厘定保险商品价格的主要数理依据

二、厘定保险商品价格的主要数理依据

在众多保险经营科学原理中，我们认为概率数理统计及大数法则是保证科学经营保险的必不可少的原理。

(一)概率数理统计的保险学意义

概率论与数理统计是一门研究随机现象量的规律性的应用数学。保险经营风险的随机性、预期性的特点，正要求能较准确测算、预估经营风险的某些量的规定性的方法。概率数理统计作为应用数学有其较为宽广、深厚的探讨领域，我们仅介绍与保险科学经营(厘定价格、提留准备金、偿付能力标准等)相关的一些内容。

1.随机事件与保险经营中的随机现象

概率论中，将一定条件下，一次观察或试验结果的不确定性，而在大量重复试验或观察下的结果呈现某种统计规律的现象，称为随机现象或随机事件。随机现象在我们的生活中处处可见。

保险承保的风险是客观存在的，但风险事件的发生及造成损害的结果却是不确定的，这种偶然性经长期或大量观察，又具有其潜在的统计规律性，所以保险事件是随机事件。

除保险承保的风险责任事故具随机性外，保险经营中还有许多随机现象。如一定时期内的赔付情况、保险经营收益情况、保险投资收益情况等，都具有时间与空间的偶然性，但经长期、大量观察统计，又有其潜在的规律性。

2.概率、损失发生概率和损失概率

(1)概率及其性质。

随机现象偶然性与规律性的矛盾，使得采用常规的数理方法难以对其定量地说明。概率数理统计却找到了量化随机现象的一个指标——概率。概率是衡量和测度随机事件出现可能性大小的数量指标，其定义可描述为:在不变条件下，重复观察或试验n次，随机事件发生某种A的频率f(A)在某一常数P附近摆动，而且n越大摆动幅度越小，称常数P为事件A的概率，记作P(A)。

任何随机事件的概率均不大于1不小于零，用数学式表示为0≤P(A)≤1；其中P(A)=1和P(A)=0为两个特殊概率，前者A事件为必然发生事件，后者表示A事件为必然不发生事件，此类事件不是随机事件了。之所以将这两个特殊事件放在概率论中讨论，是为了方便概率的一些运算及特殊概念的说明而已。

(2)损失发生概率与损失概率。

概率在保险实务方面的意义在于，可从风险及其在时空方面的偶然表象入手，寻求其潜在的规律性，这对概率可以表述为，承保风险的发生概率及损失概率。后者对保险经营的意义尤为重要，科学计算某承保风险致某类承保标的的损失概率，便可依此确定其净费率；可对已发生未报告赔款准备金进行概算；可对再保险运作中非比例分保的分保费进行估测等。

损失发生概率与损失概率均包含时间和空间两层含义。损失发生概率的空间概念为，对特定风险在特定时间范围内，大量观察(同类风险单位很多)而获得的统计规律，如某类财产的出险率等；其时间概念为，在某一空间范围内，长期观察某特定风险发生的统计规律性，如国家某类人群的出生率、死亡率等。损失概率的空间概念为，一定时期内大量同类标的因某一风险造成的损失程度或损失额度的概率；损失概率的时间概念则为特定空间范围内，长期观察统计风险对某类标的造成的损失程度或损失额度的概率。

特殊概率P(A)=1，P(A)=0在保险经营中的考虑为:凡必然事件(包括必然发生与必然不发生事件)，保险企业一般将其列为除外责任，或者投保人不会产生投保愿望。P(A)=1(A表示机器折旧)，P(A)=0(A表示人不会死亡等)，均不是保险企业可以承保的事件。

虽然P(A)=1(A表示人不会死亡)，但人何时死亡，因何种原因死亡却是不确定的，从而其丧葬费用、抚恤费用或养老期间长短和费用支出等都是不确定的，所以保险企业可以举办死亡保险和养老保险等寿险险种。

(3)概率与损失概率的测定。

随机事件的概率有两种求解方法。一种是先验概率求解法:某一完备事件组所含所有结果(基本事件)为有限个(如n个)，且每种结果出现的可能性相同时，则任一事件的概率均为1/n。另一种是相对次数求解法:即按概率定义引入的方法求解概率的近似值，当观察与试验次数增加时，某种事件发生的频率将接近其真正的概率。

