机构房地产案例

BrianA.Ciochetti JamesD.Shilling^[1]

摘　要:本文基于2005～2012年美国及国际市场中机构房地产投资的空间分布数据,检验了齐普夫定律(Zipf’s Law)的适用性。研究发现,在美国房地产市场中,机构房地产投资的规模和等级之间存在着显著的loglog等级—规模关系,这一发现不仅适用于私人机构,也适用于公开交易的REITs;与此同时,还发现国际市场中机构房地产投资规模和等级之间也存在着一个特定的关系,同齐普夫定律预期相比,国际市场中的观察值更集中在上尾部。

关键词:私募股权投资　养老基金

一、引言

在现有文献基础上,本文将研究重心放在检验齐普夫定律的适用性上。现存的多数文献,主要用城市增长模式案例来检验齐普夫定律[Zipf(1949),Krugman(1996),Gabaix(1999)]的适用性;齐普夫定律也被商业公司相对规模(Ijiri和Simon(1977))和英文单词使用频率的研究(Irmay(1997))用来检验过。有趣的是齐普夫定律已经被应用到了上述案例中,且产生了很好的估计拟合度。很少文献将齐普夫定律应用到机构房地产投资相对规模的研究上,笔者首次将齐普夫定律应用于美国和国际市场机构房地产投资的案例中,填补了该领域的研究空白。

齐普夫定律是一种规律性经验,显示了一些离散现象其规模和等级之间的相反关系。它是帕累托定律的衍生,意味着一个分布中的元素可以被拆成很多不重要的部分和个别重要的部分。这正是齐普夫定律的魅力所在。因此,研究齐普夫定律在什么情况下成立,规模和等级之间是幂函数关系还是线性函数关系,是件十分有趣的事。本文将齐普夫定律和美国以及国际上机构房地产投资相对规模联系起来,探讨房地产行业的资金流。借鉴Rosen和Resnick(1980)的方法,运用线性和非线性回归模型对其进行分析。美国房地产相关数据来源于两个网站:SNL房地产(SNL Real Estate,http://www.snl.com)和全国房地产投资信托委员会(National Council of Real Estate Investment Fiduciaries,http://www.ncreif.org)。前者有关于大量公共和私人房地产投资信托基金(REITs)的数

JamesD.Shilling,德保罗大学。Email:shilling@depaul.edu。据;后者是投资经理和计划赞助者个人房地产的数据。其中,美国的数据按照大都市统计区(MSA)或小都市统计区划分,样本时间跨度从2005年到2012年。国际数据来自于国际房地产数据库(International Property Database,http://www.ipd.com);样本涵盖22个国家,每个国家至少7年的年度机构房地产市场规模数据(2005～2011年,规模用美元表示)。^[2]利用城市间(大都市统计区和小都市统计区)和国家间机构房地产投资的变化生成市场等级的分布,发现美国私人机构房地产投资活动样本的模型斜率为-0.999,整体拟合度R2为0.86;而国家公开交易房地产中REITs投资案例中模型斜率为-1.192,整体拟合度R2为0.89,在5%的显著性水平条件下,不能拒绝斜率系数显著异于-1的原假设。^[3]相反,国际房地产投资样本的模型斜率为-0.610,整体拟合度R2为0.85。该斜率在5%的显著性条件下显著异于-1。因此,拒绝齐普夫定律属于帕累托型的观点是较为合适的。

笔者尝试构建一个随机增长模型来解释这些结果。模型认为,生产力的提高和/或生活质量的提高会导致城市中公司的产生,至少在初始阶段,会增加劳动力和物质资本的使用。遵循RossiHansberg和Wright(2007)的研究观点,当劳动力和资本大量流入,从而产生高资本回报和高收入、资本和劳动力互相促进时,聚集效应便产生了(即正向的生产力冲击)。模型不仅解释了为什么美国机构房地产投资空间分布服从齐普夫定律,也解释了为什么国际机构房地产投资空间分布更像帕累托定律。

该篇研究具有以下几方面的应用空间:

第一,给出了机构房地产投资的明确定义。明确机构性投资购买和等级的函数关系以及这种关系为什么具有重要意义。例如,除了将机构房地产投资视为显示“机构质量”的资产或视为“在当地和区域性市场有着高质量的设计和构造”的资产之外,人们更应该将其视为投资于有着聚集效应、自我强化作用的“理想”市场。

第二,机构性投资是否存在地理差异性,以及机构投资者是否应该实现国际房地产投资多样化组合。与其区分国内和国际投资、不同的经济类型(发达和发展中、发展中和新兴市场),不如说是国内、国际公司都愿意进驻高收益市场。例如,横向来看,国内和国际市场的投资应当具有相同的增长特征。

为了看一下机构投资是如何高度集中于特定市场,图1显示了2007～2013年跨国房地产投资数据。数据来源于Real Capital Analytics(https://www.rcanalytics.com)。市场按照国外直接投资规模划分等级,圆圈越大,代表资本流入越多。发达经济体(Advanced Economies,AEs)(如伦敦、巴黎、纽约、东京、柏林、悉尼、法兰克福)中的理想市场更容易吸引大量的资本流入。同样,新兴市场和发展中经济体(Emerging Market and Developing Economies,EMDEs)(如上海、新加坡)也吸引了资本流入。

