这一时期是数学发展的第二时期，数学在这一时期得到了巨大的发展。这一时期开始阶段的数学以希腊数学为代表，希腊数学汇集了巴比伦精湛的算术和埃及神奇的几何学，成为当时欧洲最先创造文明的地区。随着罗马帝国征服了希腊并摧毁了希腊的文化，数学发展的中心转移到了东方的中国、印度和阿拉伯国家。
毫无争议泰勒斯（Thales）是这一时期数学的开山鼻祖［2］。他学得了两大文明的数学知识。他学会了埃及人用几何技术测量距离的方法和用小块农田计算面积的方法，另外他还学得了巴比伦人的天文学和60进制记数系统的使用方法。这使得他有很好的数学基础。他认为一些数学结论之所以正确，并不仅仅因为他们与我们的生活经验相符合，其中必然还有更深刻的原因。泰勒斯为此探索出了一整套基本理论和基本逻辑来帮助他的研究，使他能够以这些理论为基础，从其中推演出所有的数学定理和规则，他称这些基本理论为公理和公设。通过一定逻辑上的论证，能够从这些公理和公设中得到一些特殊结论，这些特殊结论称为定理，而这个逻辑推理过程则称之为证明。泰勒斯证明了5个定理，这5个定理都与圆和三角的几何特性相关:
（1）任何一条通过圆心的直线都将圆分割成面积相等的两部分。换句话，就是“直径平分圆”。
（2）如果一个三角形的两条边长度相等，那么与两条边相对的两个角的角度也相等。也就是说，“等腰三角形的底角相等”。
（3）如果两条直线相交，那么其中任意两个相对的角相等。简而言之，就是“两直线相交，其对角相等”。
（4）如果三角形的三个顶角（即角的顶点）都在一个圆上，同时三角形其中的一条边恰好是圆的直径，那么这个三角形就是直角三角。换句话说，就是“对半圆的圆周角是直角”。
（5）如果一个三角形中的两个角和这两个角中间的那条边与另一个三角形中相应的两个角和一条边相等，那么这两个三角形是全等三角形。这就是判断全等三角形的“角边角定理”。
虽然古埃及、古巴比伦人也许早已知道，但是没有系统的说明和证明，是泰勒斯把它们整理成一般性的命题，论证了它们的严格性，并在实践中广泛应用。泰勒斯最早提出“数学定理必须要证明”的观点，这一观点对重新定义数学的本质产生了深远的影响。在科学上，他倡导理性，不满足于直观的感性的特殊的认识，崇尚抽象的理性的一般的知识。数学从此从感性走向了理性。
在泰勒斯之后便是毕达哥拉斯，毕达哥拉斯是古希腊的数学家和宗教领袖，他对数学的研究早已超越了命理学的范畴，拓展到了数论这一分支［2］。他还发现一些构成音乐理论基础的数学比例，并且认为这样的比例在天文学中同样存在。他还给出了毕达哥拉斯定理的最早的证明，根据这个定理又发现了无理数。在他之前人们只知道3种正立方体:正四面体、正六面体和正十二面体，他发现了另外两种正多面体:正八面体和正二十面体，并且证明不可能再有别的正多面体。
随后数学发展中心由希腊转移到了亚历山大里亚，这一时期有很多水平很高的数学书稿问世并一直流传到现在［2］。欧几里得写出了著作《几何原本》，它是平面几何、比例论、数论、无量理论、立体几何的集大成者，第一次把几何学建立为演绎体系，成为了数学史和思想史上一部划时代的名著。欧几里得创立的理论思想确立了几何学研究的基本框架，这一理论框架一直沿用了2 000多年，直到19世纪人们才发现一个与欧几里得几何学相矛盾的结论，随后才开始发展现在的非欧几里得几何学。由于他的著作长期在几何学的学习和研究中占据着支配地位，因此被人们尊称为“几何学之父”。
之后的阿基米德对应用数学知识来解决实际问题以及发展新的数学思想产生了浓厚的兴趣。他采用内结合外切多边形的方法求圆周率的近似值，可以精确到小数点后面的4位，他在《圆的度量》这本书中介绍了这个方法和得到的结果，此后18世纪的数学家们一直都利用这个方法计算圆周率。他还利用穷竭法估算周长、面积和体积，利用现在称为“阿基米德螺旋”的曲线来确定切线，这使他离18世纪才被发现的微积分只有咫尺之遥，给很小和很大的数带来了崭新的方法。但是这位伟大的数学家却死于战争。公元前212年，阿基米德75岁，罗马军队占领叙拉古城，阿基米德由于在试图解决一个数学问题而没有参加庆祝，被一个罗马士兵用长矛杀害。他是一个富有创意的问题解决者，他一生中几乎解决了当时数学界无法回答的所有的主要问题。数学家们将他和牛顿、高斯一起并称为三个贡献最大的数学家，他们与欧拉一起并称为四个最伟大的数学家［2］。