由于保险所承保的风险及其发生或致损事件是可能事件，试验损失发生概率及损失概率的求解取相对次数法，依据长期、大量观察与统计某类标的因某类事故致损的相对比率，来近似地确定其损失发生概率与损失概率。

3.期望值、均方差和偏差系数的保险学意义

(1)期望值的保险学意义。

概率论中将随机变量的长期平均值，简称期望值或均值，用E(x)表示。

实践中，数学期望值可用随机变量各观察值的算术平均值来近似地表示。大数法则将表明，只要观察与试验次数足够多，可将随机变量的某一可能结果的频率f(因在其概率P附近摆动)近似地看成其对应概率P，且当观察随机变量的结果充分大时，随机变量观察值的算术平均值也将在其数学期望值E(x)附近摆动。

保险经营中众多随机变量，虽然无须全面考虑其变换情况，但为了科学经营，一般要关心某些指标，长期均值则是必须考虑到的。比如测度某承保责任事故造成某类保险标的的损失概率，以及该损失概率过去与现在的表现形态和未来变化趋势，是签订保险合同时必须尽可能准确估测的，因为这是制定保险费率的主要依据，也是计收保险费的主要依据。同理，对某巨灾风险可能造成承保标的的巨大损失，保险公司必须提留巨灾风险准备金，巨灾风险造成标的损失这一随机变量的长期均值，便是据此提留滚存巨灾风险准备金的主要依据；此外，已发生未报告赔款准备金的提留，再保险费的预交等均涉及相关随机变量均值的测算。人寿保险费率及其准备金测算的工具——生命表中，各生命函数的准确估测也离不开对生命函数随机变量期望值的测算。

(2)标准差的保险学意义。

标准差又叫均方差，是用来描述随机变量与其均值的偏离程度大小的指标，用符号σ标识。标准差的大小可说明随机变量概率分布的疏密程度。标准差愈小，说明随机变量概率分布密集，反之分布松散。

均值随增减方差的扩大，其对随机变量的代表性程度越高。在第四节保险商品的理论价格测算中，根据所承保风险及标的的范围大小、风险高低，设定在损失概率均值或保额损失率均值上增加1～3个方差，以求费率设计、费率修正对承保风险致损随机变量代表性程度高一些，以减少经营风险。

(3)偏差系数的保险学意义。

偏差系数是用均方差与均值的相对比率来进一步说明偏差程度的，用K表示。

均方差是测度随机变量所有可能结果与均值的平均绝对差异。同样大小的均方差对于不同随机变量的均值，差异程度可能悬殊很大。偏差系数用来衡量期望值与实际结果的密切程度，愈小愈好。一般要求不超过10%。若偏差系数大，则说明选用的样本数不够(随机变量观察值数目太少)，需增大样本数目。

保险经营中各随机变量可能结果的预估，在求解其期望值和均方差之后，也应考虑均方差对期望值的偏离程度，以确定期望值是否可在经营中使用，抑或还需增加观察值，如承保标的与险位数，或延长观察期间，以使期望值对随机变量的估测更加可信，也使据此计算的一系列经营数据更科学合理。

(二)大数定律的保险学意义

随机事件及其概率、均值、均方差等的定量描述，可说明，在大量随机现象中，随机现象一般平均结果随观察值增加、观察期间延长而具稳定性。换言之，无论个别随机现象的结果如何，或者它们在进行过程中的个别特征如何，大量随机现象的平均结果实际上与每一个别随机现象的特征无关，并且几乎不再是随机的了，因大数定律的作用，大量随机因素的总体作用必导致某种不依赖于个别随机事件的结果。

保险承保的标的与风险具有随机性:某一标的是否在保险期限内发生风险损失，什么原因或什么风险事件导致其损害，损失结果如何等都是不确定的，无法预知的。这也是个别标的的所有者、管理者、经营者对其担忧、害怕，从而希求转嫁风险、购买保险的动因。然而，大量观察某类标的长期因某类风险事件所致损害，却可找到某种统计规律。尽管保险人无法把握个别保险标的的随机风险，却可依大数定律总体把握某类标的因某类风险所致损害的规律性，从而为其科学经营风险提供科学可靠的保证。

大数定律是概率论中用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的一系列定理。大数定律定量地描述了偶然性与必然性这一对立统一矛盾体的辩证规律。我们分别作如下说明。

