资金的时间价值理论

1　资金的时间价值理论

资金的时间价值原理是工程经济学的基本理论，也是财务活动中必须树立的价值观念。所有工程项目的经济评价，资金筹集，方案比选等经济决策行为都必须考虑资金的时间价值问题。资金的时间价值通常是通过利息率来表示，不同时点上的资金可在现金流量图上标示，并通过六个基本换算公式实现资金的等值换算。

1.1　资金时间价值的概念

资金的时间价值是指随时间的推移，投入周转使用的资金价值将会发生价值的增加，增加的那部分价值就是原有资金的时间价值。所以，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，而资金时间价值就是由于时间因素所引起的货币在不同时间里在价值量上的差额。资金具有时间价值并不意味着资金本身能够增值，而是因为资金代表一定量的物化产物，并在生产与流通过程中与劳动相结合，才会产生增值。

资金的时间价值与因通货膨胀而产生的货币贬值是性质不同的概念。通货膨胀是指由于货币发行量超过商品流通实际需要量而引起的货币贬值和物价上涨现象。货币的时间价值是客观存在的，是商品生产条件下的普遍规律，是资金与劳动相结合的产物。只要商品生产存在，资金就具有时间价值。但在现实经济活动中，资金的时间价值与通货膨胀因素往往是同时存在的。因此，既要重视资金的时间价值，又要充分考虑通货膨胀和风险价值的影响，以利于正确的投资决策、合理有效地使用资金。

资金的时间价值是经济活动中的一个重要概念，当长期投资决策涉及不同时点的货币收支时，不同时间的等量货币在价值量上是不相等的。只有在考虑货币时间价值的基础上将不同时点的货币量换算成某一共同时点上的货币量，这些货币量才具有可比性。因此，长期投资决策必须考虑货币的时间价值。另外，资金的时间价值还是投资决策的决定性因素，决定着投资者在众多投资机会中的选择。

影响资金时间价值的因素有很多，其中主要因素如下：

（1）资金的使用时间。在单位时间的资金增值率一定的条件下，资金的使用时间越长，资金的时间价值就越大；反之，就越小。

（2）资金参与一次流通过程所能取得的利润率。资金的利润率是资金时间价值的基本体现，决定资金时间价值的高低。

（3）资金投入和回收的特点。在总投资一定的情况下，前期投入的资金越多，资金的负效益越大；反之，负效益越小。在资金回收额一定的情况下，距投入期较近时回收的资金越多，则资金的时间价值越大；反之，距投入期较远时回收的资金较多，则资金的时间价值就越小。

（4）资金的周转速度。资金周转越快，在一定时间内等量资金的时间价值越大；反之，就越小。

1.2　资金时间价值的度量

资金的时间价值一般在两个方面得到体现：一是投资者将资金投入经济领域，经劳动者的生产活动，产生的增值在流通领域转化为利润或收益；二是资金拥有者将资金借给他人使用，或者是存入银行，从而得到约定的利息。这两种情况都能使资金的价值随时间发生变动，表现为资金的时间价值。由于决定投资者是否投资某方案的决定性指标之一就是看该方案的收益率是否高于同期的银行存款利率，所以，利率或利息就更多的被人们习惯性地用来度量资金的时间价值。

利率是工程经济性分析中一个重要的变量。利息产生于资金的借贷关系之中，当债务人向债权人借一笔款项时，债务人会承诺向债权人归还这笔款项的本金的同时，再加上一定数量的报酬，这个报酬就是利息。利息与借贷款数额的比率就被称为利息率，或简称利率。

利息和利率是衡量资金时间价值的两种尺度。利息为绝对尺度，利率为相对尺度。

1．2．1　利息与利率

利息是货币资金借贷关系中借方（债务人）支付给贷方（债权人）的报酬，一般用符号I来表示。即：

式中：I——利息；

　　　F——借款期结束时债务人应付总金额（或债权人应收总金额）；

　　　P——借款期初的借款金额，称为本金。

工程经济中，利息被常看作是资金的机会成本，相当于债权人放弃了资金的使用权力，从而放弃了利用资金获取收益的机会而获得的补偿。

利率是指在单位时间内所得利息额与原借贷资金的比例，它反映了资金随时间变化的增值率一般用符号i来表示。即：

式中：i——利率；

　　　I——单位时间内所得利息；

　　　P——原借贷资金。

计算利息的单位时间可以是年、半年、季、月或日等，称之为计息周期。

利率作为一种经济杠杆，在经济生活中起着十分重要的作用。在市场经济条件下，利率的高低由以下几种因素决定：

（1）利率的高低首先取决于社会平均利润率的高低，并随之变动。利息是平均利润（社会纯收入）的一部分，因而利率的变化，要受平均利润的影响。当其他条件不变时，平均利润率提高，利率也会相应提高；反之，则会相应下降。