随着罗马帝国摧毁了希腊，希腊的文化开始走向灭亡。虽然这时候希腊数学开始没落，但是也出现了一批杰出的数学家，像海伦、帕波斯、丢番图、海帕西娅等。海伦以解决几何测量问题而出名，著名的“海伦公式”就是由他证明得出，他的主要著作是《量度论》。帕波斯有不少著作，唯一流传下来的正是最有价值的一本:《数学汇编》，它在历史上占有特殊的地位，这不仅仅是它本身有许多发明创造，更重要的是记述了大量前人的工作，保存了一大批现在在别处无法看到的著作。丢番图是代数学的创始人之一，他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，他对算术理论进行了深入研究，他完全脱离了几何形式，摆脱了几何的羁绊。其墓志铭便是著名的丢番图问题。海帕西娅是最早的女数学家，但是由于教会感到她的雄辩能力和崇高的声望威胁到了教会，把她视为眼中钉。公元前415年3月的一天，一群暴徒将她残忍地杀害，她的死标志着希腊数学的消亡。
在此后的数年里数学进入了黑暗时期，从5世纪到15世纪，数学发展的中心开始转移到东方的印度、中亚细亚、阿拉伯国家和中国。在这一时间段里，数学主要是由于计算的需要（特别是天文学）而迅速发展。古希腊的数学看重的是抽象、逻辑和理论，强调数学是认识自然的工具，重点是几何学；而古代中国和印度看重具体、经验和应用，强调数学是支配自然的工具，重点是算术和代数。
印度数学的发展是世界数学史的重要组成部分，在西方数学进入黑暗的时期，印度和许多东方国家一起扛起了数学的大旗。印度数学受婆罗门教的影响很大，此外由于其特殊的地理位置受到了来自希腊、中国的近东地区的数学影响，特别是中国的影响。印度数学的主要代表人物有阿里耶波多第一［2］（也称大阿里耶波多）和婆罗摩笈多。阿里耶波多第一创立了由元音和辅音相结合的字母记数系统，它使用印度字母中的33个辅音来代表1～25的整数和30～100的10的倍数。他又使用一个元音与一个辅音链接表示10倍，对于记录那些巨大的数字很有帮助。他阐明了计算立方根的有效方法，计算数列和的公式解决一次不定方程的代数学方法。他所改进的正弦值和π的近似值被一直沿用很长时间。他还准确地估量了一年的长度，并给出了计算行星轨道的公式。另外一个著名的数学家是婆罗摩笈多，他所作的两本关于天文学和数学知识的经典著作在印度得到广泛的应用，也将印度的技术系统传到阿拉伯世界。他在其中一本书中提到了负数和0的记载，这是目前的最早的记录。他还发展了一套复杂的代数学方法，用来解答一次不定方程和二次不定方程，提出了圆内接四边形的定理和公式。另外，他所修订的估算平方根和角的正弦值的方法，则开创了数值分析的新领域，因此被称为“数值分析之父”。
此外中亚和波斯对数学也有着重要的贡献，现在所广泛使用的阿拉伯记数法就是其中之一。具有代表性的人物有“代数学之父”之称的阿布－贾法尔－穆罕默德－伊本－穆萨－花剌子米，奥马·海亚姆和吉亚斯丁·阿尔－卡西［2］。阿布－贾法尔－穆罕默德－伊本－穆萨－花剌子米论证了如何解答二次方程的问题，这正式开启了代数学研究的帷幕。他在著作中介绍了如何使用印度的十进制记数系统，后世称这样的系统为“阿拉伯数字”。奥马·海亚姆一共写了四本数学书，在其中的一本中他确定了三次方程的14种类别，并且介绍了解答这14类三次方程的几何方法。他还发明了一种用二项式的系数来估算一个整数的n次方根的方法。在试图改进欧几里得的平行线公理的时候，他证明了一系列定理，这些工作被人们认为是对非欧几里得几何学最早的研究。吉亚斯丁·阿尔－卡西发展出了一套具有革命性的近似方法。通过对有大于8亿条边的正多边形的计算以及非常有效的估算平方根的方法，他把圆周率π的值精确到了小数点后16位。他发展了5套估算建筑的拱、穹顶和拱顶的面积和体积。他还采用迭代法来估算三次方程的根，并且据此将sin1°的值精确到了小数点后面的18位。他使用十进制小数来进行计算，完善了印度－阿拉伯记数系统的发展。