1.贝努里大数定理的保险学意义

贝努里对大数定理提出证明，认为:在独立试验或观察序列中，当观察或试验次数n无限增加时随机事件A的频率f(A)(n次观察或试验中事件A发生的次数)，依频率收敛到它的概率，或相对频率可无限地趋近于其先验概率P(A)。

贝努里大数定理说明，在观察与试验条件不变时，随机事件的频率在它的概率附近摆动。贝努里大数定理要求随机变量相互独立，且服从同一分布函数。

此外，贝努里还证明:如果事件A很少发生，实际中个别试验或观察中概率很小的随机事件几乎不可能发生，常可忽略这些小概率事件(称小概率事件的实际不可能性原理)；由小概率事件的不可能原理推论，随机事件频率若很接近1，则可认为在个别试验或观察中该事件一定发生。

贝努里大数定理在保险经营方面的意义在于:只要保险集合的同类标的或险位足够多，且相互独立，服从相同分布函数，便可以用风险事件发生的频率代替其概率。举凡作为保险费率计算基础的许多风险损失率，如各年龄段的死亡率、生存率、船舶沉没率、非密集区的火灾损失率等，均有赖于大量观察或集合同类标的险位而统计测算作为纯费率计算基础的损失概率。

小概率事件的实际不可能原理及其推论，是对投保动机及可保风险测定的标准之一。若某风险及其损失发生概率太小，人们则认为不可能发生，从而失去投保动机；对于保险经营中可能遇到的发生机率小，但造成损失期望值大的小概率事件，保险人则不能掉以轻心，而应逐年滚存总准备金予以防范；但当大量观察发现，风险事件发生概率大时，亦难符合可保风险条件的应不予承保，或采取共保及分保办法处置。

2.泊松大数定理的保险学意义

泊松在他的《概率判断与研究》论文中对大数定理作如下解释:“如某一事件依照P_a、P_b……概率重复试验，结果可能为常数，或可能每次试验皆不相同，但如试验次数无限增加，其平均概率与观察结果所得的比率两者的差异的概率，将小于任何接近于一有限的固定数量”，“个别现象的发生可能是不规则的，但若集合众多事件来观察又具有相当的规则性”。

泊松大数定理的意义在于:个别事件的发生的偶然性与不确定性，可以通过集合众多事象观察或长期观察相同或相近事件，在平均意义上找出确定性与必然性。

泊松大数定理运用到保险上可说明，尽管各个相互独立的风险单位的损失概率可能各不相同，但只要有足够多的险种和标的，可以把各类标的集合在一起，求出一个整体费率，然后用适当方法予以上下调整，使各分类费率更加科学合理，同时在整体上又可保证收支平衡。

3.契比雪夫大数定理的保险学意义

契比雪夫大数定理认为，当n充分大时，n个独立随机变量的平均数的离散程度是很小的。这意味着经过算术平均以后得到得随机变量x/n，将比较密集地聚集在它的数学期望值E(x)附近，它与其数学期望值之差，当n趋向无穷大时，依概率收敛到0。

契比雪夫大数定理的意义在于，要测算众随机变量的数学期望值，仅需满足契比雪夫大数定理的条件，即可以观察值的算术平均值近似取代。

在保险经营中，承保的是预期可能发生的风险及其损失，以过去和现在观察值预期未来，是保险进行风险远期交易的规则。据契比雪夫大数定理可以过去若干年的损失观察值的算术平均值来估算损失期望值；用保险经营实践的尽可能长久的保额损失率的算术平均值，来估算经验损失期望值；以长久的生命统计值来编制国民或经验生命表中的若干生命函数及生命期望值。

上述三个大数定理在三种不同的给定条件下，证明了一个共同的规律:大量随机因素的总和作用必然导致某种不依赖于个别随机现象的必然结果与规则。据此保险人摆脱了对个别险种或标的随机风险无力把握的窘境，无需耗时费力去一一估算每一险种的随机风险，只需把握成千上万险种的总体风险责任；保险人可以对不同类型的风险单位采用间隔承保或划大风险单位等方法改善险种的独立性、同类性，采取共同保险与再保险的方式扩大承保数量，对周期长的风险，则可累计准备金等，以满足大数定理的要求，使保险经营更加科学可靠。

总之，大数定律为保险经营中保险商品价格测算与修正，准备金的提留与滚存，险种划分与承保险种标准的设定，共保分保方法的运用等均提供了可靠的理论依据。