非欧几里得几何和物理学

在思考非欧几里得几何同物理学的关系时，必然会涉及几何学同物理学之间的一般关系问题。我首先要注意后一个问题，同时尽可能设法不涉及有争论的哲学问题。

在古代，几何学无疑是半经验的科学，它有点像原始的物理学。一个大小可以忽略不计的物体，就作为一个点。一条直线，要么用视线方向上的一些点来定义，要么用拉紧的线来定义。

在这里，我们碰到的各种概念，就像通常所有的概念一样，都不是直接由经验得到的，或者换句话说，不是用逻辑方法由经验导出的，可是，终究同我们所感觉到的对象直接有关。在知识的这种状态下，关于点、直线、截段相等，以及角相等的命题，同时也就是同自然界对象有关的已知感觉的命题。

只要人们理解到，这种几何的大部分命题都能用纯粹逻辑方法从少数被称为公理的命题推导出来时，它就变成了数学科学。数学是这样一门科学，它只研究按一定规则建立起来的给定对象之间的逻辑关系。

在科学的兴趣范围内，关系的推导就占有主要地位。因为不依赖于那些不可靠的、带有偶然性的外部经验，而独立地去建立逻辑体系，对于人的精神来说，总是具有令人神往的诱惑力。

在几何体系中，只有基本概念（点、直线、截段等等）和所谓公理才是几何的经验起源的证据。人们总力求把这些逻辑上不能再简化的基本概念和公理的数目减少到最低限度。那种从模糊的经验领域里求得全部几何的意图，不知不觉地造成了错误的结论，这可以比作把古代英雄变成神。久而久之，人们就习惯于把基本概念和公理看成是“自明的”，亦即看成是人类精神所固有的观念的对象和性质；按照这种观点，几何的基本概念同直觉的对象是相符合的，而不论以哪种方式来否定这条或那条公理，都不可能没有矛盾。可是，这些基本概念和公理应用于实在客体的可能性本身却成了问题，正是从这个问题中产生了康德的空间概念。

物理学为几何学拒绝其经验基础提供了第二个理由。按照物理学家对固体和光的性质所已形成的更为精确的观点，自然界里并没有其属性同欧几里得几何的基本概念完全符合的客体。固体不能被认为是绝对不变的，而光线实际上既不能准确地体现为直线，甚至一般地也不能体现为任何一维的形式。严格地说来，根据现代科学的见解，几何学如果单独拿出来，它总是同任何经验都不符合的；它应当和力学、光学等等一起来说明经验。而且，既然没有几何学的帮助，物理学的定律就无法表示，那么几何学就应当走在物理学的前面，因而几何学也应当被看作是这样的一门科学，它在逻辑上先于一切经验和一切经验科学。

十九世纪初，不仅对于数学家和哲学家，而且对于物理学家来说，欧几里得几何的基础也似乎是绝对不可动摇的，其原因就在这里。

对此还可以补充说，在整个十九世纪期间，如果一个物理学家并不特别关心认识论，那么几何学同物理学的相互关系问题还更要简单，更要概括，更要绝对。

物理学家不自觉地坚持的这种观点，符合于这样两条原则：欧几里得几何的概念和基本原理都是自明的；标有某些记号的固体体现着线段的几何概念，光线则体现着直线。

为了根本上改变这种状况，必须进行巨大的工作，这项工作差不多延续了一个世纪。值得注意的是，远在欧几里得几何的框架对于物理学显得过于狭窄之前，这项工作就已从纯粹的数学研究方面开始了。用数目最少的公理来奠定几何学的基础，曾经是数学的课题。在欧几里得的公理中，有一条公理，在数学家看来，就不像别的公理那样是直接自明的；在很长的时间内，数学家总想把它归并到别的公理中去，亦即想用别的公理来证明它。这条公理就是所谓平行公理。由于为它提供证明的一切努力都没有获得任何结果，渐渐地便作出了这样的假设，认为这种证明是不可能的，也就是说，这条公理不能归并到别的公理中去。如果能建立一种在逻辑上没有矛盾的科学体系，它同欧几里得几何的区别在于，而且仅仅在于，用另一条公理来代替平行公理，那么，就可以认为这个假设是被证明了。洛巴切夫斯基（Лoбaчeвcкий）和玻约（Bolyai）父子分别从不同的侧面独立地得出了这种思想，并且令人信服地实现了它；他们的极为宝贵的功绩就在于此。