中国作为世界四大文明古国之一，中国数学的发展对于世界数学的发展有重要的作用。中国古代数学影响深远、风格独特。在春秋战国时期，筹算已经得到普遍的应用，筹算计数法使用的是十进制，这对世界数学的发展有划时代的意义。在初等数学时期，中国出现了很多世界闻名的数学家，比如刘徽（公元3世纪）、祖冲之（429—500年）、王孝通（公元6—7世纪）、李冶（1192—1279年）、秦九韶（1202—1261年）、朱世杰（公元13—14世纪）等人，同时也出现很多数学著作，特别是《九章算术》的完成，标志着我们初等数学体系的已基本形成。《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。我国传统数学在线性方程组、同余式理论、有理数开方、开立方、高次方程数值解法、高阶等差级数以及圆周率计算等方面，都长期居世界领先地位。
初等数学时期从泰勒斯开始直到高等数学的出现，其中经历了2 000多年，从泰勒斯把数学从感性认识带入理性推导开始，经过长时间的发展和无数科学家的共同努力，初等数学的主体部分（算术、代数与几何）已经基本完成，并且发展趋于成熟。在这期间数学中心也发生了改变，从开始的希腊到后来的中亚、印度和中国，数学的国际沟通与交流也是促使数学快速发展的重要原因。这一时期的数学已经可以解决很多现实中的问题，对人们的生产和生活已经产生了重大的影响，同时这一时期数学的发展也为近代数学和现代数学奠定了坚实的基础。
东西方文化的碰撞——《九章算术》和《几何原本》
《几何原本》是欧几里得所著的古希腊数学的代表作品，《九章算术》是刘徽所著的中国古代数学的代表。两部数学史上经典的作品，一个代表当时西方世界的数学发展，一个则代表了东方世界的发展，从这两部作品中我们可以看到东西方文化的差异。
《几何原本》是历史上最早建立的演绎的公理化的体系。演绎的公理化证明从有限的不加证明的公理和定理出发，通过严格的逻辑推理推演出所有其他命题的一个有序的理论整体。欧几里得将希腊的几何利用公理化的思想和严格的演绎推理的逻辑方法整理在一个体系之中，形成了这本书，这本书并不是欧几里得独创的，而是欧几里得对之前希腊数学的一个总结。全书共13卷，总共475个命题，包括5个公设和5个公理，除几何外还包括初等数论、比例理论等内容。《几何原本》是一个比较完整的、相对封闭的演绎体系，虽然在证明某些命题时确实用到了除了公设、公理和逻辑之外的一些看似很直观的东西，但是这只是个别现象，并不影响整个体系。另外从《几何原本》对当时社会生产和生活来看，并不与生活中的事情息息相关，因此对于社会生活来说，它也是封闭的。
《九章算术》是中国古代最重要的经典著作，它总结了先秦到西汉的数学成果，形成了以问题为中心的算法体系。它与希腊的《几何原本》交相辉映，同为世界数学发展之源。《九章算术》的结构与《几何原本》并不同，它包括246问202术，并按问题的性质分为九大类，每一类为一卷。它主要解决的是与人们日常生活息息相关的问题，与人类生产和实践都有深刻的联系。它是一个完全开放的体系，所有的问题都是计算问题。与《几何原本》代数几何化相反，它是采用几何代数化。
从《几何原本》可以看出西方数学的演绎推理特点，而中国的《九章算术》有着明显的解决实际问题的算法倾向。从中我们可以看出中西方文化的差异:中国传统文化的经世致用得到了体现，而西方文化崇尚理性；中国人有着中庸的思想，而西方是注重逻辑演绎推理和理性思辨；中国人注重宏观的统一，而西方是纯粹的微观的理性思辨［3］。
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