数字和人类

在数学家们转而研究数学的基础这一主题之前，一个相对而言“不太重要”的课题迅速引起了他们的关注。首先，那些已经被系统阐述了的非欧几何，虽然已经公开发表，但这并不意味着它们是数学的“合法后裔”。长期以来，在数学界一直存在着对不一致的恐惧——将这些非欧几何引入最终的逻辑结果可能会产生无法解释的矛盾。在19世纪70年代，意大利人尤金·贝尔特拉米（Eugenio Beltrami，1835—1900）和德国人费利克斯·克莱因（Felix Klein，1849—1925）证明了只要欧几里得几何是一致的，那么非欧几何与其一样也是相容的。然而，这一证明却为欧几里得几何基础的稳固性带来了更多问题。接下来，还有一个与此紧密相关但更为重要的问题。大多数数学家把这些新的几何学当做一件新奇的好玩事物。一直以来欧几里得几何学被视为对真理空间的描述，这也奠定了欧几里得几何学的历史声望，而在刚开始时非欧几何被认为与物理现实并没有任何联系。因此，非欧几何被许多数学家当做是欧几里得几何的“穷亲戚”。然而，在这些人之中，亨瑞·庞加莱却比其他任何人都更加重视非欧几何。但是，即使是庞加莱本人也坚持认为就算人类真的被带入了一个由非欧几何主导的世界，有一点仍然“确定无疑，我们不会发现作出这样的改变会更容易”，即从欧几里得几何变为非欧几何。因此，有两个问题突显出来：（1）几何学（个体）和数学（整体）的其他分支能建立在稳固的、不证自明的逻辑基础之上吗？（2）数学和物理世界之间的关系（如果这种关系的确存在的话）究竟是什么？

历史上，有一些数学家在确认几何的基础时采用了一种实用主义的方法。由于意识到过去他们视为绝对真理的东西，却被最终证明是基于经验的、而非精确的，他们感到很失望，于是转向了算术，也就是对数字的研究。笛卡儿的解析几何中，图形可以由一个特定的公式来表达，平面上的点可以用一对有序的数字唯一标识，等等，具体内容请参阅第4章。这种几何以数字为基础，为重新建立几何基础提供了必要的工具。德国数学家雅各布·雅各比（Jacob Jacobi，1804—1851）用他自己的座右铭“上帝总是在研究算术”代替了柏拉图的名言“上帝总是在研究几何”，这虽然只是文字上的小小改变，但是却真实表达了当时的社会风潮。不过，在某种程度上，这仅仅只是把问题转到了数学的另外一个不同的分支中。事实上，著名的德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）已经成功地证明了欧几里得几何的一致性与算术的一致性是同样长久的，不过在这个问题上，算术距离建立起一种毫不含糊、并且一目了然的一致性还有很遥远的路要走。

在数学和物理世界的关系上，一种新的感情还没有真正确立起来。几个世纪以来，把数学理解为解读宇宙奥秘的工具的观点已经深入人心，并且不断被强化。伽利略、笛卡儿、牛顿、伯努利家族、帕斯卡、拉格朗日和奎特莱特以及其他数学家们都证实了，自然界是在数学基础上设计的，而科学的数学化被看做是这一观点强有力的证据。甚至人们直接问：如果数学不是宇宙的语言，那么为什么它在解释自然的基础规律和人类社会特征方面都同样有效？

可以确信的是，数学家们的确意识到数学仅仅处理的是柏拉图形式的抽象问题，但是它们被视为物理元素的理想化形式。事实上在他们看来，自然这本大书是用数学这门语言所书写，这种感受已经深深地根植于他们的观念之中，以至于许多数学家根本就拒绝思考数学概念和结构不能直接与物理世界相关联的可能性。我们以杰罗拉莫·卡尔达诺（Gerolamo Cardano，1507—1576）为例。卡尔达诺是一位十分有趣的人，他在数学领域和物理学领域都建树颇多，但同时也好赌成性。1545年他出版了一本十分有名的书《大衍术》（The Great Art），这本书是代数学史上最有影响力的学术著作之一。在这本综合性的专著中，卡尔达诺深入分析了代数方程解法的大量细节性问题，包括二次方程式（未知量以平方幂x²的形式出现）、三次方程式（x³）和四次方程式（x⁴）的解法，其中有很多研究是开创性的。然而在经典数学中，参量通常被理解为几何元素。举例来说，未知变量一次幂 x的值等同于直线上的一段长度，二次幂x²通常被理解为面积，而三次幂x³被认为是相应实体的体积。所以在《大衍术》中的第一章，卡尔达诺解释到^［185］：

