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《数学之王》第十二章

时间:2022-02-18 理论教育 版权反馈
【摘要】:第十二章 数学之王我们要讲的第二个数学天才是高斯。这对高斯的好处可想而知。入学后,高斯在人生的道路上走到了第一个十字路口。我们知道高斯一向以数学天才闻名,但并不说明他的天才就止于数学。在卡罗林学院的第一年,高斯发现并证明了二次互反律,这是他对数学作出的第一个重大贡献。
数学之王_我想知道的西方科

第十二章 数学之王

我们要讲的第二个数学天才是高斯。

高斯甚至是一个比欧拉更加伟大的数学家,他被普遍认为是世界数学史上三大家之一,另两家即阿基米德与牛顿,因此,高斯拥有一个阔气无比的称号——数学之王。

关于高斯的生平事迹比较好说,但关于他的学术成就就不那么好说了,因为他不但是最伟大的数学家之一,对物理学、天文学、地学,甚至电报的发明等都作出过巨大贡献,在这里都不得不有所提及。基于此,在此章先专门讲生平,然后再讲他那异常广泛的科学成就。

—并不幸福的人生—

高斯的出身一点也称不上高贵,上溯若干代都找不出半点贵族血统。他的爷爷是个普通农民,大约在17世纪中期携家带口从德意志某地移居到了同属德国的不伦瑞克,到了这里后改行当园丁。他有三个孩子,最小的一个叫格尔哈德·迪德里赫·高斯。这位格·迪·高斯也是个很普通的人,有着普通人的优点,如诚实、勤劳,同时又有普通人的缺点,如笨手笨脚、举止粗俗等,还有劳苦大众们共有的一个特点——穷。

他结过两次婚,第一个妻子与他共同生活了10多年后去世,没有生孩子。后来他又娶了第二个妻子,名叫罗捷雅·本茨。第二年,即1777年,终于生下了他的第一个,也是唯一的一个孩子,不用说这就是未来伟大的数学家高斯了。

父亲对高斯没多少好影响,高斯虽然从来没有说过他什么坏话,但据他自己后来说,他从没有真正爱过父亲。他热爱的是自己的母亲。她出身于一个石匠之家,是一个不幸的姑娘,父亲很早就患结核病去世了,撇下年轻的妻子和两个孩子。在这样的家庭她当然没机会上什么学校,几乎是一个文盲。她先在一个贵族家当女仆,直到30多岁时才出来,嫁给高斯的父亲,生下高斯时已经35岁了。她爱自己的孩子爱得发狂,也深为他的天赋而骄傲,在儿子的人生道路上尽量地保护他,并且在父亲粗暴地对待儿子时挺身而出保护他,尽自己的一切努力让儿子能够走他想走的路。高斯呢,他对母亲的爱不亚于母亲对他的爱,他对母亲有多好我们以后就知道了。

另一个对高斯幼年的成长起了良好作用的是他的舅舅。他幼年丧父,与姐姐相依为命,感情深厚,对姐姐的孩子也非常好。他也有极高的天赋,他是个织工,凭自己出众的才智掌握了极为高明的纺织技巧,成为那一行里公认的状元,这也是高斯一直引以为自豪的事。甥舅俩关系铁得很,舅舅也看出来外甥有着超凡的天赋,并且试图培养他这种天赋。可惜的是他英年早逝,令高斯伤痛之余,一直在嗟叹“我们失去了一位天才”。

小高斯从小就有着令人匪夷所思的超凡出众的天赋,直到现在都是西方人津津乐道的话题。据后来高斯自己半开玩笑地说,他学会说话之前就会计算了。关于他的早慧最有名的是那个传说了。那是1779年,高斯还只有两岁时,一天,他当园丁小组长的父亲正聚精会神地算着他那一组工人们一周的工钱,压根儿没注意儿子在一旁专注地看着,当他长出了口气,终于算完了长长的单子时,想不到小高斯在旁边用他咬字都不清楚的话喊道:“爸爸,错了,应该是——”他父亲当然不信,但还是重算了一遍,结果证明儿子是对的!