此后，数学家们不能不产生这样一种信念，即相信同欧几里得几何并存着的，还有别种同它在逻辑上完全平等的几何。当然也就发生了这样的问题：难道只有欧几里得几何才算是物理学的基础，任何别种几何都不行吗？这问题还以更加明确的形式提了出来：物理世界的几何究竟是怎样的？它究竟是欧几里得的还是任何别种的？

许多人都争论过这个问题有没有意义。为了说明这种争论，必须在下面两种观点中彻底坚持一种。第一种观点，同意几何“体”实际上体现着物理的固体，当然，这只要固体是遵守那些关于温度、机械应力等等已知的规则就行了。这是从事实际工作的实验物理学家的观点。如果几何的“截段”同自然界的一定客体相对应，那么几何的一切命题也都具有说明现实物体的性质。这种观点亥姆霍兹说得最明白，可以补充一句：要是没有这种观点，实际上就不可能通向相对论。

可是，从第二种观点来看，如果在原则上否认那些同几何的基本概念相对应的客体存在，那么，几何学本身就不能说明实在客体的任何状况。只有几何学同物理学一起才能说明这些状况。这种观点可能更适合于已有的物理学的系统叙述，它已被庞加勒特别清楚地说过了。按照这种观点，一切几何学的内容都是约定的；要解决究竟哪种几何比较好的问题，就要看在这种假设中，同经验显得最一致的物理学能“简单”到什么程度。

我们认为第一种观点最符合我们的知识的现状。按照这种观点，关于欧几里得几何适用或不适用的问题，具有明确的含义。欧几里得几何像一般几何一样，它有着数学科学的特点，因为由公理推导出定理，首先是纯粹逻辑的问题，但同时它又是物理科学，因为它的公理本身就包含着关于自然界客体的论断，这些论断的正确性只有通过实验才可以证明。

但是我们应该时时记住，有这样一种虚构的理想，以为自然界中实际上存在着不变的标尺；后来知道，这种想法要不是完全不适用，就是它只对某些特定的自然现象才有效。广义相对论已经证明，这种想法对于一切从天文学看来不是很小的区域都是不适用的；也许量子论将会证明这种想法对于原子大小数量级的范围也是不适用的。黎曼曾认为这两者都是可能的。

在几何学同物理学相互关系的思想发展上，黎曼的功绩是两重的。第一，他发现了一种同洛巴切夫斯基双曲面几何相对立的椭面几何；从而他第一个指出了有限广延的几何空间的可能性。这个思想立即被理解了，并且产生了物理空间是不是有限的问题。第二，黎曼大胆地创立了欧几里得几何或狭义非欧几何都无法相比的更为普遍的几何。这就是他所创立的“黎曼”几何。这种几何（也像狭义非欧几何那样），只在无限小的区域里才同欧几里得几何相一致。这种几何是把高斯的曲面理论运用到任意多维的连续区上的结果。根据这种更一般的几何学，空间的度规的性质以及在非无限小区域里安排无限个无穷小的不变体的各种可能性，都不是完全由几何公理来决定的。黎曼并没有因这个结论而困恼，也没有断言自己的体系在物理上是无意义的，他反而得出这样大胆的思想，认为物体的几何关系可能是由各种物理原因，即由各种力决定的。

由此，他用纯粹数学推理的方法，得出了关于几何学同物理学不可分割的思想；七十年后，这个思想实际上体现在那个把几何学同引力论融合成为一个整体的广义相对论中。

黎曼几何后来由于引进勒维-契维塔的无限小平行移动的概念而获得更加简单的形式，魏耳和爱丁顿又进一步推广了黎曼理论，希望在扩大了的概念体系中找到电动力学定律的根据。不论这些企图会得到什么样的结果，即使在现在，就已经有大量的根据可以说：从非欧几何发展起来的思想是极其富有成果的。

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