半无限域中人工边界条件的选取

尹尚之，李仁鑫

（长安大学建筑工程学院，陕西西安 710064）

作者简介：尹尚之（1991－），男，长安大学建筑工程学院硕士研究生，结构工程专业。

李仁鑫（1990－），男，长安大学建筑工程学院硕士研究生，结构工程专业。

摘 要：在使用有限元软件进行数值模拟时，半无限域截断处的边界条件选取是保证计算结果精度的关键。本文基于ABAQUS有限元软件，分别采用固定边界、黏弹性边界、无限元边界和远置边界对简单的无限域进行震动响应分析与对比。结果显示，在简单弹性介质条件下，选取黏弹性边界具有概念清晰、设置简便等优势，能得到与使用远置边界相近的结果，具有良好的计算精度和稳定性。

关键词：半无限域；数值模拟；人工边界；黏弹性边界；无限元边界

Abstract：When utilizing the finite－element software to conduct numerical simulation，the method that to process the cutoff of the boundary of infinite domain has direct impacts on the stability of the calculation．The thesis is adopts the fixed boundary condition，the remoted boundary condition，the viscoelastic boundary condition and the infinite element boundary condition to give an vibration response analysis on simple infinite domain in the limited softwares of ABAQUS．The results indicates tha－tusing finite element has multiple advantages as being clear in concepts，simple，etc．It can obtain a similar result as the remo－ted boundary conditionand can be both accurate and stable．

Key words：Semi－infinite domain；numerical simulation；artificial boundary；the viscoelastic boundary condition；the infinite ele－ment boundary condition

0 引言

随着计算机技术的发展，数值模拟逐渐成为一种与理论分析、工程实验互补的验证方法。在一些复杂边界条件的工程问题中，使用有限元软件进行数值模拟可以得到与实际情况近似的解［1］。

边界条件的选取是保证计算结果可靠的关键，通过引入合理的人工边界条件，能减少波在人工截断面上的往复反射，并有较高计算效率，因此，如何选取适合的无限域边界条件显得尤为重要。目前针对无限域边界的处理方法主要包括粘性边界、黏弹性边界、无限元边界、旁轴近似边界、透射边界等［2－3］。

本文针对简单的半无限域条件，基于ABAQUS大型非线性有限元分析软件平台，分别施加多种人工边界条件进行计算对比。分析结果指出，人为的截断无限域并简单使用固定边界存在反射干扰等问题，而使用粘性边弹性界条件和无限元边界条件在解决这些问题时的适用性。

1 边界条件

1．1 远置边界条件

在考虑无限域内波的传播时，传播介质的边界为无限大，但在实际计算中受计算量的限制，我们不得不人工截断无限域来建立有限元模型。使用远置边界条件模拟无限域时，人工边界需要取得很远，使得在研究时间内反射的波未到达观感兴趣的近场区域，减小反射波对结构动力反应的干扰。因此，远置边界距离应满足式（1）［4］。

D≥0．5vt 　（1）

式中D是边界至观测点距离，v是土介质的压缩波速，t是振动波记录持时。虽然远置边界模型计算量较大，但相比于黏弹性边界和无限元边界，远置边界具有处理技术简单、精度高等优点。

1．2 黏弹性边界条件

Lysmer首先提出了粘性边界概念；考虑到粘性人工边界存在精度不高和低频漂移失稳等缺点，刘晶波等人在其基础上，基于柱面波动方程建立了二维黏弹性人工边界［5－6］，即在边界上设置阻尼与弹簧吸收系统震动过程中向外辐射的能量，如图1所示。在极坐标中采用柱面波假设可推导出二维散射波在半径为R处的应力与速度、位移关系：

其中，ρ为介质密度；cs为介质中的剪切波速；G为剪切模量。边界上法向与切向的弹簧刚度和阻尼系数依照（3）和（4）取值。

图1 弹簧－阻尼器系统

其中K为弹簧刚度；G为介质剪切模量；R为波源至人工边界的距离；C为阻尼系数。大量研究数据显示，黏弹性人工边界有较好的收敛性，当a N取值范围在0．35～0．65内，a T取值范围在0．8～1．2内时均可得出良好的计算结果［7］。

1．3 无限元边界条件

无限元边界的概念最早由R．Ungless提出［8］，经过不断的发展，目前已被广泛使用于无限域的研究。在动力分析无限元理论中，在边界处引入阻尼吸收波的辐射能量，使波的反射对分析区域的影响可以忽略，ABAQUS中已经考虑了上述阻尼设置，可直接调用［9］。

在ABAQUS中无限元边界的设置需注意无限单元的远点和近点只是代表了无限单元延伸的方向，其尺寸对有限单元区域的计算结果无影响［10］。无限单元中节点编号和实体单元一致，即节点应按逆时针的规则进行编号。同时，要确保无限单元的第一个面应为有限单元和无限单元的交接面，如图2中的1、2节点构成的面应和有限元相接，而且无限元单元延伸方向不能相交，如图中的边1－3和边2－4。

图2

2 算例分析

2．1 介质的材性指标

半无限域为单一弹性介质，本文选取了具有典型代表性的土物理力学参数，并建立有限元分析模型，使计算结果贴近于实际情况，其介质密度2t／m3；杨氏模量50×106Pa；等效波速250m／s；泊松比0．3；Rayleigh阻尼α＝0．616，β＝0．000312。

