古希腊巧辩家安提丰(Antiphon，约前500年)在研究化圆为方时，提出了一种将圆内接正多边形边数不断加倍逼近圆周的方法. 由于多边形的边数不断加倍，圆内接正多边形与圆周之间存在的空隙逐渐被“穷竭”了. 这是“穷竭法”的雏形. 公元前4世纪，欧多克索斯(Eudoxus，约前400年)建立了一个原理: 如果从任一量中减去不小于它的一半的部分，从所余量中再减去不小于这余量的一半的另一部分，继续重复这一过程，最后必有一个余量将小于任何给定的较小的量. 他使“穷竭法”得以完善. 按照这个方法可以求出了棱锥体和圆锥体的体积.
阿基米德(Archimedes前287—前212)对穷竭法作了最巧妙的运用，在《论球和柱体》一书中，他运用穷竭法证明了球的面积和体积有关公式:
(1)任一球面积等于其大圆面积的4倍;
(3)球的外切圆柱体(含上、下底)的表面积是球面积的
.
阿基米德作为数学力学家，经常巧妙地把数学与力学结合起来解决数学难题或力学难题. 以球的体积求法为例:
设R是球的半径，把球的直径放在x轴上，画出2R×R的矩形NABS的矩形(N表北极、S表南极)和△NCS，使之绕x轴旋转而得到一个圆柱体和一个圆锥体，而圆的旋转得到球体. 然后从三个立体中切下与N距离为x，厚为Δx的三块竖直薄片，假定它们都是扁平圆柱，这些薄片的体积分别是:
图1.5
球体πx(2R-x)Δx
圆柱πR2Δx
取出球体和圆锥体的薄片，把他们的重心挂在点T上，使TN=2R，这两薄片绕N的合成力矩为
［πx(2R-x)Δx+πx2Δx］2R=4πR2xΔx
不难看出，这个值正好是从圆柱上切下的那一块原地不动时绕N的力矩的4倍，把所有这些薄片加在一起便得到:
2R［球体积+圆锥体积］=4R圆柱体积
即 2R［球体积+
π(2R)2·2R］=4R·πR2·2R
由此得 球体积V=
πR3
阿基米德把这个方法称为“平衡法”，他认为这样的方法不能算是证明，接着便用穷竭法予以严格证明. 数学史家克莱因评论说: “阿基米德的严格性比牛顿、莱布尼茨要高明得多.”
阿基米德这个方法实质上是现代极限思想和积分思想的体现，是他的得意之作，也是他数学研究的最大功绩. 他希望过世后把一个内切于圆柱的球的图形刻在他的墓碑上. 当他被罗马兵误杀后，罗马将军马塞拉斯为他举行了隆重的葬礼，并为之立了一块刻着他生前希望刻的那个图形的碑. 由于岁月的流逝，墓地沦于荒芜. 1965年，赛锐克尤斯一家新建的旅馆奠基时，发现了这块碑，叙拉古人又为这位伟人重建了莹墓. 美国科学史家E·T ·贝尔(Bell)在《数学人物》一书中写道: “任何一张开列有史以来三位最伟大的数学家的名单上，必定写有阿基米德的名字，另两位通常是牛顿和高斯，不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后代的深邃和永久来比较，还应首推阿基米德. ”
阿基米德留下10余种数学著作，都是杰作，计算技巧高超.从体例来看，深受《几何原本》的影响，即先设立若干定义和假设，再依次严格证明各个命题. 其著作各篇独立成章，论述简练完整，颇有现代论文风格，并有非凡的创造性，给人以完美的印象. 最引人注目的是积分思想方法的发明. 阿基米德一反古希腊数学家轻视应用的陋习，他的许多著作都有直接应用价值. 例如《论螺线》，不仅能巧妙地解决圆改方的问题(即作一正方形，其面积等于已知圆的面积)，而且利用其中理论发明了一种农用水车，用以灌溉农田或排除船舱积水.
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