我们以立方体，以及其他顺带提到的形状结束我们的这些细节性思考。因为一次幂（Positio）涉及直线，平方（Quadratum）涉及平面，立方（Cubum）涉及立体，对我们而言，让幂次超过它们的行为都是极端愚蠢的，因为自然界不允许这样。因此，我们将会看到，这些（方程式）最多到立方就能完全说明问题了。如果再增加其他的，不管是出于必要，或仅仅是因为好奇，我们都不可能走出去。

换句话说，卡尔达诺认为我们能认识到的物理世界只包含三个维度，因此对数学家而言，关心更多维度，或考虑更高阶数的方程式都是愚蠢的行为。

英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis，1616—1703）在他的著作《算术的无限》（Arithmetica Infinitorum）中也表达过同样的观点（牛顿曾经从这本书中学习过解析的方法）^［186］。在另外一本重要的著作《代数论文集》（Treatise of Algebra）中，他公开宣称：“确切地说，自然界不承认三维以上的概念。”在历史上这是第一次有人这么明确地提出这一观点。接着，他又详细解释了他的观点：

两条线相交，会形成一个平面；平面与直线相交，将会形成一个立体。但是，如果立体与一条直线相交，或者平面与平面相交，会形成什么呢？超平面（plano-plane）？这将是一个自然的怪物，并且比客迈拉[19]和赛萄[20]更不可能存在。因为长度、宽度和高度已经构成了整个空间。我们想象不出任何超越三维的第四维空间是什么样子。

在这里沃利斯的逻辑是十分清晰的：即使是想象一门并非描述真实空间的几何学，也是没用的。

这些观点最终还是逐渐被改变了^［187］。18世纪的数学家第一次开始思考以时间作为三维空间之外的潜在的第四维。在1754年发表的一篇名为《维度》的文章^［188］中，物理学家简·达朗贝尔（Jean D’Alembert，1717—1783）写道：

我在上面已经声明过不可能有比三维更多的维度。我有一位朋友，他就认为可以把时间当做空间的第四维，从某种程度上讲，这就使时间的“立体”成为了四维的产物。这种思想是富有争议的，但是对我而言，它并不仅仅只是一种吸引人们眼球的新奇看法，还是很有价值的。

著名的数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日则走得更远，在1797年他以更加自信的语气说道^［189］：

由于一个点在空间中的位置取决于三个立体的坐标，这些坐标在力学问题中被认为是t（时间）的函数，因此，我们可以把力学视为四维的几何学，并且还可以把力学分析视为几何分析的拓展。

这些大胆的思想为数学的拓展开辟了新的天地——任意维度的几何学，这在过去是不可想象的，事实上这些几何学完全不考虑它们是否与物理空间有联系。

康德相信我们对空间的认知完全遵循欧几里得几何给出的范型，他也许真的错了。但是我们在大多数情况下感知到的都是不超过三维的空间，这一点是毫无疑问的。相比较而言，我们可以轻易地想象出我们身处的这个三维世界，在柏拉图所谓的两维的宇宙世界里是什么样的，然而，如果从三维世界出发，向多维世界迈进，则的确需要数学家一样丰富的想象力。

在研究 n维几何（在任意维度空间中的几何）时，最重要的、突破性的工作是由赫尔曼·巩特尔·格拉斯曼完成的（Hermann Günther Grasmann，1809—1877）。格拉斯曼^［190］有兄弟姐姐11人，而他本人则是11个孩子的父亲，也是一位学校老师，他从未接受过任何正规的大学数学教育。在格拉斯曼的一生中，他在语言学方面得到的褒奖（特别是他在梵语和哥特语方面的研究）要比他在数学上获得的成就多得多。一位传记作者曾经写道：“似乎格拉斯曼命中注定要不时地被人们重新认识，而且每次重新认识他的时候，他都好像自去世以后，已被人们完全忘记。”格拉斯曼创立了一门关于“空间”的抽象学问，在他的这门空间的学科中，经典的欧几里得几何学不过空间的一个例子。格拉斯曼在1844年出版了一本书，名为《线性延伸理论：数学的一个新分支》，通常又被人们称为《延伸理论》（Ausdehnungslehre）。在这本书中他介绍了他那独具开创性的思考，其中最主要的思想构成了我们今天所熟知的数学的一个重要分支——线性代数。