图1　2007～2013年国际房地产资本流动

第三,规模和等级之间特有的、一致的联系,表征着核心—增值—投机的房地产投资战略的转变轨迹。10～15年前,机构房地产投资通常关注于投资核心资产,也就是投资于杠杆率低、低风险投资组合的资产。随后,机构投资者将目光转向增值的、具有较高回报的投机的投资。但毫无疑问的是,齐普夫分布并没有因为这种转向与高附加值、投机性投资策略的变化而改变。事实上,在样本观察期中,齐普夫系数估计结果是稳定的,不随时间变化而变化。我们认为,投资者不能一味地追逐高附加值、投机性项目,而排除其他次级投资项目。结果显示,投资者通常会将投资进行分类,他们会首选投资于理想市场,之后,为了进行有效的风险管理,投资者会将他们的投资分摊成核心投资、增值投资和投机投资。

结构安排如下:第二部分,介绍齐普夫定律,并研究当等级—规模分布比齐普夫定律预期的更加分散或集中时,会出现什么结果。第三部分,基于美国私人机构和公开交易的REITs房产数据,检验了齐普夫定律。第四部分,利用国际机构房地产投资数据,检验了齐普夫定律。第五部分,分析结果和可能产生的影响。第六部分是研究结论。

二、齐普夫定律

齐普夫定律描述了一个事件发生的规模和其等级的相关性。齐普夫定律的loglog表达式如下:

式中,Rj表示观察值的等级,Sj表示观察值的规模(S1表示最大值,等级为1,S2表示第二大值,等级为2,以此类推),C>0表示标准化常数,εj表示误差项,N表示观察值的个数,α>0。

齐普夫定律的特例,当α=1时,也就意味着最大观察值的规模正好是第k个最大观测值规模的k倍。在这种情况下,在loglog图中,方程(1)是一条斜率为-1的直线。

当α小于1或者大于1时,是通常情况下的等级—规模分布。α<1,表明观察值更集中在上尾部,斜率比较平坦,这是因为受到来自最普通与最不普通观察值的双重影响。相反,当α>1时,意味着规模分布会更加分散,对应规模的等级会存在更小的降幅。

方程(1)中的等级—规模分布可以从帕累托分布角度给出解释。Adamic(2003)和Gabaix(1999)认为,方程(1)的等级—规模分布同概率密度函数相关。

式中,pr(S>Sj)是S的累积分布函数(CDF)。方程(2)意味着比Sj大的观察值个数是Sj幂函数的倒数。后者意味着

式中,pr(S=Sj)是同方程(2)相对应的累积分布函数的概率分布函数(PDF)。方程(2)中,对象的频率和规模服从帕累托分布;而方程(3)则服从Sj的幂级概率分布函数(PDF),意味着齐普夫规模—等级分布的过程服从一个a=2的严格的幂级概率密度函数。

经济领域中关于齐普夫定律和等级—规模分布的研究应用于研究城市规模分布。经典的例子如Zipf(1949),Krugman(1996)和Gabaix(1999)。齐普夫认为,任何一个国家的城市规模分布由两股力量决定:多元化力量和单一化力量。前者会产生许多小城市,而后者会产生为数不多的大城市。齐普夫利用1940年美国第十六次人口普查中有关100个最大地区的数据进行计算,估计方程(1)的斜率值为-0.98。其他人,如Krugman(1996)和Gabaix(1999),在之后的研究中重复了这些计算,不论是程度还是模式,都得到了类似的结果。^[4]齐普夫和后来研究者的结论的相似性,使得Krugman(1996)开始总结城市等级—规模法则,认为这是最基本的,也是稳健的结论。

Rosen和Resnick(1980)运用相同的方法,估计OECD国家的等级—规模关系,研究发现,在控制各国家差异的条件下,齐普夫定律适用于许多国家。斜率的估计值从摩洛哥-0.81到澳大利亚-1.96,平均斜率为-1.14。Rozman(1990)的报告认为,中国的斜率系数大约是-1.00。Brakman等(1999)得出,荷兰的斜率系数1600年是-0.55,1900年是-1.03,1990年为-0.72。估计结果表明,1600～1990年荷兰平均城市规模比1900年的规模更大。

最新研究中,Soo(2005)利用1972～2001年100多个国家的样本,估计齐普夫定律。Soo(2004)研究发现,73个国家中有14个国家的斜率系数显著大于-1,其中,13个国家来自非洲、北美洲、南美洲、亚洲,1个国家来自欧洲;39个国家的斜率系数显著小于-1,其中,21个国家来自欧洲,其余的主要来自北美洲、南美洲、亚洲。Eeckhout(2004)发现,美国2000年的斜率系数是-0.999(利用排除MSA底部的截断样本观察值)。Rossi Hansberg和Wright(2007)的研究发现,一些国家的等级—规模分布比预期的齐普夫定律的分布更加分散或更不分散,具体反映在平坦或陡峭的城市等级与规模双对数图中。RossiHansberg和Wright(2007)发现,许多国家的等级—规模分布存在一种近似凹形的趋势,表明这些国家缺少大型城市。Rose(2006)研究发现,齐普夫定律同样适用于国家。Rose(2006)研究了1900～2004年国家人口的规模分布。结果表明,国家等级和规模的关系近似于-1,且呈线性关系,但1900年(斜率系数为-0.78)除外。