我们可以猜测高斯幼年时还发生过不少类似的事,这些我们且不去说它,只说他到了7岁左右时,上学了。他的老师是个十分粗暴的家伙,对待孩子们就像《简·爱》里的布罗克赫斯特先生或者《大卫·科波菲尔》里的克里古尔先生一样,厉害得很,对于不守规矩的孩子们不惜以拳头代替舌头来教育。据说经常打得孩子们连自己姓啥都忘了。

第三年开始上算术课,这时候又发生了一件一直流传到现在的天才故事。

有一天,那位厉害老师出了一道自认为最厉害的题目,要把孩子们吓上一吓。这个题目就是“1+2+3+4+……+100”。高斯几乎是在老师刚念完题目时就将答案写在了石板上。那个老师看见这小家伙坐在那里一动不动,以为他又是一个拿鸭蛋的大笨蛋。后来,当他检查学生们的石板时,看到许多学生把算式写得满满的,可结果没有一个对,唯有高斯,他的石板上只有一个数字,就是正确答案。

老师被这个小孩子的天才震惊了,也被征服了。从此对他刮目相看。他决心不辜负上帝赐予他这样一名天才学生,便自己花钱买回来许多数学书籍,送给高斯读。这对高斯的好处可想而知。

更重要的是,老师有一个教学助手,比高斯大不到十岁,他也非常喜欢数学,十分崇拜高斯的天才,与高斯建立了亲密的友谊,一直持续到他去世。

这个年轻的朋友对高斯的帮助还不止是数学,更重要的是,他把高斯引见给了一些他所认识的在当地有一定社会影响的人物。他们对高斯的天才无不感到震惊,于是又将高斯介绍给比他们更有影响的人物。如此一来,终于有一天,他被引见给了不伦瑞克的统治者——斐迪南大公爵。

公爵第一次接见高斯是1791年,这年高斯14岁。

不用说,公爵同样对这个少年的天才留下了难忘的印象,并且对他有这样一名天才臣民感到洋洋得意。他保证高斯可以继续接受教育,由他来负担昂贵的教育费用。

第二年高斯就进入了不伦瑞克的卡罗林学院,不用说所有费用都是公爵付的,公爵将一直这样做直到高斯完成学业。

这个学院并不是真正意义上的大学,它类似于我们现在的大学预科班。入学后,高斯在人生的道路上走到了第一个十字路口。

我们知道高斯一向以数学天才闻名,但并不说明他的天才就止于数学。相反,他有着令人难以置信的全面的天才,不但有科学天才,甚至也有非科学的天才,例如语言天才。这时他通过自学已经掌握了古典语言学知识,并在这方面展现了很高的才能。这种古典语言学才能在当时的欧洲是很受重视的,这也是西方人的传统。高斯一度对自己这方面的才能更为重视,于是,在第一年他选择了学习古典语言学,并且以闪电般的速度掌握了艰深的古典语言。令老师同学们再一次惊讶又佩服。他特别喜欢拉丁文,爱用拉丁文写作,直到很久后,在他的爱国的德意志同胞们的强力催促之下才改用德语写作。

在卡罗林学院,高斯不但爱好古典语言学,还爱好哲学、物理学、天文学等,他很钦佩牛顿与欧拉,特别是牛顿,他认为牛顿是至高无上的。

在卡罗林学院的第一年,高斯发现并证明了二次互反律,这是他对数学作出的第一个重大贡献。

1795年10月,高斯从卡罗林学院毕业,随即进入哥廷根大学。

不久他又发现了“最小二乘法”,这个方法至今在大地测绘等需要大量测量的工作中还举足轻重,它能通过最少的观测得到误差最小的结果。今天,在我们所进行的许多需要大量数据统计、并且试图从这些统计之中进行数据分析时都要大量用到高斯的方法。例如经济学中对股票与市场规律等的动态分析就是如此,这就是误差的正态分布的高斯规律以及与之相适的钟形曲线。这两项工作搁到今天的话得诺贝尔经济学奖都绰绰有余了。

