芬斯勒几何的非线性特征

那么究竟什么是芬斯勒几何呢？按已故几何大师陈省身先生的说法：“芬斯勒几何就是没有二次形限制的黎曼几何。”

几何学最初的结构称为 “欧几里得几何”。它起源于古埃及，由于尼罗河年年泛滥，而每当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要进行丈量。因此他们用geometry一词，其原意就是 “丈量土地”，并从此开始了对图形的研究。欧几里得的 《几何原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理出来，而成为一个逻辑体系由于这个 《原本》中包含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成 《几何原本》。几何学是数学科学中关于图形的数学分支。数学发展的早期，几何学曾将几何学视为是数学的全部，古代数学家把萌芽中的代数学也包括在几何学中。“数”与 “形”的结合，是17世纪开始的，由于代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、分析学等独立的数学分支，数学家笛卡尔首先建立了解析几何学，他利用直角坐标系，将图形问题转化为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何问题。在我国古代也有勾股弦定理：即勾三股四弦五。后来相对于解析几何学来说，不用坐标而直接研究图形的几何学，称之为纯粹几何学。纯粹几何学的进一步发展，就是射影几何学。

19世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否定了欧几里得几何中的平行线公理。n维向量空间建立后，几何体系就综合成了n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何。把几何学用 “群”的观点统一起来加以论述，也就是埃尔兰根纲领 （德国数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为由一个点集组成的“空间”S，以及 “由S到S的变换群G”所确定的，研究S的子集 （图形）性质中对于G来说不变的性质，这就是几何学。在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学的发展日新月异，微分几何学及其发展黎曼几何学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世瞩目。

非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义泛指一切和欧几里得几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。

欧几里得的 《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在 《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在 《几何原本》中可以不依第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达2000多年的关于“平行线理论”的讨论。

由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走得对不对？第五公设到底能不能证明？到了19世纪20年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题，用它来代替第五公设，然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明；第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧氏几何一样是完善的、严密的几何学。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。那个时代被誉为 “数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。