物理学和认知学

那些相信数学是独立于人类思维的、宇宙之中的某种特殊存在的人，在他们区分宇宙的性质时会不可避免地分别归入两个不同的阵营^［257］。第一个阵营是“真正”的柏拉图主义者，对他们而言，数学存在于一个抽象的永恒的世界里。由此，他们认为数学结构事实上是自然界的一个真实组成部分。因为我已经从多个角度讨论过纯柏拉图主义的主要观点，以及他们理论中的哲学缺陷，这里我只是粗线条地分析一下其不足之处^［258］。

对于“数学是物理世界的一部分”这种观点，分析最透彻、最激进的是麻省理工学院的一位天体物理学家麦克斯·泰格马克（Max Tegmark）。

泰格马克认为“我们所处的宇宙不仅仅是用数学描述的，它本身就是数学。”^［259］泰格马克的论证是从一个无可辩驳的假设为起点开始的，他假设外部的物理现实是独立于人类存在的，接着，他仔细分析了那些也许是这种现实的终极理论的性质（也就是物理学家所指的“所有事实的理论”）。因为物理世界完全与人类无关，泰格马克主张，对它的描述一定是不带任何人类主观色彩的（特别是人类所使用的语言）。换句话说，终极理论不能包含诸如“亚原子微粒”、“振荡波”、“时空扭曲”等概念，或者其他人类构想出的结构。由此，泰格马克总结道，从这种假设出发，对宇宙唯一可能的描述，只能涉及抽象的概念，以及这些概念之间的关系，而这些内容他认为是数学定义。

毫无疑问，泰格马克对数学现实的论证还是有几分道理的，但是，即使他的观点是完全正确的，距离解决数学“无理由的有效性”这个问题，还有很长的路要走。在一个被认为等同于数学的宇宙中，数学与自然界完全符合，这并不会让人感到惊讶。然而，我发现泰格马克的推理过程并不是无懈可击、使人信服的。泰格马克本人总结说：“我认为，我们周围的物理现实是一种数学结构，我把这种假说称为数学宇宙，对此你应当深信不疑。”在我看来，从外部世界的存在（它们独立于人类存在）到泰格马克的这个结论，这之间的跨越只不过是一种小把戏而已。泰格马克试图描述数学真正的特性，他说：“在一位现代逻辑学家看来，数学就是抽象实体以及它们之间关系的集合。”但是，泰格马克所指的现代逻辑学家是人类！换句话说，泰格马克从来没有真正证明我们的数学不是由人类创造的，他仅仅只是这样猜想而已。而且，正如法国神经生物学家让·皮埃尔·尚热（Jean—Pierre Changeux）在对类似的观点表达他本人的看法时曾经指出的^［260］：“针对我所研究的生物学中的自然现象，如果说物理现实属于数学客体，这将会给我带来令人不安的认识论问题。我们大脑内部的物理状态如何代表在它之外的其他物理状态呢？”

其余大多数人在把数学客体置于外部物理现实时，只是把数学在解释自然时的有效性，作为其理论的一条证据。然而，这实际上就是假设了，对于数学的有效性不可能有其他解释，这种观点我在后面会证明它并不正确。

假如数学既不存在于不受时间与空间限制的柏拉图主义论的世界里，也不存在于物理世界中，那么这是不是就意味着数学完全是由人类创造的？绝对不是这样。我将在下面指出，大多数数学研究成果实际上都是由发现组成的。在进一步讨论之前，首先看看同时代的认知学家对于这个问题的认识是十分有帮助的，原因很简单——即使整个数学都是由人类发现的，这些发现还是来自于数学家的大脑。