Ijiri和Simon(1977)、Gabaix(1999)、Axtell(2001)、Fujiwara等(2004)、Gabaix和Ioannides(2004)、Luttmer(2007)利用齐普夫定律研究公司规模,并用员工数和资产来测度公司规模的大小。实证结果表明,斜率系数为-1.0,即等级—公司规模双对数图近似于一条直线。Gabaix和Landier(2008)证实了齐普夫定律适用于大公司的市场资本化程度的研究。Levy和Solomon(1997)、Klass等(2007)检验了美国1988～2003年高端人权的财富分布状况。Atkinson和Harrison(1979)检验了英国总体财富的分布。Ogwang(2011)则检验了加拿大富有人群的分布。

三、美国投资规模的国内分布

美国国内机构房地产投资数据来自于SNL。SNL旨在为反映公共机构的投资,而全国房地产投资信托委员会(NCREIF)旨在反映私人机构的房产投资。这两个数据相对较新。SNL在1994年发布了有关房地产覆盖率的数据,但直到1999年才提供有关房地产投资的信息。NCREIF在1978年为一部分人提供了房地产覆盖率的数据,这部分人主要包括私人和公共养老金的赞助者、人寿保险公司、独立的房地产投资经理。

我们利用这两个数据库,建立美国2005～2012年房地产投资规模分布。衡量投资规模有两种方法,当然这主要取决于数据的可获得性。对于公开交易的REITs,投资规模用平方英尺来衡量;对于私人机构,投资规模用市场价值来衡量。不能忽视的事实是,公开交易的REITs投资规模通常大于私人机构。公开交易的REITs的房地产规模超过290万平方英尺。与此形成对比的是,私人机构的房地产规模总共约为3 750亿美元、150万平方英尺,是REITs规模的一半。^[5]

NCREIF数据中包含226个MSA,而SNL数据中包含362个MSA。SNL数据也包括了527个小都市统计区(人口在1 000～49 999的城市)详细的投资数据。这些数据不仅有助于研究MSA地区公开交易的REIT投资,也有助于研究小都市地区的投资情况。私人和公共机构的投资按MSA和小都市统计区合并,投资数据从2005年开始。表1归纳了2012年的数据。可以看出,私人机构和公开交易的REITs通常投资于相同的市场。对于私人机构而言,最大的市场是华盛顿—阿灵顿—亚历山大、DC—VA—MD—WV地区;第二大市场是洛杉矶—长滩—圣安娜,CA地区;第三大市场是纽约—北新泽西—长岛、NY—NJ—PA地区;第四大市场是芝加哥—若利埃—内珀维尔,IL—IN—WI地区。

表1　2012年美国前15私人机构和公开房地产市场

续表

对公开交易的REITs而言,前四大市场分别是(机构房地产市场的等级显示在括号中):第一大市场为华盛顿-阿灵顿-亚历山大以及DC-VA-MD-WV地区;第二大市场为洛杉矶-长滩-圣安娜以及CA地区;第三大市场为纽约-北新泽西-长岛以及NYNJ-PA地区;第四大市场为芝加哥-若利埃-内珀维尔以及IL-IN-WI地区。最大的15个公开交易的REIT市场中不在最大的15个机构房地产市场的有菲尼克斯-梅萨-格伦代尔,AZ,巴尔的摩-陶森,MD和明尼阿波利斯-圣保罗-布鲁明顿,MN-WI;相反,最大的15个机构房地产市场中不在最大的15个公开交易的REIT市场的有西雅图-塔科马-贝尔维尤,WA,里弗赛德-圣贝纳迪诺,CA和丹佛-奥罗拉-布鲁姆菲尔德,CO。

在估计方程(1)时,有些技术问题需要加以考虑。Gabaix和Ioannides(2002)认为,方程(1)的普通最小二乘估计(OLS)的参数是有偏的,且标准差被低估了;Gabaix和Ioannides(2011)提出了改进方程(1)的OLS估计的方法。Gabaix和Ioannides(2011)发现,利用估计回归模型可以修正OLS的估计偏差问题。

