资金时间价值的计算方法

第三节　资金时间价值的计算方法

一、单利计算

（一）单利利息的计算

基本公式：I=P×i×n

式中，I——表示利息；

　P——表示本金或现值；

　i——表示年利率，通常以年为计量单位；

　n——表示计算利息的年份数。

计算利息的年份数也称为计息期限。例如，一笔资金在银行存了3年，计息期限就是3期。一笔款项借贷双方约定2年归还，计息期限就是2期。

（二）单利终值的计算

基本公式：F=P+I=P+P×i×n=P（1+i×n）

式中，F——表示终值，当前的一笔资金经过一定时期后的价值数额；

　I——表示利息，通常以年为计量单位；

　P——表示本金或现值；

　i——表示年利率；

　n——表示计算利息的年份数。

终值的经济学意义不可忽视，它反映了资金的时间价值，说明了资金的增值过程。通常意义下，资金经过一定时间后，价值就会增值，比最初的本金增加了一定的数额，这一增值额，正是资金时间价值的表现。

（三）单利现值的计算

基本公式：P=F／（1+i×n）

式中，F——表示终值，当前的一笔资金经过一定时期后的价值数额；

　P——表示本金或现值；

　i——表示年利率；

　n——表示计算利息的年份数。

现值的经济学意义也不可忽视，它反映了未来资金扣除时间价值后，相当于当前资金的价值数额，是对未来资金折算为当前资金的一种贴现。

通常意义下，资金经过一定时间后，价值就会增值，比最初的本金增加了一定的数额。因此，未来资金折算到当前，就应该扣除其增值部分，也就是进行贴现。

需要注意，资金的时间价值通常是按复利计算的。

二、复利计算

（一）复利终值的计算

基本公式：F=P（1+i）ⁿ=P（F／P，i，n）

式中，F——表示终值，当前的一笔资金经过一定时期后的价值数额；

　i——表示利息，通常以年为计量单位；

　P——表示本金或现值；

　n——表示计算利息的年份数。

复利终值是指一定量的本金按复利计算若干期后的本利和，体现了利息也是一种资金，也可以带来收益的观点，也就是通俗意义上的利上加利，利上滚利。这一观点更符合市场经济的特点。