（2）平均利润不变的情况下，利率高低取决于金融市场上借贷资本的供求情况。利率高低受借贷资本的供求影响，供大于求时利率降低；反之，提高。

（3）贷出资本承担风险的大小，风险越大，利率越高。

（4）借款时间的长短，借款时间越长，不可预见因素越多，则利率越大。

此外，商品价格水平、银行费用开支、社会习惯、国家利率水平、国家经济政策与货币政策等因素也对利率高低有影响。

1．2．2　计息方式

在实际应用中，计息周期并不一定以年为计息周期，可以按半年计息一次，每季一次，每月一次，在伦敦、纽约、巴黎等金融市场上，短期利率通常以日计算。因此，同样的年利率，由于计息期数的不同，本金所产生的利息也不同。因而，有名义利率和有效利率之分。

所谓有效利率是指按实际计息期计息的利率。

假设年初借款P元，年利率为r，一年计息m次（计息周期为m），则周期利率为

一年后本利和为

此时，年利率为r不是一年的实际利率，称之为年名义利率。一年的实际利率为

称之为年有效利率。

在日常生活中，人们接触到的一般是名义利率。但具体到某特定经济活动时，由于采用的计息周期可能各不相同，导致原本相同的名义利率的有效利率产生差别，这种差别直接影响到项目的经济性。关于有效利率的计算有以下三种情况：

（1）当m＝1时，有效利率等于名义利率，公式对应第一种情况，即i＝r；

（2）当m＞1时，有效利率大于名义利率，即i＞r；

（3）当m→∞时，年计息次数无限多，相当于连续复利计息，称为连续利率，此时

e为常数，约等于2．718 28。

在相同名义利率的情况下，年实际利率随计息期的变小而变大。例如，当名义利率r＝12%时，不同计息周期的有效利率见表1．1。

表1．1　年有效利率变化演示表

1．2．3　利息计算方法

计算利息的方法有单利法与复利法两种。

1）单利法

单利法仅以本金基数计算利息，计算利息时不将前期利息计入，利息不再生息。所获利息与本金、时间、计息周期数成正比。

单利计息的利息公式：

单利计息的本利和公式：

式中：i——单利利率；

　　　n——计息周期数；

　　　P——本金；

　　　I——利息；

　　　F——本利和，即本金与利息之和。

【例1．1】 假如借入的资金1 000元是以单利计息的，年利率为10%，第三年偿还，则到期后的本利和为：

F＝P（1＋ni）＝1 000×（1＋3×10%）＝1 300（元）

其中归还利息300元，1 000元为本金。

单利法在一定程度上考虑了资金的时间价值，但不全面。因为以前已经产生的利息，没有在下一个计息周期里作为本金累计计息。工程经济分析中一般不采用单利计息的计算方法，通常只实用于短期投资和不超过一年的贷款。

2）复利法

复利法是以本金和累计利息之和作为下一计息期的本金计算利息的方法，不仅本金逐期计息，而且前期累计的利息，在后一计息期也计算利息，也就是通常所说的“利滚利”的方法。根据复利法的定义，复利计算公式的推导见表1．2。

表1．2　复利计算公式推导过程表

续表1．2

所以，复利计息的本利和公式：

式中：i——计息周期的复利率；

　　　n——计息周期数；

　　　P——本金；

　　　F——本利和，即本金与利息之和。

【例1．2】 某人借款1 000元，年利率为10%，按年计息，则未来3年的利息与本利和如表1．3所示。

表1．3　复利计算演示表

将例1．2计算的结果与例1．1比较，同一笔款，在利率和时间相同的情况下，复利法计算所得利息额较单利法大。可见复利法对资金占用的量和时间更加敏感，更加充分地反映了资金的时间价值。复利法在实际中得到了广泛的应用，我国现行财税制度规定，投资贷款实行差别利率按复利计息。工程经济分析中普遍采用复利计息。