图2　MSA地区美国私人机构投资—规模—等级分布线性图

注:图2说明了2012年美国226个MSA地区私人机构的房地产投资情况。投资规模用市场价值来衡量。

公共和私人房地产投资的潜在投资—规模分布近似于一个极端的幂次定律分布。例如,在2012年美国机构房地产直接投资数据中,一些MSA的投资超过了100亿美元,然而大多数的MSA投资小于5 500万美元。图2总结了观察值的整个范围。曲线是近似于完美的L形。该特征成为幂级定律概率密度分布的显著特征。尽管如此,用一个幂级定律的概率密度分布函数拟合这类数据仍然存在问题。因为超过100亿美元的投资数据很少,所以用对数线性曲线拟合图2的数据会给斜率的估计带来偏误。Adamic(2003)使用1997年12月1天各地区使用者回访的AOL分布形式,替代上述分布,进而解决上述问题。Adamic(2003)首先将数据放入容器中,使分布右尾的数据点更加平滑,然后用幂级定律的概率密度分布函数拟合最后的分布,从而解决了此类问题。我们借鉴相同的方法,使投资—规模样本的右尾数据点变得更为平滑。首先,将数据放入容器中,每个容器j(1,2,3,…)的宽度是一个常数W=Sj+1-Sj;之后,计算每个容器的观察值个数(即Sj和Sj+w之间S的值),也估计容器的中心值。接下来用方程(4)来拟合这些数据,得到斜率系数α的估计值。图3显示了2012年用log处理之后的值。

在图4中,得到了同图2相似的图形,描述了2012年大都市和小都市统计区公开交易REITs投资的情况。图4描述的美国REITs投资规模和等级之间呈现出一个近似完美的L形关系。接下来,运用上述相同过程来处理数据点,以此分析公开交易的REITs投资规模—等级双对数特征。图5显示了这些数据,且和图3相似。

图3　2012年美国私人机构投资—规模双对数分布图

资料来源:全国房地产投资信托委员会。

图4　美国MSA地区和小都市地区公开交易的REITs投资—规模—等级分布

注:图4说明了2012年887个MSA地区和小都市地区公开交易的REITs房地产投资。投资规模用平方英尺来衡量。

表2汇报了两个样本的方程(4)估计结果。其中,一个是方程(4)的(无偏)线性估计,另一个是方程(4)的(无偏)非线性估计。回归模型是

图5　2012年美国公开交易的REITs投资—规模对数分布

资料来源:SNL房地产,http://www.snl.com。

方程(5)通过引入投资规模的二次项,从而检验ln(Rj-1/2)和ln(Sj)之间的非线性关系。方程(4)的估计结果显示,表2中第1和第3列投资规模的系数在两个样本中都是显著的负值。私人机构对应的回归系数是-0.999,公开交易的REITs投资系数为-1.192。这两个系数接近于-1。从这个结果可以看出,私人机构和公开交易的REITs投资等级—规模分布关系的存在性。研究发现,私人机构C的估计值是10.943,公开交易的REITs对应的估计系数值为10.391。这些截距项的值很大,两个样本中最大市场的规模呈现出很大差异(同表1比较)。

表2　2005～2012年美国私人机构和公开交易的REITs平均齐普夫系数

注:样本包括了2005～2012年私人机构和公开交易的REITs的房地产投资。数据来源于SNL房地产(http://www.snl.com),以及全国房地产投资信托委员会(http://www.ncreif.org)。因变量是ln(Rj-1/2),其中,Rj为观察值的等级。Sj估计值显示了投资规模对等级的平均影响。估计值使用分级数据。括号中是t统计量。

表2中的结果显示了ln(Rj-1/2)和ln(Sj)之间的非线性关系。由此可以得到以下三个结论:第一,两个样本中二次项的值都显著为负,表明对于大多数ln(Sj)相关值而言,等级和规模间的双对数图形是凹的。第二,引入二次项之后,线性项系数的值和符号都发生了很大的改变。表2中的第2列和第4列显示,两个样本的线性项都显著为正,而现在的截距项变成了显著的负数。这个结果的直观解释可参考方程(5)(见Soo,2004)。如果ln(Rj-1/2)和ln(Sj)之间的关系表示成ln(Rj-1/2)=C+α'ln(Sj)+β'(ln(Sj))2,则当ln(Sj)=-(a'/2β')时,加上一个整数α',则ln(Rj-1/2)取得最大值。第三,表2中二次项的影响较小。表2中模型整体拟合度R2值表明,两个样本中二次项的引入与否,使得模型整体拟合程度仅仅改变了10%左右,说明投资等级与规模之间的曲线程度的确影响很小。

四、国际投资规模分布

国际机构房地产投资的数据一般很难获得。本文数据来源于国际房产数据库(IPD)。IPD提供了24个国家机构房地产市场规模的年度数据。其中的22个国家,涵盖了2005～2011年7年的数据。同时,删除了2个缺失市场规模数据的国家,因此得到22个国家的数据。利用该数据来检验如果用国家层面数据代替大都市区域的数据,机构房地产投资—规模分布特征是否同样存在。Rose(2006)之前研究过这个问题,检验城市和国家是否具有相似的人口—规模分布。