但这时候年轻的天才仍在犹豫着,不知道自己应当将哪个学科,例如这时候他也很爱好的哲学,作为自己的专业。这种犹豫一直要持续到几个月后的一天。

这一天是1796年3月30日,无疑它对于高斯甚至对于整个西方数学史都是极为重要的一天。

这天,高斯找到了只用直尺和圆规就能作出正十七边形的方法,比伟大的阿基米德更前进了一步,它也是人们能够用直尺和圆规作出的边数最多的正多边形。由于对自己这一成就深感自豪,高斯从这一天起就决心放弃哲学而专心从事数学研究。不用说,对于哲学界这是一个大损失,但对于数学就是天大的福分了!

也就是从这天起,高斯开始写他的“数学笔记”。这是一个只包括19张不大的纸片的小簿子,其中包括146个发现或者计算结果,但说明极为简短。它们的许多内容高斯从来没有公布过。然而,通过对它的诠释,数学家们心慌意乱地发现,许多他们后来作出的极为重要的数学发现,例如椭圆函数,其实高斯早已发现,只是没有公布而已。

数学家们一致公认,如果他公布的话,数学将会比目前的状况前进半个甚至一个世纪。而高斯身后那些伟大的数学天才们,例如阿贝尔,也可以在这个基础上将他们的天才用到别的伟大发现之上了!

那么高斯为什么要这样做呢?这与高斯的治学风格有关。据说他有两句格言,一是“宁可少些,但要成熟些”。二是“不要留下进一步要做的事”。总之,他极为严格地要求所发表的任何东西,务求尽善尽美。这就使得他将那些不那么完美的东西束之高阁。但请问,世间完美的东西有几许呢?于是,许多伟大然而尚不完美的成果就这样被压在了暗无天日的箱底。

在哥廷根大学的日子里,高斯就一直这么辛勤地发现着,一项项重要的成就接踵而来,直到三年之后,即1798年,他从大学毕业。

这时,他的经典之作《算术研究》虽然未曾出版,但已经基本完稿。为了使之更加完善,他决定去里尔姆斯泰特大学研究一段时间,因为那里有一座馆藏丰富的数学图书馆。

第二年,高斯凭着他的一篇《每一个单变量的有理整函数都能分解成一阶或二阶实因子的一个新证明》获得了里尔姆斯泰特大学的博士学位。在这篇论文里,高斯证明了任何系数为复数的代数方程都有复数解,即形为a+bi的数。并且高斯第一个将复数与平面上的点对应起来,这就是复平面。

又一年,他的经典之作《算术研究》终于出版。为了表达他对不伦瑞克公爵的感激,他将书献给了公爵,在献词中高斯写道:“您的仁慈,使我摆脱了一切其他任务,能够专心写作这本书。”高斯的称赞是恰如其分的。

这本书的出版对于算术的意义是划时代的。在此前,算术只是一些关于数的有趣的命题,像我们前面讲过的费马大定理和哥德巴赫猜想一样,整体内容庞杂无序。而高斯用他的《算术研究》将它们化成一个严谨的系统,使之能够与代数、微积分或者几何学一样成为数学一个重要而独特的分支。

不但如此,《算术研究》也堪称最完美的数学经典,是高斯追求的完美的最佳表达。全书几乎是“增一字嫌多,减一字嫌少”。不过,缘其如此,它的简洁与完美也使它艰深晦涩,一般人是读不来的。

《算术研究》出版之后,高斯获得了一部分他应得的荣誉,成了那个时代公认的伟大的数学家之一,而这时他只有区区24岁。

也就在这一年,即1801年的第一天,高斯得到了他另一项伟大的成就,一项使所有天文学家们惊诧不已、佩服不已的成就。

我们在前面讲什么是天文学时曾提到,1801年,元旦之夜,意大利西西里岛上的一个天文学家发现了一颗新行星,它是一颗小行星,叫谷神星。但这是颗小小的行星,极难观测,天文学家们也只是偶然几次观测到了它,但他们根本不能仅凭这有限的数据就算出它的轨道,好在预定的位置上找到它。

