高等数学的人文价值与教育价值

第三节　高等数学的人文价值与教育价值

微积分学是高等数学的核心内容。它的思想和方法广泛应用于自然科学、工程技术、社会经济等领域，是科学大门的钥匙，是人类思维的工具，是理性的艺术。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

一、微积分的历史发展渗透着数学文化

诚如著名数学家柯朗所言：“微积分学，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位。这门科学乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶；这种奋斗经历了两千五百多年之久，它深深扎根于人类活动的许多领域，并且，只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续下去。可以说，一部微积分的发展史，就是一部人类进步的文化史。”微积分成为一门学科是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽；作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的“割圆术”中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。一千多年以后，由于天文学、力学、几何学的实际需要，比较系统的微积分理论于公元17世纪中叶在牛顿、莱布尼兹等大科学家手中诞生。18世纪，微积分被成功地应用于物理学、天文学、几何学，解释行星运动三大规律，推出万有引力定律，计算彗星轨迹、切线斜率、质点运动速度等自然现象，在应用中微积分理论迅速发展。但当时的微分和积分并没有严格的数学定义，特别是一些定理的证明和公式的推导，在逻辑上前后矛盾，不好理解，但推导出的结论在实际中的应用却正确无误，使微积分具有了一种神秘性。这种神秘性集中体现在对“无穷小量”究竟“是否为零”的认识上：如果是零，则应用时不能作分母；如果不是零，则应用时不能随意消失。对这个问题的回答，直接影响着微积分的根基，以致当时的英国红衣大主教贝克莱、无产阶级革命领袖马克思都加入了辩论，由此产生了第二次世界数学危机，影响了微积分的进一步发展和应用，同时也影响了物理学、天文学、哲学等学科的发展。直到19世纪，由于柯西等一些大数学家的贡献，解决了“无穷小量”的定义问题，严格的微积分理论才在实数理论、极限理论基础上走向成熟，第二次世界数学危机顺利度过。19世纪以后，微积分应用日益广泛，日趋成熟，几乎渗透到自然、社会和经济领域的各个方面，促进了科技的发展，也使其自身在应用中更完美。微积分的诞生革新了数学的观念、思想和方法，是人类思维的伟大成果。革命导师恩格斯曾说过：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看做人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里。”

二、微积分的教育价值与高等数学教育

从高等数学教学的角度考虑，学习微积分，不仅要掌握其基本知识和方法，提高运算能力、抽象思维能力、应用创新能力，为学习相关学科打好基础；更要从思想高度把握微积分，认识微积分思想中蕴涵的辩证唯物思想，认识微积分思想背后所蕴涵的人类思维发展的曲折过程，认识微积分思想的美学功能，认识微积分应用的伟大成果。

（一）微积分的思维价值有利于培养学生的数学创造能力

文艺复兴之后诞生的微积分是人类理性精神和理性思维与经验科学成功结合的一个范例，它为自然界的物质运动及变化规律进行数学描述奠定了强有力的基础，同时微积分对数学的一个划时代的和不朽的贡献就是它把运动变化和极限的思想引入数学，并成为一种基本的数学思想；另一方面辩证法思想借助微积分载体而体现。因此作为现代数学的一块基石，学习微积分文化（而非仅仅技能），对现代人的思维方式的养成具有深远的影响。体味这些数学思维方式，有利于培养学生的数学创造能力，微积分为学生创造性才能的充分发挥提供了广阔的空间。

（二）微积分的美育价值有利于促进学生的全面发展

关于数学美，学者张楚廷曾有这样的论述：“数学美学是构成人的精神与外部世界相融合的基本中介。”能否认知数学美，是将数学活动理解为一种文化现象的关键。纵观古今，数学美一直是指引数学家前进和奋斗不息的一盏明灯，对美的追求和对困惑的追问是引导创造的两个重要因素。微积分的美具有数学美的特性：和谐性、简单性、新奇性和精巧性。微积分学习对学生重新认识数学的价值、改善数学学习的态度、拓展思维，促进人的全面发展都有着积极意义；作为现代人才，他们更应该懂得欣赏数学的美学魅力，进而从更深的层次和视角审视和思考人类和自然，促进智能的发展、品德的完善。