表3描述了22个国家2005年和2011年的投资统计量。其中,投资规模用市场资本化来衡量(转化为美元)。表3说明了如下两点特征:第一,美国、日本、英国、德国和法国在所有观察期中始终是较大的机构房地产市场,只是每年的名次略微不同。2005年,美国、日本、英国、德国和法国拥有2.6万亿美元的机构房地产,占全球的3/4。2011年,美国、日本、英国、德国和法国拥有超过3.7万亿美元的机构房地产,同样,占了全球的3/4。第二,仅美国就拥有1.968万亿美元的机构房地产,占了全世界的40%。2005～2011年,美国总的机构房地产市场资本化程度增加到46%。

表3　2005年和2011年全球机构房地产市场规模

续表

表4显示了方程(4)和(5)的具体回归结果。当不考虑非线性关系时,等级和规模间的双对数关系呈显著负相关(见表4第1列)。该系数为-0.667,表明同齐普夫定律相比,观察值更集中在上尾部。表4中二次项系数是负数,且显著(见表4第2列)。然而,没有迹象表明幂律分布是不显著的。当二次项被删除时,R2变化了13%。很小的二次项强化了我们对国际层面规模和等级间应服从幂级定律关系的可信度。

表4　2005～2011年全球机构房地产平均齐普夫系数

续表

注:样本涵盖了2005～2011年22个国家、每个国家至少7年的年度机构房地产市场规模数据(规模用美元表示)。因变量是ln(Rj-1/2),其中,R指观察值的等级。估计值显示了投资规模对等级的影响。估计值使用分级数据。括号中是t统计量。
资料来源:国际房产数据库(http://www.ipd.com)。

五、讨论与启示

现在有两个问题需要考虑。为什么齐普夫定律适用于美国机构房地产投资空间分布?为什么幂级定律函数适用于国际机构房地产空间分布?在这部分中,将对其做出解释。这部分解释在前言中已经提到过。在做出解释之前,有必要先回顾一下齐普夫定律为什么在城市规模的研究中可以成立。将城市规模—等级关系同机构性房地产投资—等级关系作比较是十分有意义的。

既有的研究,大多解释了为什么城市规模—城市等级相关。地理理论强调了潜在的自然优势。例如,Ellison和Glaeser(1999)认为,许多工厂愿意将厂址设在具有显著成本优势的国家、地区或城市,而不愿意将厂址选在不具显著优势的国家、地区或城市;如果溢出效应具有明显的地理局域性,则工厂会聚集。静态的非地理理论强调了聚集经济(即规模经济投入、聚集的劳动力市场、知识溢出等规模经济)和分散力。例如,Fujita(1988)和Krugman(1991)认为,公司选址多位于人口密度大的国家、地区或城市,这样可以节约固定成本和交通成本。这些地址的选择产生了聚集效应,促进了经济活动在空间上的集中,并有助于日后的经济增长。与空间聚集相反的是分散力。分散力也是促进经济活动均等化分布的重要力量。分散力是由规模不经济或拥堵成本造成的(例如,相比郊区,市内公司必须给员工更高的工资)。在这种情况下,齐普夫定律作为帕累托分布的均衡结果而产生。

对齐普夫定律产生的另一个解释是有关随机增长理论。例如,Gabaix(1999,2008)认为,齐普夫定律从吉布莱特定律(Gibrat’s Law)推导而来。吉布莱特定律讲的是,每个城市的经济增长都处在同一平均水平上(与规模无关),且有着相同的标准差,但对增长率的冲击不同。^[6]不同的冲击解释了城市生产力所经历的过高、过低的变化过程。一些城市的生产力会下降,如20世纪90年代至21世纪初的底特律;而另一些城市的人均增长率会上升,如同一时期的旧金山海湾地区。由于每个城市的增长率围绕着平均增长率上下波动,因此,通常情况下,城市的分布最终将收敛于齐普夫定律。^[7]

其他的解释是关于区位条件,包括地理位置、市场准入、比较优势和聚集经济。例如,Krugman(1996)认为,这些有关区位的属性服从相同的随机增长过程分布(Gabaix,1999)。因此,区位理论假设区位的基础经济属性是随机的,而并非城市增长率是随机的。Cordoba(2004)建立了一个城市增长模型,其中偏好或技术服从布朗运动。RossiHansberg和Wright(2007)建立的城市增长模型中,当地的回报率是增长的,而总体层面的回报率则保持平稳。在这两个案例中,城市有着各自的特点并相互贸易,当城市依靠自身特点达到其有效规模时,那么齐普夫定律就产生了。

现在,我们研究将这些模型引入房地产市场中会发生什么?在“正常”增长的情况下,生产力完全取决于劳动力资本的可获得性。RossiHansberg和Wright(2007)认为,有形资本存量通常由总的劳动力供给的增长率gN来决定。

式中,ntj表示机构规模,用城市j中每家机构的员工人数来衡量;Ktj表示城市j的房地产资本储备[RossiHansberg和Wright(2007)中的方程(10),当αj=1,βj=0时]。