近年来，认知科学已经取得了巨大的进步，很自然地，我们期望神经生物学家和心理学家把他们的注意力转向数学，特别是人类认知中的数学基础。如果仅仅只对认知科学的研究成果进行浮光掠影的了解，你的一个初步印象就会是：你观察的是马克·吐温所表达过的某种观点，只不过这些观点具体化了。马克·吐温曾经幽默地说：“在一个手拿锤子的人的眼中，任何东西看上去都像一个钉子。”虽然重点略有不同，但从本质上讲，所有的神经生物学家和生物学家都断定数学是人类的创造。在仔细检查分析之后，你会发现，尽管对认识数据的解释还远远称不上清晰明了，但是毫无疑问在寻找数学基础时，认知学家的努力代表了一种开创性的全新阶段。这里有一个认知学家提出的例子，它虽然不起眼，但却很有代表性。

法国神经系统科学家斯坦尼斯拉斯·德汉尼（Stanislas Dehaene）的研究主要集中在数学认知上，在他1997年出版的那本《数字感觉》（The Number Sense）^［261］中，他总结道：“对数字的直觉深深地根植于我们的脑海之中。”这一观点其实与直觉论者的思想十分相近，直觉论者想让所有的数学知识都建立在自然数的纯粹的直觉形式之上。德汉尼坚持认为，有关算术的心理学发现证实了“数字属于‘思维的自然客体’，就我们所能理解的那个世界而言，它属于这个世界固有的属性。”在研究了蒙杜鲁齐人（Mundurukú，这是居住在亚马逊河流域附近的一个与世隔绝的印第安人部落，其语言对数字的概念只有1到4这4个数字）的行为方式之后，德汉尼和他的合作者在 2006年为几何学又新增了一个类似的判断：“这个遥远偏僻的部落反映出了，人类对几何概念或图形认识理解是无意识的、自发的，与基本数字的理解类似，几何的核心知识（如初等算术）是人类思维通用的构成要素。”^［262］当然，并非所有的认知学家都赞同德汉尼的后一个结论^［263］。例如，有些人就指出，蒙杜鲁齐人在最近的几何研究试验中能成功地从多根直线中辨认出曲线，从多个正方形中正确地指出混杂在其中的三角形，从多个圆形中指认出其中的椭圆，等等，除和先天的几何学知识有关外，也和人们从一堆物体中挑出与众不同的物体的能力有更大关系。

法国神经生物学家让·皮埃尔·尚热在《思维、物质和数学上的守恒》（Conservations on Mind，Matter and Mathematics）一书中与数学家阿莱恩·康奈斯（Alain Connes，他是一位柏拉图主义的信徒）就数学本质有一段十分有趣但却发人深省的评论^［264］：

数学客体与人类感知到的世界无关，原因在于它们的繁殖特性，以及它们产生其他客体的能力。需要强调的一点是，在大脑中存在某种也许可以称为“自觉的分隔”的形态，这是一种物理空间，用来对新的客体进行模仿甚至创造……就某些方面来讲，那些新的数学客体像是生物体，就像生物体一样，它们这些物理客体容易受到快速进化的影响；与生物不同的是（除了病毒以外），它们的进化在我们的大脑中进行。

最终，就数学是发明还是发现这个问题，最明确的观点是由认知语言学家乔治·莱考夫（George Lakoff）和心理学家拉斐尔·努涅斯（Rafael Núñez）在他们合著的那本颇富争议的书《数学从哪里来》（Where Mathematics Comes From）中提出的，正如我在第1章中已经介绍过了的，他们声称^［265］：

数学是人类自身的一部分。它来自于我们的肢体、我们的大脑，以及我们每天的生活经验。（莱考夫和努涅斯因此称数学是“思维物化”时的副产品。）……数学是系统化的人类概念，这种概念体系充分利用了人类认知的一般工具。人类创造了数学，还有保持和拓展它的责任。在数学的画像上，一定会有人类的面孔出现。