在这本书的前言中，格拉斯曼写道：“几何决不能被看做……数学的分支；事实上，几何与自然界的某些特性（也就是所谓的空间）联系在了一起。我已经意识到一定有一门数学的分支，它以一种纯粹的抽象方式带来与那些几何类似的规则。”

这是一种看待数学本质的全新的认识。对格拉斯曼而言，传统的几何（它们是古希腊思想的遗产）处理的是物理空间，因此不能被当做抽象的数学的真正分支。在格拉斯曼看来，数学在某种程度上是人类思维的抽象观念，并且不必在真空世界中有任何实际的应用。

跟随格拉斯曼那表面上显得有点琐碎的思维，迈向他所构建的几何代数理论是一段十分有趣的历程^［191］。他以一个非常简单的公式AB＋BC＝AC（如图6-8a所示）作为研究的起点，任何一本几何书在讨论线段的长度时都会引用这个公式。但是，格拉斯曼注意到了其他一些有意思的现象。他发现，如果不考虑点A、B、C的顺序，只要不把AB、BC这样的因子仅仅理解为长度，并且赋予它们“方向”（例如 BA＝－AB），公式依然是正确的。举例来说，如果C位于A和B之间（如图6-8b所示），那么，AB＝AC＋CB，但是，由于 CB＝－BC，我们可以发现，AB＝AC－BC，此时，只要在这个公式两端简单地增加 BC，就又能得到最初的公式AB＋BC＝AC了。

图6-8

这是一个十分有价值的发现，但是格拉斯曼对它的延伸和拓展要更加让人吃惊。请注意，如果我们处理的是代数，而不是几何的话，那么诸如AB之类的表达通常表示A×B（A与B的乘积）。在这种情况下，格拉斯曼提出的 AB＝－BA就违背了一条神圣不可侵犯的数学法则：两个数量的乘积与这两个数量在相乘时的次序是无关的。格拉斯曼直接面对了这种令人不安的的可能性，并且最终发明了一种全新的、一致的代数，也就是今天我们称之为外积代数的数学分支，这门代数允许多个因数相乘，与此同时，也就能相应地处理任何维度中的几何问题。

到19世纪60年代，n维几何^［192］犹如雨后春笋般迅速地发展起来了。这一时期，不但黎曼在他一系列极具启发意义的演讲中，逐步建立起了任意曲面及任何维度的空间的概念（这是n维几何研究的基础），而且，当时的许多数学家，例如英国的阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）、詹姆斯·西尔威斯特（JamesSylvester）和瑞士的路德维格·施拉夫利（LudwigSchläfli）都为n维几何的发展作出了重要贡献，他们的研究为n维几何增加了新的内容。从此之后，数学家们开始感到他们从严格的限制中解放了出来，而这种限制就是几个世纪以来数学一直被严格限定在空间和数字的概念上，这种限定的历史惯性是十分强大的，甚至直到18世纪，伟大的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）在一次表达他对数学的看法时说：“数学，在通常情况下是一门研究数量的科学，或者是研究测量方法的科学。”只有在进入19世纪以后，变革的春风才逐渐吹起。

首先，抽象的空间概念的引入和无限的观念（包括几何和集合理论中）模糊了“数量”和“测量”的意义，某种程度上也超越了人类的一般认知。其次，迅速积累的对数学的抽象研究使数学与物理现实的距离也越来越远，而日常生活和“现实存在”却进入了抽象领域。