然而,年轻的高斯在这时候却展示出了他那令人感到不可思议的数学能力,仅凭那几次观测的数据就计算出了小行星的轨道。一开始人们还有些怀疑,但后来谷神星几乎一点不差地出现在高斯预言过的轨道上。这下高斯的名气就更大了,当时最伟大的天文学家与数学家之一拉普拉斯公开宣称高斯是世界上最伟大的数学家,而不是“之一”。

1805年,已经28岁的高斯也像普通的年轻人一样,结婚了。这也多亏了公爵给他加了津贴,他才能够养家糊口,据高斯写信给朋友说:

“生活在我的面前停滞了,像一个有着新的鲜明色彩的永恒之春天。”

但他的生活并不总是春天,第二年就发生了一件让他堕入冰冷的冬天的事。他的恩人,不伦瑞克公爵,普鲁士军队的主要统帅之一,在耶拿被拿破仑打得大败,自己也身受重伤,最后悲惨地死去。

对于高斯,这不仅仅是精神上的惨重损失,也是物质上的巨大损失。公爵的去世使他失去了赖以为生的财源,他现在不得不设法谋一个职业了。

大名鼎鼎的高斯想找一个职业当然不难,这时候,俄罗斯圣彼得堡的科学院向他发来了邀请,请他继任伟大的欧拉的职位。对于一个数学家,这个位置无疑有很大的吸引力。这时,他一个伟大的同胞,著名学者洪堡,为了将最伟大的数学家留在德国,进行了许多努力,为他在著名的哥廷根天文台谋得了一个好职位。到1807年,高斯正式成为哥廷根大学的天文学教授兼哥廷根天文台的台长。

从此,高斯平静地在这个岗位上直到1855年2月23日逝世。那时他已经是举世公认的“数学之王”了。

按理说,这时候的高斯可以过上比较富足的生活了,但事实上他的生活依然十分俭朴,就像他的一个朋友所说:

正如他年轻的时候一样,在他整个老年时代,直到他辞世的那天,他始终是一个简朴的高斯。一间小书房,一张铺着绿色台布的小小的工作台,一张漆成白色的必备的书桌,一张单人沙发。在他70岁以后,又有一把扶手椅,一盏带灯罩的灯,一间没有生火的卧室,简单的饮食,一件晨衣和一顶天鹅绒的便帽,这些就足以满足他全部的需要了。

关于高斯以后漫长时间内的生活,上面短短的几句就差不多了,要补充的也许只有两点:

一是他的后半生并不幸福,他一辈子过着平静、清贫,略带伤感的生活。

他不幸的原因也许主要在于他的婚姻与家庭。1805年的那次婚姻给高斯带来了三个孩子,然而,第三个孩子出生后不久,他的妻子死了,高斯顿时陷入了极度的悲伤。这是1809年的事。但三个孩子不能没有妈,他第二年只得又一次结婚,据说新妻是前妻的闺中密友,她也为丈夫生了三个孩子。这样高斯共有6个孩子,但据说孩子们与父亲的关系并不好,他们是些粗野的家伙,后来两个更是离家出走,漂洋过海到美国谋生去了。

二是他直至死都在研究数学。而且不止于此,他在其他许多领域之内也取得了不朽的成就,这些就是我们马上要说的事了。

—数学之王—

作为数学之王,高斯在数学上的成就无疑是极其巨大的。例如他早在18岁时就发明了最小二乘法,19岁时就知道了用尺规作正17边形的方法。在代数学上,他证明了代数的一个基本定理,即任何系数为复数的代数方程都有复数解,即形为a+bi的数。这里的i乃是我们前面说过的虚数,欧拉曾经分析过这个数,但高斯却更加深入地研究了它,提出了所有复数都可以用平面上的点来表示,这就是“复平面”,也被称为“高斯平面”。他还在平面向量与复数之间建立了一一对应的关系,并且使复数的几何加法与乘法等成为可能。这一观念乃是向量代数学的基础。在数论上,他有划时代的巨著《算术研究》。此外,他对于复变函数、微分几何、有两个周期的椭圆函数等都有着深刻的研究与巨大的贡献,例如他是微分几何的实际创立者。这些,我们前面讲他的生平时都已经大致说过了。

高斯的另一个重要发明是非欧几何。这说法也许会使您觉得奇怪,非欧几何不是俄国人罗巴切夫斯基等发明的吗?怎么又是高斯发明的呢?