1.3　资金等值与现金流量图

1．3．1　资金等值的含义

“等值”是指在时间因素的作用下，在不同的时间点数量不等的资金而具有相同的价值。例如现在的100元，与一年后的106元，虽然绝对数量不等，但如果在年利率为6%的情况下，则这两个时间点上，数量上两笔绝对值不等的资金在价值上是“等值”的。

由于资金在生产流通的循环中一定会经历一个相当长的时间，建设工程领域尤其如此。所以，一个项目的资金投入和资金回收在时间点上形成一个序列，考虑到资金时间价值的作用，各时点单位资金的价值存在差异，也就不能直接进行比较和运算，并进而评价项目的经济性。在多方案比较中也是如此，由于资金的时间价值作用，使得各方案在不同时间点上发生的现金流量无法直接比较。因此有必要把在不同时间点上的现金按照某一利率等值折算至某一相同的时间点上再进行比较，这种计算过程称为资金的等值计算。

影响资金等值的因素有三个：一是资金量；二是计息周期的长短；三是利率。其中利率是资金等值的先决条件。资金的等值计算通常要用到现金流量图。

1．3．2　现金流量图

1）现金流量

方案的经济分析中，为了计算方案的经济效益，往往把该方案的收入与耗费表示为现金的流入与现金流出。方案带来的货币支出称为现金流出，方案带来的现金收入称为现金流入。现金流入表示为“＋”，现金流出表示为“－”，现金流入与现金流出的代数和称作净现金流量。现金流入、现金流出及净现金流量统称为现金流量。

2）现金流量图

将现金流量表示在二维坐标图上，称为现金流量图，一个完整的现金流量图包含三个要素：时间轴、流入或流出的现金流和利率，如图1．1所示。

图1．1　案例现金流量图

图1．1表示在方案开始时，即第1年年初支出现金1 000元，在第2年年初（第1年年末）支出现金1 200元，在第2年年末收入现金200元，第三年年末收入现金500元。

现金流量图具有以下特点：

（1）它是一个二维坐标矢量图。横轴表示时间，纵轴表示现金。向上为正，表示收入；向下为负，表示支出。各线段长度与收入与支出数额基本成比例。

（2）每个计息期的终点为下一个计息周期的起点，而下一个计息周期起点为上一期的终点，各个时间点称为节点。第一个计息期的起点为零点，表示投资起始点或评价时刻点。

（3）现金流量图因借贷双方“立脚点”不同，理解不同。借方的收入即是贷方的支出，反之亦然。

3）现金流量图的相关概念

（1）时值与时点

资金的数值由于计算利息而随时间的延长而增值，在每个计息周期期末的数值是不同的。在某个资金时间节点上的数值称为时值。现金流量图上，时间轴上的某一点称为时点。

（2）现值（P：Present Value）

将任一时点上的资金折算到时间序列起点处的资金值称为资金的现值。时间序列的起点通常是评价时刻的点，即现金流量图的零点处。

（3）折现或贴现

将将来某时点处资金的时值折算为现值即对应零时值的过程称为折现。折现时使用的利率称为折现率或贴现率，用i表示。

（4）终值（F：Future Value）

终值即资金发生在（或折算为）某一特定时间序列终点时的价值。

（5）年金（A：Annuity）

年金是指一定时期内每期有连续的相等金额的收付款项，又称为年值或等额支付系列。如折旧、租金、利息、保险金、养老金等通常都采取年金形式。年金有普通年金、预付年金和延期年金之分。

相对于第一期期初，年金的收款、付款方式有多种：

（1）每期期末收款、付款的年金称为后付年金，即普通年金。

（2）每期期初收款、付款的年金称为即付年金，或预付年金。

（3）距今若干期以后发生的每期期末收款、付款的年金，称为延期年金。

普通年金是每期期末收付的年金，是最常用的年金形式。本书1．4节中关于资金时间价值计算公式的推导都是以普通年金为基础的。

1.4　资金复利等值换算的基本公式

工程项目的现金流是复杂多样的，但只需相对简单的处理，就能将其转化成现值、终值、年金或变额支付等形式或其几种形式的组合。这几种现金流之间的等值换算公式称为等值换算的基本公式。