在机构规模不变的情况下,每个城市的房地产资本储备应该处于同一个平均水平gN,它不依赖于城市j最初的投资规模Ktj。^[8]但是,机构投资个数变化量为ntj,信息技术可能会引起机构的拆分和更小机构的出现(即lnnt+1j-lnntj下降),那么有形资本存量增长快于gN(即lnKt+1j-lnktj将超过gN,若方程(6)保持不变)。这个结果是显而易见的。当规模小且生产率高的公司进入市场j时,会促进房地产需求的增加(自然增长率为Ktj),使得lnKt+1j-lnktj超过gN,其中Kt+1j的取值来自于将lnnt+1j-lnnt=gN-[lnKt+1j-lnKtj]设定在gN-[lnKt+1j-lnKtj]水平上。^[9]

当[lnKt+1j-lnKtj]=gN+lnnt+1j-lnnt=gN+εtj=gtj,其中εtj和gtj是随机变量,εtj用于衡量lnnt+1j-lnntj。这个模型表明Kt+1j应该随着随机量而增大或缩小:

在该方法中,我们只考虑Kt+1j超过最低值Kmin的情况,可以理解为,当有形资本存量下降到某一低值时,城市就会破产(如底特律)并且不会再追加投资。这个假设使模型变得更简单。

方程(7)显示,城市j有形资本存量从第t时刻的Ktj变化到t+1时刻的λtjKtj,其中,λtj=egtj。用F(K,t)和F(K,t+1)分别表示第t时刻和t+1时刻的有形资本存量的正态分布。F(K,t+1)的值如下式所示:

方程(8)的右边部分集合了所有序列中由egtj定义的λ值,其中所有城市具有相同的h(λ)分布。

当有形资本存量大于最小值时,方程(8)描述了一个近似于向门槛值扩散的过程。该过程收敛于一个平稳的分布F(K,t)(Boltzmann,1964)。为了得到静态有形资本分布的极限值,假定F(K,t+1)=F(K,t)=F(K),其中,

对K求导,得到

帕累托分布是方程(10)的一个解。帕累托分布形式如下:

其中B=cKcmin,B,c以及Kmin是常数。将方程(11)代入方程(10),得到

其中,c满足∫+∞0λch(λ)dλ=1,它符合帕累托分布的过程。

Adamic(2003)和其他学者指出帕累托分布的模型参数,其中c=a-1,a是公式(3)中的幂级定律的斜率。因此,如果用来测度lnnt+1j-lnntj的指标εtj是一个随机变量,那么投资等级—规模双对数的直线斜率应该为-这个结果意味着,如果齐普夫定律适用于美国机构房地产投资的空间分布,那么投资等级—规模的双对数曲线斜率为-1,幂律指数a=2,帕累托指数c=1。另一个显著的特征是εtj的趋势。该趋势可由不同的因素(独立因素或直线因素)引起,使其随着时间的变化而发生相反的变化。εtj变化得越多,有形资本的空间分布特点将会越趋于齐普夫分布。

然而,值得注意的是,εtj未必回归到平均值状态。有时,εtj会随着时间的变化显现出相同方向的变化趋势。例如,Rappaport和Sachs(2003)建立了一个公司如何选择能够集聚资本和劳动力地址的模型。模型中,增长率是一系列增强生产力和/或提高生活质量属性的函数。其中,增强生产力的属性包括可利用通航水域、丰富的自然资源、宜人的气候和健全的法制;提高生活质量的属性包括海洋景观、舒适的气候和低犯罪率。高生产力属性会吸引劳动力和资本的流入,从而产生高资本回报和高收入,进而再次吸引资本和劳动力的流入。同理,好的生活质量会吸引劳动力的流入,从而增加资本的流入。这种聚集效应使“理想”市场中的资本和劳动力增长率一直高于平均水平(即对于一些市场而言,我们会发现总是高于平均水平)。

这些观点和上面的结论是一致的。例如,根据方程(6),如果冲击仅仅通过lnnt+1jlnntj进入投资需求函数,意味着在均值为0的条件下,有形资本存量的增长率为常数,且独立于市场规模(即均衡条件下,在任何时刻Ktj都会被选择)。然而,市场经历围绕均值上下变动的冲击情况是可能的。因为,Ktj的增长速度总比gN要快,尤其存在自我强化的聚集效应受到lnnt+1j-lnntj的影响时。但是,除非大量的市场经历着同样的lnnt+1j-lnntj的冲击,否则我们认为Ktj的空间分布服从齐普夫定律。然而,如果区位因素和聚集效应持续影响lnnt+1j-lnntj时,那么我们无法预知Ktj的分布将会怎样。在这种情况下,Ktj的空间分布将会更像帕累托分布,相比齐普夫定律,资本将会更集中在某些国家。^[10]当然,国际数据偏离齐普夫定律还存在其他原因,主要包括额外的交易成本、税收、法律、所有权限制、汇率波动以及社会经济的不稳定等因素(Stulz,1981;Errunza和Losq,1985)。

由上述分析可知,机构投资者应倾向于“拥有大量高流动性的资产”,或将他们投资的一定比例限制在“流动性高的资产”上,又或者寻求投资于差异性的国际市场,从而获得额外数量的“有更大可能获得更高回报的资产”。奉行谨慎投资法则的人们认为,机构投资者应该投资和管理值得信赖的房产,因为拥有高质量的资产在市场上更容易获得支持,也可以理解为提倡一种取决于单个资产属性的投资战略(Del Guercio,1996)。然而,这个理论并不能解释美国市场中私人机构和REITs的规模和等级之间近乎完美的相反关系,也不能解释国际机构投资的规模和等级之间不太完美的相反关系。