乔治·康托（Georg Cantor，1845—1918），他是集合理论的创建者，用以下的“独立宣言”描写了这种全新发现的数学的自由精神：“数学在总体上是自由发展的，而唯一限制它的则是不证不明。也就是说，它的概念必须是彼此一致，同时还必须根据定义排序，与那些先前已经被引入的，并且已经证实了的概念有正确的关系。”^［193］对于这种观点，代数学家理查德·戴得金（Richard Dedekind，1831—1916）在时隔6年后补充道：“我认为数学的概念完全独立于我们对空间和时间的观念或直觉……它们是人类思想的创造产物。”^［194］换句话说，康托和戴得金都把数学视为一种抽象的、概念性的研究，这种研究只受到一致性要求的限制，它对计算或物理世界的语言不承担任何义务。正如康托总结的：“数学的本质完全在于它的自由。”

到19世纪末，绝大多数数学家都接受了康托和戴得金关于数学自由特性的观点。数学的目标也从研究自然的真理转变为建立抽象结构——构建公理体系和探寻那些公理在逻辑上所有可能的结论。

人们曾经一度乐观地认为这些观点和理论的新发展，将会使那个烦人的问题——数学究竟是人类的发现还是人类的发明——最终走向终结。如果数学只不过是一场非常复杂的游戏，有任意的规则，那么很明显，相信数学概念的真实性是毫无意义的，不是吗？

令人吃惊的是，物理现实的新突破使数学家获得了某些恰好相反的感受。与数学是人类的发明这种看法相比，他们又重新回到了柏拉图提出的数学是独立的真理世界这一思想中。这个独立的真理世界的存在和物理世界的存在一样真实。试图在数学和物理之间建立联系的努力被划分为应用数学范畴，这与被认为根本不关心任何物理现实的理论数学形成了鲜明对比。法国数学家查尔斯·埃尔米特（Charles Hermite，1822—1901）于1894年3月13日给荷兰数学家托马斯·乔安纳斯·司蒂吉斯（Thomas Joannes Stieltjes，1856—1894）写了一封信，他表达了对这一问题的看法^［195］，他写道：

我非常欣慰地看到你已经转变为一位自然学家来观察算术世界的现象。你所信奉的信条和我的完全一致。我相信数学解析中的数字和函数绝非人类思维的产物；我认为它们独立存在于我们的思维之外，与客观现实有相同的、必要的特征，我们面对它们、发现它们并且研究它们，正如物理学家、化学家和生物学家在本学科领域内的研究一样，并无什么本质区别。

英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代是一位典型理论数学家（我们在前面介绍过他），同时也是一位直率的现代柏拉图主义者，他于 1922年9月7日在英国科学促进会发表的一场演讲中宣称^［196］：

数学家们已经建立起数量众多的不同类型的几何学体系。除欧几里得几何学外，还有一维、二维、三维甚至任意多维的非欧几何学。所有这些几何学体系都十分复杂，并且同样正确。它们包含了数学家对它们真实性的观察，与物理学不确定和难以捉摸相比，数学中的真实性要更为突出，并且更加严谨。此时，数学家的作用就变为观察他自己研究的错综复杂的现实系统反映出的事实，通过观察得出令人震惊的、复杂而又优美的逻辑联系，正是这些联系形成了该科学和主要内容。在这个过程中，数学家就好像是一位攀登山脉的探险家，他把沿途看到的内容全部都记录在一系列地图上，这些地图的每一张都是理论数学的一个分支。

很明显，即使有同时代的证据表明数学的自由本质，那些坚定的柏拉图主义者并不准备放下他们的武器。他们发现机会，钻入哈代所谓的“它们的真实性”。这对他们而言，甚至比继续探索与物理真实性之间的关系还要令人兴奋。然而，不论形而上哲学对数学的真理性是如何看待的，有一件事是十分清楚的：对于数字的自由性而言，有一条约束是不会改变的，也是不可动摇的，那就是数学理论在逻辑上的一致性。数学家和哲学家比过去任何时候都更加清醒地认识到数学和逻辑之间的紧密联系是决不能被分割的。但是这就产生了其他的疑问：是不是所有数学问题都能建立在逻辑基础之上？如果能的话，这就是数学那神秘的有效性的奥秘吗？或者，保守一点的话，数学方法通常能运用在推理的研究中吗？在这种情况下，数学不仅是自然界的通用语言，也成为了人类思考的语言。