1．数学美的简洁性在微积分符号中的展现

微积分的简洁美，最直观的在于借助数学符号，摆脱思想束缚、增强思维敏捷度，将非常复杂抽象的含义表达出来，促进数学的发展。比如，积分计算中的积分号“∫”就是从英语单词总Sum中字母“S”演变得来的，这个符号既简洁明快，又形象直观。再比如，一个曲边梯形的面积，只需使用定积分表达式即可，如果沿用极限来表示，那么就显得相当复杂和笨拙。

2．数学美的对称性在微积分解题中的应用

数学中，有关数与形的对称现象极为常见，这种对称有的是形象的，有的则是抽象的观念和方法上的对称。微积分中的若干实例证实，如果在解题的过程中注意到对称性，并且恰当地利用对称性，则可以减少一些繁琐的计算，化难为易，提高解题效率，达到事半功倍的效果。比如，

（1）分部积分公式∫u（x）dv（x）＝u（x）v（x）－∫v（x）u（x）

（2）对于积分

若f（x）是偶函数，则

若f（x）是奇函数，则

对称的形和式从形式上看十分优美，数学解题方法中常用到对称的思想，许多问题初看起来似乎不易解决，难以下手，一旦恰当地利用了某种对称性，就会易如反掌。

3．数学美的和谐性在微积分公式中的体现

数学中的和谐美贯穿于微积分庞大的知识网络。首先微分的局部性质与积分的整体性质，在微积分基本定理中得到统一。积分运算是微分的逆运算，所以从基本导数公式，可以直接得出基本积分公式。其次微分与积分问题一般成对出现，积分与微分公式从量的方面进行对比，它们显示出对称性、有序性和统一性；微分中值定理与积分中值定理等，更显示出微积分所具有的和谐美。微分中值定理，其本质是闭区间上函数的增量与该区间上某点的导数之间的关系，它是微分理论中的重要组成部分，也是导数应用的桥梁。其中罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况，柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推广，而泰勒定理又是拉格朗日中值定理向高阶导数情况下的推广和应用，它是更一般的微分中值定理形式。它们之间的关系充分表达了微积分定理之间的和谐与统一。这些和谐的公式给我们清新的感觉，这种感觉是比自然美更高层次的数学美，而只有掌握数学内在联系的人，才能体验到这种数学美，这种美的数学也能激起学生学好数学的美好愿望。

（三）微积分的应用价值有利于学生掌握现代工程技术

微积分是打开物理、理学、电学、电讯等科学大门的钥匙，是跨进函数论、微分方程、概率论和数理统计等重要数学分支的必备阶梯。它是现代数学的基础，是一切工程技术学科不可缺少的数学根据，并在一些新的科研领域中得到应用，例如，刚体运动、流体和气体运动、热和电的过程、化学反应的过程等，都由广泛使用着的微积分工具来加以研究。通过微积分的学习，能使学生初步获得现代工程技术所需要的数学基础知识，具备当代社会公民应有的数学素质，为学习其他学科、专业知识和进一步掌握现代科学成就，或参加社会生产劳动打下一定的基础。

综上所述，我们不难看出，学生在学习微积分的过程中，深刻领会数学思想方法，积淀数学文化的内涵，充分体会微积分的价值，感受其美学魅力，微积分的抽象难懂就不会再成为他们学习高等数学的绊脚石，而微积分中蕴涵的人文价值，也将成为他们学习高等数学的动力和目标。

纵观数学课程的发展，可以看出我国数学课程具有重视基础知识教学、重视基本技能训练、重视能力培养，使得我们的学生数学基本功扎实，学生的整体水平较好等优点。但是，随着人类步入新世纪，影响数学课程的社会文化条件发生了重大变化。现代社会中运用数学的范围迅速扩大，运用数学的方法千变万化，越来越多的数学观念、思想、方法成为一般公民适应社会生活必须具有的素养。面对新的情况，我国目前的数学课程仍存在着诸多弊端急待解决。因此，数学教学中让学生了解数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神，数学在人类文明发展中的作用等等，对他们形成正确的数学观、提高数学文化素质将会产生积极的作用。