1．4．1　现值与终值的互算公式

1）复利终值公式（已知P，求F）

假设在某一时间点上，有一笔资金P，计息期利率为i，复利计息，则在第一期末该笔资金的本利和F1＝P×（1＋i），第二期期末本利和F2＝P×（1＋i）＋i ×P（1＋i）＝P（1＋i）2，依此类推，直至n期末的本利和F＝P（1＋i）n。所以

该公式称作一次支付复利公式，简称复利公式，其中：（1＋i）n称作一次支付复利系数，通常用符号（F／P，i，n）表示。所以公式（1．10）也可写成

F＝P（F／P，i，n）

【例1．3】 某人购买某理财产品10万元，4年到期后按复利年利率6%结算，计算该笔资金的实际结算价值。

解：已知P＝10万元，i＝6%，n＝4，求F，其现金流量图如图1．2所示。

图1．2 例1．3现金流量图

F＝P×（1＋i）4＝10×（1＋6%）4＝12．6（万元）

即10万元资金在年利率为6%时，经过四年后变为12．6万元。

2）复利现值公式（已知F，求P）

即将某一时点（非零点）的资金价值换算成资金的现值（零点处的值）。

若F为已知，则由公式1．11可求出P。

公式（1．11）可以表示为：P＝F（P／F，i，n），其中及（P／F，i，n）称作一次支付现值系数。

【例1．4】 某小区计划在10年末进行一次大修，工程预算为100万元，银行按年利率5%计息，问小区业主现在应存入银行多少维修基金？

解：已知F＝100，i＝5%，n＝10，求P，其现金流量图如图1．3所示，由公式（1．11）P＝ F得：

图1．3 例1．4现金流量图

P＝100×1／（1＋5%）10＝100×0．613 9

　＝61．39（万元）

即未来10年末的100万元与现在61．39万元是等值的。

1．4．2　终值与年金的互算公式

1）年金终值公式（已知A，求F）

其含义是在一个时间序列中，在利率为i的情况下，连续在每个计息期的期末收入（支出）一笔等额的资金A，求n年后由各年的本利和累积而成的总额F，即已知A，i，n求F。类似于我们在储蓄中的零存整取，其现金流量图如图1．4所示。

各期期末年金A相对于第n期期末的本利和可用表1．4表示。

图1．4　年金终值现金流量图

表1．4　普通年金复利终值计算表

F＝A（1＋i）n－1＋A（1＋i）n－2＋A（1＋i）n－3＋…＋A（1＋i）＋A

公式F＝A×即为复利年金终值公式。

也可表示为F＝A×（F／A，i，n）。其中或（F／A，i，n）称作年金复利终值系数，简称年金终值系数，或年金未来值系数。

【例1．5】 某水利工程5年建成，每年末投资2 000万元，年利率为5%，求5年末的实际累计总投资额。

解：已知A＝2 000万元，i＝5%，n＝5，求F。

此项目资金现金流量图如图1．5所示。

由公式（1．12）可得：

　＝2 000×5．525 6＝11 051．20（万元）

图1．5　例1．5现金流量图

5年内的实际累计总投资为11 051．20万元，其中1051．20万元为利息支出。

2）偿债基金公式（已知F，求A）

其含义是为了筹集未来n年后所需要的一笔资金，在利率为i的情况下，求每个计息期末应等额存入的资金额，即已知F，i，n求A，类似于我们日常商业活动中的分期付款业务，其现金流量图如图1．6所示。

图1．6　已知F，i，n求A现金流量图

由公式（1．12）F＝A×可得，

【例1．6】 某人驾驶的工程车要在10年后报废，到时需要一笔20万元的资金用于购买新车，如果年利率为3%，问从现在开始他每年应向银行存入多少资金？

解：已知F＝20，i＝3%，n＝10，求A

由公式（1．13）可知，

即每年应存入银行1．744万元。

1．4．3　现值与年金的互算公式

1）年金现值公式（已知A，求P）

其含义是在n年内每年等额收支一笔资金A，在利率为i的情况下，求此等额年金收支的现值总额，即已知A，i，n，求P，类似于实际商务活动中的整存零取。其现金流量图如图1．7所示。