2．2 ABAQUS数值分析模型

为了验证不同人工边界条件对黄土地区地铁地下结构动力反应分析的影响，将半无限域介质简化为二维平面应变模型。建立尺寸为100m× 50m，网格尺寸为1m的分析模型，底边和侧边分别采用粘性边界、黏弹性边界、无限单元边界和固定边界。同时，设立尺寸取为500m×500m的远置边界模型，以远置边界模型解为标准解。

黏弹性边界模型边界面上分别设置法向和切向的弹簧及阻尼元件，波源至人工边界点的距离R取A点到底边的平均值（R＝32m）；无限单元边界模型边界面上使用四边形平面应变无限元单元模拟（CINPE4），其延伸指向为远离近场观测方向；固定边界模型地面采用固定边界条件，侧面施加水平向约束，竖向自由。人工边界条件的分析模型如图3～6所示。

图3 固定边界条件模型

图4 远置边界条件模型

图5 黏弹性边界条件模型

图6 无限元边界条件模型

2．3 动力反应分析

在模型上表面施加半个正弦脉冲波，时间为0．5s，幅值为0．1g，荷载时程如图7所示。我们在模型表面上输入地震动的时候，不到能直接以加速度或者速度输入，因为那样边界相当于固定边界。正确的地震动输入方法为，释放底界的位移约束，将地震动转化为等效力输入。综上所述，竖直输入无衰减P波，需施加的总荷载为［7］：

FBN（t）＝－2ρcpui 　（5）

选取各模型观测点A、B、C的震动响应时程图进行分析，各点的位移时程见图8。

图7 脉冲波加载时程图

固定边界条件下，脉冲波在到达底面后又反射回顶面，并且在2．5s的计算时间内，脉冲波在计算范围内往复反射，没有穿过底边界，因此可以判断，在介质中，脉冲波不会穿过边界，将永远在计算区域内往复反射，在有阻尼介质中，脉冲波将一直往复反射到能量完全被介质吸收。而在远置边界模型中，因其尺寸足够大，在计算时间内波未发生反射，即波在介质内传播过程与无限域内传播实际情况相符，其解精度可靠，可以作为标准解使用。

（a）A观测点

（b）B观测点

图8 观测点位移时程图

在粘性边界模型中，脉冲波在到达底面后，波动能量基本完全被底边黏性边界吸收，成功地模拟了波动穿过边界的情况，但明显存在整体漂移的现象。低频漂移是粘性边界的缺点，限制了其适用范围。

由黏弹性边界模型和无限元边界模型分析可得，脉冲波在到达底面后，边界起到了消耗截断边界能量、减小波往复反射干扰的作用，模拟了波动穿过边界的情况，且没有发生粘性边界的低频漂移问题。但是与无限元边界相比，黏弹性边界分析结果更贴近于远置边界，具有更高的精度。

从以上五种不同人工边界条件模型计算结果的对比分析可知，在无限域截断面处采用固定边界时，界面处的反射波对计算结果产生严重的干扰；黏弹性边界存在低频漂移的缺点；黏弹性边界和无限元边界能够较好的模拟输入波在无限域中的传播特性，相比而言黏弹性边界及其建模更方便，更易于在ABAQUS中实现。

3 结果分析

本文以简单的半无限域弹性介质为研究对象，基于ABAQUS大型非线性有限元分析软件平台，研究了半无限域数值模拟中人工边界的选择。通过数值模拟算例，对采用不同人工边界条件模型的动力反应进行了对比研究，得到以下结论：

（1）数值算例结果表明，在半无限域动力反应分析中，当采用固定边界模拟无限域介质截断边界时，输入的脉冲波将在截断区域内往复反射，截断面上的反射干扰对结果影响较大，数值模拟效果不佳。

（2）采用远置边界条件模拟半无限域时，当边界距离大于无反射临界值，在分析时段内经边界反射的波未到达近场区域，减小了反射干扰的不良影响，数值模拟结果与无限域内波的实际传播情况相符；但远置边界条件模型的计算范围过大时，计成本较高，不利于推广。

（3）采用粘性边界存在低频失稳的现象，其使用受到限制。

（4）采用黏弹性边界和无限元边界条件时，都可有减小波的反射，模拟波在无限域介质内传播的真实情况，最终获得与使用远置边界条件相近的计算结果。同时发现，无限元边界与相比，黏弹性边界分析结果更贴近于远置边界，具有较好的精度，且其建模工作也更加简单。

参考文献

［1］ 胡聿贤．地震工程学［M］1、2版，北京：地震出版社，2006．

［2］ Dominguez J．Boundary elements in dynamics［M］．Southampton：Computational Mechanics Publications，1993．

［3］ 贺向丽，李同春．无限域中的动力人工边界［J］．水利水电科技进展，2005，25（3）．

［4］ 楼梦麟，潘旦光，范立础．土层地震反应分析中侧向人工边界的影响［J］．同济大学学报，2003（07）．

［5］ Deeks A J，Randolph M F．Axisymmetric time－domaintransmitting boundaries［J］．Journal of Engineering Mechan－ics，ASCE，1994，120（1）：25－42．

［6］ 刘晶波，杜义欣，闫秋实．黏弹性人工边界及地震动输入在通用有限元软件中的实现［J］．防灾减灾工程学报，2007（4）．

［7］ UNGLESS R F．An infinite finite element［R］．Vancouver：University of British Columbia，1973．

［8］ 费康，张建伟．ABAQUS在岩土工程中的应用［M］．北京：中国水利水电出版社，2010．

［9］ 李秀强，蒋通，岳建勇，等．无限元边界在地铁引发环境振动分析中的应用［J］．地下空间与工程学报，2011（7）．