发展出了几种不同的方法。尽管到现在为止还没有一种方法是令人满意的，但每一种方法都有人宣称它是正确的。数学家们现在也为此形成了几个思想流派，每个流派都发展出了自身的数学哲学基础。

应当指出的是，并非全部数学都受到了怀疑。而且，即使是这些充满矛盾内容的学科，甚至暂时也不必抛弃。而且幸运的是，这些内容还有其实际效果及其应用价值的支持。正如所有的人都在对微积分的可靠性进行热烈讨论时，微积分已被应用推导出了伟大的定律一样，今天，这些有争议的定理也在运用，而且被证明是非常有用的。微积分的历史也鼓舞着人们，因为正如微积分所面临的困难终于被解决了一样，我们可以期望现在的困难也能解决。

这种对数学基础的怀疑，至少给数学家们提供了对他们自己的工作开玩笑、自嘲的机会。认识到每个时代都有为该时代的创造进行严密化的事实后，使得杰出的美国数学家E·H·穆尔（Moore）评论说：“今天的严密性问题就够人受的了，哪里还管得了未来。”其他的数学家发表的评论，则更加愤世嫉俗。有人讥讽地说，证明所告诉我们的是哪些地方最值得我们怀疑。另外有人说，逻辑就是由于自信而导致谬误的艺术。

尽管康托尔的工作导致了悖论，而且这些悖论仍在等待用一种完全令人满意的方法来消除，但是许多数学家已经认识到，康托尔作出了仅仅只有人类才能取得的真正的进步。数学家的创造依靠的是观察、直觉的艺术。然后用逻辑来认可、证明直觉所获得的东西。正是由于有了这种逻辑上的卫生学，数学实践才得以保持其思想的健康与强壮。而且，整个数学结构是建立在不确定的人的直觉的基础之上的。在各处，直觉都应该除去，而代以稳固的思想支柱；但是这种支柱则是建立在某些更深的，或许是定义更不清楚的直觉的基础之上。尽管用精确的思想取代直觉的过程并没有改变数学所最终依赖的基础的本质，但是却的确增加了数学结构的强度和高度。

我们觉得给本章做总结应该小心谨慎。前面谈到的悖论和难解之谜非常多，以致读者可能认为超穷数（无穷数）理论是数学娱乐（mathematical divertissement）。但这绝不是正确的评价。我们应该看到的是，精确的思想是如何应用于含糊不清、最不可捉摸的直觉阴影中的。在提出把精确的定量化思想应用于无穷集合中去后，康托尔解决了从亚里士多德时代直到现代所产生的大量的哲学争论。

无穷数理论只不过是19世纪富有批判精神的思想家的创造之一。其中所包含的内容几乎都稀奇古怪，但它却是合乎逻辑的、有用的。我们要考察的下一个数学创造，因为它甚至是更加离奇的东西，也许它会使那些门外汉瞠目结舌。但是这一具有革命性的数学、科学、哲学思想，却被证明是完全正确的。这看来好像是19世纪的数学家为了恢复希腊人首先引入的严密性，而被迫远离正常的思维方法去进行创造。其实，这些数学创造所解决的是17世纪所遗留的问题，那时，数学家们为了匆匆跟上科学的步伐而将这些问题忽略了。