一笔资金经过n年后，每年都产生利息，而且利息又产生利息，采取复利的形式，最终价值为：（1+i）ⁿ，也称为一次支付终值系数，记做（F／P，i，n）。

根据该公式，单位资金在不同利率和期限下对应不同的终值数值，并被编制成复利系数表（见表4-1）。

例如：10万元现值，5年后终值为：

F=10×（1+0.1）⁵=10×1.6105=10.6105（万元），其中，年利率10%，期限5年，对应的一次支付终值系数为1.6105。

（二）复利现值的计算

复利现值是复利终值的逆运算，它是指今后某一规定时间收到或付出的一笔款项，按贴现率i所计算的货币的现在价值。

如果已知终值、利率和期数，则复利现值的计算公式为：

式中，F——表示终值，即当前的一笔资金经过一定时期后的价值数额；

　P——表示本金或现值；

　i——表示年利率；

　n——表示计算利息的年份数。

式中：（P／F，i，n）=，称为一次支付现值系数，记做（P／F，i，n），在不同利率和期限下对应的现值系数，也被编制成复利系数表（见表4-1）。

例如：某公司准备将暂时闲置的资金一次性存入银行，以备3年后更新50万元的设备之用，银行存款年利率为5%，按复利法计算，该公司目前应该存入银行的资金额度为

P=50×（P／F，5%，3）=50×0.8638（查表得到）=43.19（万元）

（三）名义利率和实际利率

当每年复利计算次数超过一次时，给定的年利率叫名义利率，而多次计息后的累计年利率为实际利率。后者往往高于前者，一年内计息次数越多，实际利率就越高。

二者的关系可以用以下公式予以表示：

式中，I——表示实际利率，通常以年为计量单位；

　m——表示一年内的计息次数，计息次数越多，实际利率越高；

　i——表示名义利率，通常以年为计量单位。

（四）年金

年金是指在一定时期内每隔相同的时间发生相同数额的系列收付款项，如折旧、租金、利息、保险金等。

普通年金是指一定时期内每期期末等额的系列收付款项。

普通年金终值是指一定时期内每期期末等额收付款项的复利终值之和。普通年金终值犹如零存整取的本利和，基本计算公式如下：

普通年金终值基本公式：

以上公式可以化简为，普通年金终值基本公式：

称为等额支付终值系数，记做（F／A，i，n），在不同利率和期限下对应的终值系数，也被编制成复利系数表（见表4-1）。

式中，F——年金终值；

　A——普通年金；

　i——表示年利率；

　n——表示普通年金连续发生的年份数。

例如：某公司拟在今后10年中，每年年末存入银行10000元，银行存款年利率为6%，10年后的终值（本利和）为：

=10000×13.181=131810（元）

也就是说，每年末存入1万元，10年后，共计可以达到13.181万元。

（五）年偿债基金

偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分期等额提存的准备金。

年偿债基金的计算就是已知年金终值，求年金。实际上是年金终值的逆运算。

可以得到计算公式为，年偿债基金基本公式：

称为等额支付投入基金系数，记作（A／F，i，n）。

在不同利率和期限下，对应的系数也被编制成复利系数表（见表4-1）。

式中，F——年金终值；

　A——普通年金；

　i——表示年利率；

　n——表示普通年金连续发生的年份数。

例如，某公司打算在10年后改造厂房，预计需要50万元，假设银行的存款利率为5%，10年不变，那么该企业在10年中，每年年末要存多少元才能满足改造厂房的资金需要。

A=F（A／F，I，n）=50（A／F，5%，10）=50×0.0795=3.975（万元）

（六）普通年金现值

普通年金现值是指一定时期内每期期末收付款项的复利现值之和。普通年金现值的计算是已知年金、利率和期数，求年金现值的计算。

实际上，普通年金现值就是普通年金终值的折现。

由普通年金终值予以折现，也就是乘以现值系数，就可得到其计算公式为：

称为等额支付现值系数，记作（P／A，i，n），在不同利率和期限下，对应的系数也被编制成复利系数表（见表4-1）。

上式简化为：P=A（F／A，i，n）×（P／F，i，n）=A（P／A，i，n）

式中，P——年金现值；

　A——普通年金；

　i——表示年利率；

　n——表示普通年金连续发生的年份数。

例如，某企业租入一台设备，每年年末需支付租金1200元，年利率为10%，租期5年，现在应存入银行多少钱，才能保证该设备每年租金的支付而不需年年考虑，或者说，现在一次性把5年的租金全部付清。

P=A·（P／A，i，n）=1200×（P／A，10%，5）

=1200×3.791=4549.2（元）。

也就是说，现在存入4549.2元，就可以保证5年的年末都可以支付1200元租金，到期存款正好用完。

（七）年资本等额回收额

资本回收额是指在给定的年限内，等额回收或清偿初始投入的资本或所欠债务所需的资金额度，这里的等额款项为年资本回收额。

其计算内容实际上就是：已知年金现值P，求年金A。它是年金现值的逆运算。其计算公式为：

称为等额资本回收系数，记作（A／P，i，n），在不同利率和期限下，对应的系数也被编制成复利系数表（见表4-1）。

式中，A——表示每年需要回收的等额资金额度；

　P——表示需要回收的资本现值总额，或需要偿还的贷款现值总额；

　i——表示年利率；

　n——表示普通年金连续发生的年份数。

例如，某公司欲投资10万元购买一台生产设备，使用期限为5年，利率为10%，问该设备每年至少给公司带来多少收益才是可行的。也就是说，5年中，该设备每年应当等额收回多少资金（产生的净收益），才能保证到5年末全部收回10万元的购买设备款项，而不至于亏本。

A=P（A／P，i，n）=10（A／P，10%，5）=10×0.2638=2.638（万元）。

也就是说，使用该设备，每年至少可以产生2.638万元的净收益，才可以考虑购置该项设备。

（八）先付年金

先付年金又称为预付年金，是指一定时期内每期期初等额的系列收付款项。预付年金与普通年金的差别仅在于收付款的时间不同，可以理解为，先付年金比普通年金应该多计算一年期的利息。

先付年金终值的计算公式为： F=A′（F／A，i，n）（1+i）；

或者

先付年金现值的计算公式为：P=A′（P／A，i，n）（1+i）^-1；

或者

（九）递延年金

递延年金又称延期年金，是指第一次收付款额发生在第一期之后的等额的系列收付款项（可能是第二期，或第三、四期等）。

递延年金现值的计算公式如下：

P=An［（P／A，i，n）-（P／A，i，m）］=An（P／A，i，n-m）（P／F，i，n）

递延年金终值的大小与递延期数无关，与普通年金终值的计算方法相同。

（十）永续年金

永续年金是指无限期支付的年金，永续年金没有终止的时间，即没有终值。

永续年金现值的计算方法，可以通过普通年金现值的计算公式导出：

由于：，当n→∞时，（1+i）^-n的极限为零，故上式可以简化为：

上述计算的结果及其公式可以归纳为以下表格，见表4-1。

表4－1　复利系数名称、符号、复利系数表