事实是这样的:高斯早在他们之前就已经发明了非欧几何。大约在1816年,高斯曾与一个哥廷根大学的研究生鲍耶说道,他想要证明欧几里得的平行公理,然而不行。于是他反其道而行之,干脆否定了它。近10年之后,高斯就以否定平行公理为基础,重新发展出了一种几何学,这是一种完整的、有用的、内部不存在矛盾的全新的几何学。不过,由于高斯一贯的谨慎与追求完美的风格,没有将这种肯定会引来大量争论的新几何学公之于众。使他失去了非欧几何的发明者这个了不起的称号。

当然,即使没得到这个了不起的名号,高斯“数学之王”的美誉仍属实至名归、当仁不让的。

高斯对科学的贡献远不止于数学,他在数学领域之外的贡献同样巨大。

首先是天文学,我们不要忘了,高斯的职业乃是天文学教授兼哥廷根天文台的台长,他十分重视天文学研究,他的重视给天文学带来了许多好处。

我们前面讲过,1801年元旦之夜人类发现了第一颗小行星谷神星,是高斯算出了它的轨道。他所利用的方法就是他发明的“最小二乘法”,或者称为“最小平方法”,利用这个方法高斯又算出了另一颗小行星智神星的轨道,他还定轨并命名了另一颗小行星“婚神星”。后来高斯将他的这个方法发表在《天体运动理论》一文中,这是天文学史上的经典文献之一。高斯在这里介绍了他经由有限几次观测就能确定天体运动轨道的新方法,现在这个方法被称为“高斯法”,仍被广泛运用。

1828年时,高斯应邀为哥廷根所属的汉诺威政府测量版图,高斯出色地完成了工作。之后,他以这项工程为基础发表了《高等测地学研究》。为了测地等需要,高斯甚至搞了一些很实用的发明,例如他发明了高斯接目镜和反光信号器,现在它们仍在测地工作中被广泛使用。

1831年左右,高斯与一个叫迈尔的科学家一起进行了电磁学研究,提出了科学的电磁测量基本单位,现在磁学中的一个基本单位就被称为“高斯”。他还与伟大的学者洪堡一起创立了德国磁学联盟,后来它发展成为一个分支机构,广布世界各地的观测机构。

高斯最有趣的发明之一是电报。

大约在1833年时,正在与一个叫韦伯的物理学家进行电磁学研究的高斯与韦伯一起在天文台与物理实验室之间牵了一根电线,并在末端安装了一块电磁石,再用一个铃铛与电磁石连接起来。这样他们之间就可以进行一些简单的联络了,例如到下班的时间了就通过控制电磁石来控制铃铛,让它敲三下,等等。后来发明的电报虽然看上去复杂,然而基本原理就是这样。高斯一开始只是为了好玩,但这个发明可能具有的重要意义是明显的——它能够在甚远的距离之间传递信息。看到了这一点,高斯便与韦伯在第二年将他们的发明在工作记录中出版了。又次年,高斯在给哥廷根皇家科学院的报告中也提到了这个发明。这些都没有产生太大的反响,他们所用的最原始的电报线路也在1845年被雷电摧毁。此前一年,美国人莫尔斯已经在美国的巴尔的摩和华盛顿之间架起了电报线,这也是世界上第一条正式经营的商业电报线。

不过高斯并不在乎他的发明是否得到了应有的承认,他始终是一个谦逊的人,在乎的不是世界给了他什么,而是他为世界做了什么。

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