图1．7　已知A求P现金流量图

年金现值公式的计算可以利用数列求和得出，也可以直接由年金终值公式推导得出。

由公式（1．12）F＝A×及公式（1．11）P＝F可得：

公式（1．14）为年金现值公式，可表示为：P＝A×（P／A，i，n），其中系数或（P／A，i，n）称作年金现值系数。

【例1．7】 某仓库需大修才能继续使用8年，且大修后出租的净收入为每年20万，设年利率为5%，问该次大修的工程预算需控制在多少为宜？

解：已知A＝20，i＝5%，n＝8，求P。

其现金流量图如图1．8所示。

由年金现值公式（1．14）

图1．8 例1．7现金流量图

得：

该次大修的工程预算需控制在129．26万元以内。

2）资金回收公式（已知P，求A）

其含义是指在期初一次投入资金数额为P，欲在n年内全部收回，则在利率为i的情况下，求每年年末应等额回收的资金，即已知P，i，n求A。其现金流量图如图1．9所示。

图1．9 已知P，求A现金流量图

资金回收公式可由年金现值公式直接反算得出。由年金现值公式P＝A×可知：

公式A＝P×称作资金回收公式，可表示为A＝P×（A／P，i，n），式中系数或（A／P，i，n）称作资金回收系数。

由上述推导过程可知，资金回收系数是年金现值系数的倒数。资金回收系数是一个重要的系数。其含义是对应于工程方案的初始投资，在方案寿命期内每年至少要回收的金额。在工程方案经济分析中，如果对应于单位投资的每年实际回收金额小于相应的预计资金回收金额，就表示在给定利率i的情况下，在方案的寿命期内不可能将全部投资收回。

【例1．8】 某高速公路工程初始投资10亿元，预计年投资收益率为10%，问每年年末至少要等额回收多少资金，才能在20年内将全部投资收回？

解：已知P＝10，i＝10%，n＝20，求A，由资金回收公式（1．15）可得，

即每年至少应等额回收1．175亿元，才能将全部投资收回。

1．4．4　变额支付序列的换算公式

每期收支数额不相同的现金，这种现金流量序列称为变额现金流量序列。如果变额现金流无规律可循，则可对每一个现金流量应用复利公式F＝P×（1＋i）n或P＝F×（1＋i）－n分项计算后求和，然后可转换为年金等使用；如果变额现金流量具有规律性变化特征，则可依照该规律推导将该现金流序列与现值、终值或年金的等值换算公式。这里介绍等差和等比序列现金流序列的应用公式。

1）等差现金流量序列公式

图1．10 等差现金流量图

所谓等差现金流量序列，即每期期末收支的现金流量序列是成等差变化的。其现金流量序列如图1．10所示。

若令A1＝A，公差为G，则每期期末现金支出可表示为：

A1＝A，A2＝A＋G，A3＝A＋2G，…，

An＝A＋（n－1）G

如果将图1．10的现金流量图划分为两部分：其一是值为A的年金，与其等值的终值用FA表示。另一部分是时点0和1的值为0，以后各时点的值以数值G逐个递增，其等值终值的和用FG表示。若以F表示总额复利终值，则：

F＝FA＋FG

FG＝G（1＋i）n－2＋2G（1＋i）n－3＋…＋（n－2）G（1＋i）＋（n－1）G（1＋i）0

＝ ×［（1＋i）n－1＋（1＋i）n－2＋（1＋i）n－3＋（1＋i）2

＋（1＋i）1－（n－1）×1］

公式（1．16）可表示为FG＝G（F／G，i，n），式中系数或（F／G，i，n）称作等差终值系数。

所以，等差现金流量序列的终值公式为：

＝A（F／A，i，n）＋G（F／G，i，n）

上面公式是等额递增序列的等值换算公式，对于等额递减序列（即A1＝A，A2＝A－G，A3＝A－2G，…，An＝A－（n－1）G）的情况，只需将G变为负值代入公式（1．17）运算即可。

2）等比现金流量序列公式

等比现金流量序列，即每期期末发生的现金流量序列是成等比变化的。其现金流量图如图1．11所示。

图1．11　等比现金流量图

则此现金流量序列的复利终值F可表示为：

F＝A（1＋i）n－1＋Aq（1＋i）n－2＋Aq2（1＋i）n－3＋…

＋Aqn－2（1＋i）＋Aqn－1

令q＝1＋s，则式（1．18）可变为

1．4．5　等值换算基本公式汇总与复利系数表

对上述的基本公式汇总，得到表1．5。从列表中的公式中，可以清楚地看出各种系数之间的关系。在终值系数和现值系数之间，年金终值系数和偿债基金系数之间，年金现值系数和资金回收系数之间，都存在着一种倒数关系，且在所有基本公式中，又以复利终值（或现值）公式为最基本的公式，其他公式都是在此基础上经初等数学运算得到的。

