罗素的悖论

从今天来看，德国数学家乔治·康托尔独立构建了数学集合理论。在这之后，集合（或类）迅速成为极为有用的基础性理论，并且与逻辑密切相关，任何试图在逻辑研究基础上建立的理论，都被认为是以集合理论的公理为基础的。

通俗地说，集合或类不过是对象集，而且这些对象之间不一定必须有联系。你可以把以下这些项目聚在一起当做一个类：2003年播放的肥皂剧、拿破仑的白马和真爱的定义。类包含的具体元素被称为这个类的成员。

你能想出的绝大多数对象的类并不是它们自己的成员。例如，所有雪花的类并不是指一片雪花，所有的古董手表这个类也不是指一只具体的手表。但是世事无绝对，也有一些类的确是它们自己的成员。例如，“所有不是古董手表的东西”的类就是该类自己的成员，因为这个类肯定不是一只古董手表。同样的道理，所有类组成的那个类也是这个类自己本身的成员，很明显，因为这是一个类。但是，什么是“所有不是它们自己的成员的类”的类呢^［211］？让我们把这种类称为R。那么R是不是它自己（R的）类呢？很显然，R不属于R。因为如果它是的话，那么这就违背了R项的定义。但是如果R不属于它自己的话，那么根据定义，R一定是R的类。这与乡村理发师的处境又一样了。我们发现类R既属于R，但同时又不属于R，这是一个逻辑矛盾。这就是罗素在给弗雷格的信中所提到的那个悖论。这个自相矛盾的命题，在根本上动摇了定义类或集合的整个过程，这对弗雷格理论的一致性是一个巨大的打击。尽管弗雷格想尽一切办法来纠正他的公理体系，但不幸的是，他没有成功。最终的结论看起来似乎是灾难性的：形式逻辑并不比数学更稳固，反而更脆弱。

几乎就在弗雷格发展他的逻辑学的同时，意大利数学家和逻辑学家约瑟夫·佩亚诺也在尝试从另一个角度来解决这个问题。佩亚诺想在公理基础上建立算术。因此，他以一个简洁的公理集作为他系统阐述的起点。例如，佩亚诺理论的前3条公理是：

（1）0是一个数字；

（2）任何一个数字后续的也是一个数字；

（3）任何两个数字都不会有相同的后续数字。

这里有一个问题，虽然佩亚诺的公理体系的确能再现已知的数学规律（当引入其他定义之后），但是通过佩亚诺的理论，仍然无法识别自然数。

接下来的步骤是由罗素完成的。罗素坚持认为弗雷格最初的思想——数学源自于逻辑——仍然是正确的。为了解决这一难题，罗素与艾尔弗雷德·诺思·怀特黑德（图7-4，怀特黑德也是一位伟大的逻辑学大师）合作撰写了三卷本的《数学原理》（Principia Mathematica）^［212］，这是一本在历史上具有里程碑意义的著作，也是继亚里士多德《工具论》（Organon）之后，人类逻辑学研究史上最有影响力的著作（图 7-5展示的是这本书第一版的封面）。

图7-4

图7-5

在《数学原理》中，罗素和怀特黑德为数学本质上是逻辑规律的具体说明这一观点进行了分析辩护，并且认为两者之间并无明显界限^［213］。然而，为了给出一致的描述，他们还是不得不使用了一些悖论来说明（除了罗素向弗雷格提出的那条悖论之外）。这需要高超的逻辑分析技巧。罗素坚持认为那些悖论的出现只是因为一个“恶性循环”，在这个循环中，人们从客体的类的角度来定义实体，而这些客体本身却包含了已定义的实体。按罗素自己的话来讲：“如果我说‘拿破仑具有成为一个伟人所必须具备的一切品质’，那么我必须用不包括我现在正在说的这种方式来定义‘品质’这个词，也就是说‘具备使其成为一位伟人的所有品质’本身绝不是这样的一个品质。”

为了避免出现类似的悖论，罗素提出了一种类型理论（theory of types）^［214］。该理论认为类或集合与属于它们的成员相比，属于一种更高层次的逻辑类型。例如，所有单个的达拉斯小牛队橄榄球运动员是类型0，那么达拉斯小牛队（它是运动员的一个类）将会是类型1，而全美橄榄球联盟（它是球队的一个类）则是类型2。依次类推，联盟的集合（如果它存在的话，就是联盟的一个类）是类型3，等等。在这个方法中，“一个类，是它自身的成员”这种提法既不是真命题，也不是假命题，它毫无意义。因此，罗素提出的那种悖论根本不能可出现。

毫无疑问，《数学原理》是逻辑学中的一座不朽的丰碑，但是它却不是人们一直苦苦寻找的数学基础。罗素的类型理论也被很多人看做是对悖论问题的人工补救^［215］；另外，它还产生了其他一些令人不安的复杂结果。例如，按罗素的类型理论，有理数（简单分数）将变为比自然数更高级的类型。为了回避类似的难题，罗素和怀特黑德引入了另外一个公理，也就是我们所称的可约性公理，不幸的是，这一公理又引发了新的论战和怀疑。

最终，数学家恩斯特·策梅洛（Ernst Zermeleo）和亚伯拉罕·弗兰克尔（Abraham Fraenkel）提出了一种更加巧妙的方式来消除这类悖论。事实上，他们使集合理论一致性公理化了，并再现了集合理论的大部分结论。这从表面上看至少是柏拉图主义者们梦想的部分实现。如果集合理论和逻辑是同一枚硬币的两个不同的面（同一事实因认识角度不同而得出的不同认识），那么集合理论的稳定基础同样也意味着逻辑的坚实根基。另外，如果大多数数学理论的确是从逻辑学中得出的，那么这为数学提供了客观的确定性，这同时可以用来解释数学的有效性。然而，柏拉图主义者的欢呼并没有持续很长时间，因为不久之后，他们就受到一个糟糕的似曾相识症的打击。