认知科学家通过观察大量的实验结果（他们把这些结果视为无可辩驳的证据）得出结论。这些测试中有一部分涉及在执行数学任务过程中对大脑的功能性成像的研究。还有一些研究人员研究婴幼儿的数学技能，以及一些现存的原始部落中的数学表达能力，这些研究的样本基本上从来没有接受过教育，并且大多数人还有各种各样轻重不一的脑部损伤（比如蒙杜鲁齐人）。绝大多数研究者都认为婴幼儿已经表现出一定的数学能力了。例如，大部分人只用看一眼就能说出他们看到的物体数量是一个、两个、还是三个［有一个专业的术语描述这种现象，数量顿识（subitizing）］。在以分组、配对为表现形式的一些基本算术概念里，以及在一些十分简单的加法和减法中，人类也许的确表现出某种天生的能力，并且对一些非常基础的几何概念的简单理解方面，人类似乎也同样表现出这种先天的才能（尽管对于后者有一些争议）。神经系统科学家^［266］还区分了大脑不同区域的功能，例如，目前普遍认为人类大脑左半球的角回似乎是进行数学计算和数字运算的关键，但它不是学习和运用语言或记忆的核心区域。

根据莱考夫和努涅斯的观点，能够超越人类那些天生的能力，使我们对数学的认知能够更进一步的最主要的工具是概念隐喻（conceptual metaphors），它是指把抽象概念转换为具体内容的思维过程。例如，算术的概念是建立在物体集合这种非常基本的代表物基础之上的。另一方面，通过布尔提出的那种更加抽象的关于类的代数，隐含般地把类和数字联系在了一起。莱考夫和努涅斯对这一复杂的场景进行了深入研究，例如，他们重点研究了为什么人类感觉到有些数学概念要比另外一些更加难以理解。还有一些研究人员，如谢菲尔德大学的认知神经系统学家罗斯·玛丽·华莱（Rose Mary Varley），提出至少有一部分数学结构是以语言技能为基础的，也就是说，人类对数学的深刻理解，在借用了构建语言时所使用的思维工具后，得到了进一步发展^［267］。

认知科学坚定地认为数学是与人类思维相联系的，他们坚决反对柏拉图主义论中的（数学世界）。有趣的是，我注意到最坚定地反对柏拉图主义的人并不是神经系统学领域的研究人员，而是麦克·阿蒂亚爵士——20世纪最著名的数学家之一。虽然我已经在第1章中简要介绍了他的分析过程，但在这里我还是想再在细节上研究一下。

如果现在就让你从我们所有的数学概念中，选择一个最有可能是独立于人类思维存在的数学概念，你会选择哪一个？绝大多数人都会毫不犹豫地断定是自然数。的确，还有什么能比 1，2，3…更“自然”的概念吗？德国数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecher，1823—1891）是一位直觉论者，他公开宣称“上帝创造了自然数，其他所有的事都是人类的工作。”他的这句话广为流传。所以，如果有人能证明，作为数学概念的自然数也是源自于人类思维的话，那么这一定对赞成数学是人类“发明创造”观点最强有力的支撑证据了。在了解了上面的这些内容后，我们重新回到阿蒂亚，他曾经举了一个例证：“让我们想象一下，如果在太平洋深处，独居并与世隔绝的水母中出现了文明，水母不会有单独个体的体验，只能感觉到周围的水。运动、温度和压力将给它提供基本感知经验。在这样的环境中不会出现离散的概念，也不会有什么计数。”^［268］换句话说，阿蒂亚相信即使是自然数这样最基本的概念，也是由人类通过对物理世界基本元素的抽象（认知科学家可能会说是“通过基础隐喻”）而创造的。不同之处在于，例如数字12代表所有那些数量为一打的物体通用属性，同样，“思维”这个词则代表发生在我们大脑中的各种过程。

读者也许反对使用那个水母为代表的“假设宇宙”来证明这一观点，你也许会说，在我们周围只有一个无法回避的宇宙，所有猜想都应当以这个宇宙为背景。不管怎样，这种反驳类似于承认自然数这一概念事实上依赖于人类体验的宇宙！注意，这就是莱考夫和努涅斯提出的数学作为思维“物化”时所表达的意思。

我已经指出，数学概念源自于人类思维。读到这里，你可能会产生疑问，为什么在先前我支持大多数数学知识事实上是被发现的这一观点，而这一立场本质上似乎又与柏拉图主义十分接近，这不是自相矛盾吗？