表1．5　等值换算基本公式一览表

续表1．5

这些等值换算的关键就是换算系数的求取，对换算系数的求取有两种基本方法：一种是将已知参数导入公式直接计算，这种方法往往面临相对复杂的运算，比较容易出错；另一种方法是利用复利系数表来求取换算系数，该方法简单快速，不易出错，复利系数表是工程经济分析必不可少的工具。

复利系数可依照复利系数中的三个参数在复利系数表中查询。复利系数表一般就百分比取整数的利率值分别给出不同计息期时的各复利系数，在以不同利率区分的独立表格中，横向列出的是复利公式，表示已知量和待求量，如已知现值求终值，对应的就是（F／P，i，n）的列。复利系数表的纵向列出的是计息期。表的主体部分就是两者对应的复利系数。例如，已知现值求终值，利率为15%，计息期为10年时，查本书附录复利系数表所得的复利系数是4．045 6。

习　题

1．何为资金的时间价值？为什么评价项目的经济性要考虑资金的时间价值？

2．何为资金等值？常用资金等值换算公式有哪些？

3．什么是利息？利息计算方法有哪两种？有何本质区别？

4．利率的确定要考虑哪些因素？这些因素使利率如何变动？

5．什么是名义利率和有效利率？二者有何关系？

6．某企业新建一条生产线，初始投资为1 500万元，年利率为10%，要求投资后4年内收回全部投资，那么该生产线每年至少要获利多少？

7．下列终值的等额支付为多少？

（1）年利率为12%，每年年末支付一次，连续支付8年，8年末积累金额15 000元；

（2）年利率为10%，每半年计息一次，每年年末支付一次。连续支付11年，11年年末积累4 000元；

（3）年利率为12%，每季度计息一次，每季度末支付一次，连续支付8年，8年年末积累金额15 000元；

（4）年利率为8%，每季度计息一次，每月月末支付一次，连续支付15年，15年年末积累17 000元。

8．下列现值的等额支付为多少？

（1）借款5 000元，得到借款后第一年年末开始归还，连续5年，分5次还清，年利率按4%计算；

（2）借款37 000元，得到借款后的第一个月月末开始归还，连续5年，分60次还清，年利率为9%，每月计息一次。

9．下列现金流量序列的年末等额支付为多少？

（1）第一年年末借款1 000元，以后3年每年末递增借款100元，按年利率5%计息；

（2）第一年年末借款5 000元，以后9年每年末递减借款200元，按年利率12%计息；

（3）第一年年末借款2 000元，以后3年每年末递增2%，按年利率5%计息；

（4）第一年年末借款3 000元，以后6年每年末借款是上一年的1．1倍，按年利率5%计息。

10．假设某人为购房向银行贷款20万元，分5年偿还，年利率5%，试就以下4种还款方式分别计算各年还款额（本金和利息），以及5年还款总额的现值和终值．

（1）每年末还款4万本金以及该年度所有利息；

（2）每年末结算利息，本金20万在第5年末一次偿还；

（3）每年末等额偿还本金和利息；

（4）第5年末一次偿还本金和利息。

11．某工程项目预计投资800万元，预测在使用期4年内，每年平均收入500万元，每年平均支出250万元，残值30万元，利率为8%。要求：

（1）作出现金流量图。

（2）分别计算收入和支出的现值。

12．证明下列等式：

（1）（P／A，i，n）＝（P／A，i，n－1）＋（P／F，i，n）

（2）（A／P，i，n）－i＝（A／F，i，n）

（3）（F／A，i，n）＋（F／P，i，n）＝（F／A，i，n＋1）

13．试求图1．12（a）和图1．12（b）所示现金流量的现值，年利率为5%。

图1．12　题13图

14．某公司购买了一台机器，估计能使用20年，每四年要大修一次，每次大修费用假定为1 000元，现在应存入银行多少钱才足以支付20年寿命期间的大修费用，按年利率12%计，每半年计息一次。

15．某公司购买了一台机器，原始成本为12 000元，估计能使用20年，20年末的残值为2 000元，运行费用为每年800元，此外，每五年要大修一次，大修费用为每次2 800元，试求机器的年等值费用。按年利率12%计。