流动性问题已经超出了有关委托人自身管理资产的相关法律约束的范畴。机构投资者应该将资产重新分配,以获得更大的流动性。因为相比个人投资者而言,他们会经常调整自己的投资组合,产生更多的交易(Longstaff,2009)。然而,更倾向于流动资产的投资组合意味着机构投资者应该拥有更多公开交易的REITs股票,而不是私人房地产股票。不过,现在的问题是机构拥有的公开交易的REITs股票比例很小,大约为所有机构房地产的25%。

标准的经济理论认为,资本可以自由地从富有国家(即大市场,富有国家的资本过剩且回报率较低)流入贫穷国家(即小市场,贫穷国家缺乏资本且回报率较高)。这个概念在直觉上是合理的。然而,事实上,资本并未如理论所预示的那样大规模地从富有国家(大市场)流入贫穷国家(小市场)。多数机构投资者坚守着大市场(即富有国家),如图1所示,房地产市场资本的跨国流动主要集中在几个大都市地区。

现有的研究工作中,将机构投资者视为追逐利润的实体。这些实体,会根据市场需求的变化调整有形资本的供给水平,也会将他们的投资集中于需求巨大且增长(lnnt+1jlnntj)较快的市场。通过假定机构投资者不同于其他资本提供者的方式,为模型加入一些现实元素。这种差异会使机构投资者借助其竞争优势,更倾向于投资规模较大的资产。尽管目前多数机构的投资组合中包含了核心的、高回报的投资,但并不是所有机构都如此。在20世纪80～90年代前期,机构通常仅投资于核心的房地产。现如今,机构投资者开始关注风险—回报的组合型的、核心的、增值的、投机的房地产。有趣的是,这种向增值的、投机性投资转变的过程对方程(4)的系数不产生结构性影响。由于市场分层结构系数相对较为稳定,因此,不必假设所有增值性、投机性的投资都投向回报率高的二级市场。反之,可以想象,投资者首先会选择投资理想市场,其次为了进行有效的风险管理,分散投资于核心的、增值的、投机的市场。

模型同样也证实了国际投资资本是非常缺乏流动性的。除非存在较大的lnnt+1jlnntj值,否则模型中的投资资本不会出现大量地流入市场或国家的情况。当然,从某种意义上说,lnnt+1j-lnntj的特大值是不会出现的,除非发生像Rappaport和Sachs(2003)所指出的情况,一些生产力增强/生活质量提高的要素首先在某个地方集聚,进而吸引人们的兴趣,使得一些良性循环得以启动。这个情况说明Kit的空间分布会随着时间而变化,同时也解释了为什么流入贫穷国家的资本量相当缺乏。

六、研究结论

本文对2005～2012年机构投资在美国和国际投资空间分布特征进行了分析,得到以下研究结论。首先,美国私人机构房地产投资规模和等级之间存在着明显的负向关系。美国二级私人机构性市场是其重要的一部分。其次,研究发现,美国公开交易的REITs房地产投资也具有相同的特点。这说明空间分布规律不仅存在于美国私人机构,也存在于公开交易的REITs。另外,研究还发现:第一,在国际市场中,投资等级和规模之间呈显著负相关关系。第二,幂级定律分布比齐普夫定律能更好地拟合国际数据。在国际市场中,和齐普夫定律预期的相比,观察值更集中在上尾部。

为了解释这些现象,参考经济地理文献(RossiHansberg和Wright,2007),我们建立规模和公司增长率的随机模型。其中,有形资本存量,在缺乏随机性的生产力提高/生活质量提高的冲击下,以总劳动力供给增长率的速度在保持不断增长。我们想知道,公司发展模式会在一些变化发生或不发生时存在怎样的表现?是快于还是慢于有形资本存量的平均增长率?例如,信息技术会促使公司发展模式呈现细分和小型化发展。当这些冲击完全随机时,均衡状态下的有形资本存量会以固定的增长率增长,且独立于市场规模,从而使有形资本存量的空间分布更接近于齐普夫定律。可是,当生产力水平或生活质量提高的要素推动公司增长且产生聚集效应时,这些市场的有形资本存量增长率会超过聚集劳动力供给的固定增长率,从而使有形资本存量的空间分布更接近于帕累托分布。我们利用前者解释了美国机构投资的空间模式,同时利用后者解释了国际机构投资的空间模式。

这些结果具有如下的启示意义:许多文献回答了机构房地产是什么的问题;相关的文献分析了机构投资者如何投资或投资于哪里的问题,即是通过积累资金直接获得房产产权还是通过公开交易的REITs间接获得房产产权?投资大房产还是投资小房产?投资核心投资还是增值、投机投资?是国际房地产投资还是国内房地产投资。Del Guercio(1996)试图从理论的角度分析机构投资,认为谨慎的机构投资者将会更倾向于投资拥有大量高流动性的资产。资产的流动性对机构投资者来说是一个需要慎重考虑的因素。Longstaff(2009)认为,机构投资者应该掌握更多的流动资产,因为相比个人投资者,他们的交易更为频繁。同时,近年来,人们也反复争论,机构是否应该进行混合多元的国际投资来消除他们投资组合中的风险。

本文假设机构投资者追求利润最大化,不会从谨慎性或流动性的角度来考虑投资,而是通过向私人部门提供有形资本来应对生产力或生活质量提高带来的随机冲击。因此,初创阶段的机构不一定考虑投资“理想”市场(大市场),但最终还是会将投资组合向大市场倾斜,毕竟大市场是公司理想的选择。必须承认,机构和其他有形资本的供给者之间存在巨大的财富差异。将这个假设加入模型中,我们发现,机构投资更倾向于拥有大资产,从而排除竞争对手,因为高价值是限制市场准入的一个因素。最终,机构投资完成排他性的大市场资本化过程。

最后,研究结论表明,国际市场的投资资本是缺乏流动性的。生产力水平和生活质量的提高以及聚集效应决定了投资资本的流向和流量。这些效应是一种自我强化的过程,因为能提高生产力和生活质量的属性吸引了劳动力和资本的流入,同时也产生了高资本回报和高收入,这是个互相强化的过程。一旦这个过程产生,就会一直持续下去,从而使有形资本的空间分布在发生变化时可以快速复原。对于小国家(贫穷国家)而言,可以采取补贴的形式来提高某些地区的生产力,以此来吸引公司和资本流入。

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Zipf’s Law:the Case of Real Estate Institution

Brian A.Ciochetti James D.Shilling^[11]

Abstract:Based on the institution’s real estate investment spatial distribution data from 2005 to 2012 in the UN and international market,this paper examines the feasibility of Zipf’s law.The study shows that the scale and rank of the institution’s real estate investment exists a remarkable loglog scale and rank relation in American real estate market.This finding is not only suitable for private institution,but also for publicly traded REITs.At the same time,the study also finds that the scale and rank of the institution’s real estate investment exists a particular relation in the international real estate market.Compared to the expectation of Zipf’s law,the observed values in the international market mostly concentrate on the tail.

Key words:Private equity　Pension fund

【注释】

[1]BrianA.Ciochetti,圣安东尼奥大学。Email:Tony.Ciochetti@utsa.edu。

[2]数据的缺乏使我们不能构建美国以外的MSA层面的机构房地产。在此,我们利用国家层面的数据来分析美国以外机构投资者的行为。很幸运,这种层面的合并并没有带来问题。当用国家来代替城市的时候,城市规模分布的属性仍是有效的(Rose,2006)。

[3]这些发现与Coval和Moskowitz(1999)的发现相关。机构更倾向于拥有当地的储备,这说明区域很重要。例如,美国和日本的机构房地产投资市场的主导者规模都很大。另外,由于当地投资需求的偏差和对高密度市场的偏好,当投资者对当地市场厌倦时,我们会发现齐普夫定律可以同时被应用于国家层面的机构房地产空间分布。

[4]Krugman(1996)根据1991年美国最大的130个地区的数据,计算出斜率系数为-1.00。Gabaix(1999)发现,1991年美国的统计摘要中,135个大都市地区的斜率系数为-1.005。

[5]然而,这一结论与公共房地产市场大于私人房地产市场的观点不一样。

[6]运用随机增长模型方法的有Davis和Weinstein(2002),Eeckhout(2004)和Duranton(2006)。

[7]解答仅需要一个很小的随机障碍,来阻止城市越变越小。

[8]注意:在RossiHansberg和Wright’s(2007)模型中,城市j最初的规模仅仅是产出的一个固定比例。

[9]对此最好的解释来自旧金山海湾地区和西雅图。小的技术公司继续刺激这两个地区商业地产的需求。由于旧金山市中心商业地产价格太高,从而迫使一些公司搬离。

[10]区域上的差异在不同国家间是很明显的,这会导致分布更像帕累托空间分布。大量关于生活质量的调查与这个问题有关。例如,联合国发起的衡量一个国家人类发展水平的民意调查、《新闻周刊》和经济学人智库发起的关于生活水平和生活质量评定的民意调查,包括了100多个国家教育、健康、生活质量、经济活力和政治环境的测量。首先,对不同群体进行评级。其次,从结果来看,各国的生活质量存在很大的不同。生活质量高的国家包括芬兰,之后是瑞士和瑞典。相反,生活质量很低的国家包括布基纳法索,之后是尼日利亚和喀麦隆。参见2010年《新闻周刊》“世界最佳国家指数”,http://www.newsweek.com/interactiveinfographicworldsbestcountries71323。

[11]Brian A.Ciochetti,San Antonio University.Email:Tony.Ciochetti@utsa.edu.
James D.Shilling,DePaul University.Email:shilling@depaul.edu.Address:East Jakson Avenue,Chicago.