时间数列变动趋势分析

时间数列变动趋势分析_社会统计学

第四节　时间数列变动趋势分析

潮水有涨有落、气温有高有低、油价有升有降，如何发现其规律呢?对社会现象进行动态分析，除了计算各种发展水平和发展速度等分析指标外，更重要的是要研究现象变动的趋势和季节变动的规律，这对预见未来，增强计划性，做好各项工作，具有重要的意义。

很多社会经济现象的发展变化，都同时受多种因素的影响，但有时影响因素机制不清，数据不全，难以用其他数据进行分析和预测。因此，仅能通过社会现象本身的变化来分析该现象变化规律。具体是消除偶然因素的影响，通过数据修匀、拟合历史曲线等科学方法进行长期历史趋势数据的分解，揭示被研究现象的发展变化的趋势和规律。

一、时间数列的构成与分解

社会经济现象随着时间推移呈现不同的变化，这些变化是受多种因素的共同影响。这些因素有主有次，有强有弱。按照影响因素的性质和作用形式，可将时间序列的众多影响因素划分为长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动等四个部分。

长期变化趋势(T)是指某事物在一段较长的时间内，由于普遍的、持续的、决定的基本因素的作用，使发展水平沿着一个方向，逐渐向上或向下变动的趋势。如改革开放以后，社会生产力获得解放，我国国民生产持续向好，国民生产总值不断提高。认识和掌握事物的长期趋势，可以把握事物发展变化的基本特点。

季节变化趋势(S)是指受季节的影响而发生的社会经济变化，具体是指在一年或更短的时间内，社会经济现象出现周期性的重复变化。引起季节变化的原因有自然因素，也有社会因素，如天气、节假日及由此引起的商品销售量、雨量变化和气温变化等。季节变动的影响有以一年为周期的，又有以一月、一周甚至一日为周期的。

周期变化趋势(C)是指，由于某些物理原因或经济原因，而显示出固定周期变化，如气温的日变化、股票价格变化、太阳黑子数量变化和计算机的摩尔增长定理等。

不规则变动(I)是指随机变动，具体是指除了受以上各种变动的影响以外，还受临时的、偶然因素或不明原因而引起的非周期性、非趋势性的随机变动。

因此，各种社会经济现象的时间序列(Y)可分解成长期变化趋势(T)、季节变化趋势(S)、周期变化趋势(C)和不规则变动(I)4种因素的函数。这些因素之间的关系可以设想成简单的加法关系(模型)或乘法关系。也有人认为，季节变化趋势本身也是一种周期变化趋势，故有S*C为S。

即:Y=T*S*C*I=T*S*I　　　　　　　　　　　　　　　　(12.14)

或:Y=T+S+C+I　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12.15)

实际应用中，乘法模型的假定与许多现象变动的性质更加吻合，在数学处理方面更加简便，因此运用较多，后文主要分析就是这种乘法模型。乘法模型假设引起社会经济现象变动的各因素都相互独立，各因素都在100%上下波动。

二、季节分解的基本过程

季节变动是指某些社会现象由于受自然因素和社会经济条件的影响，在一年之内随季节变换而发生的有规律的周期变动。应该指出的是，这里所说的季节变动中的“季节”是个广义的概念，它既可以指一年中的四季，也指一年之内周期性变化，或者一月、一周和一日之内的周期变化。例如不同月份旅游景点的旅游人数、不同时间某种疾病(疟疾、高血压和心脑血管疾病)的发病率、一周内不同天数的超市销售额、不同周次学校图书馆的图书借出数量和一天之内不同时间公共汽车的负载量等等。

1.季节比率

季节比率又称季节指数，是一种与全年(期)平均发展水平对比得到的一种相对数。其反映社会经济变量相对于年平均的变化水平或变化规律。季节比率大于100%，说明现象处在“旺季”；季节比率小于100%，说明现象处于“淡季”。进行季节变动分析，一般需要较长时期的统计资料，通常需要采用连续三年以上的各月或各季的完整历史资料，才能呈现出季节变动的规律。季节变动测定方法是简单算术平均法。

(1)季节变动测定方法

季节变动测定方法是简单算术平均法。

［例12.11］禽蛋产量有明显的季节性变化，现要求分析2006～2010年某禽蛋加工厂产量的季节性变化情况(见表12.7)。

表12.7　　　　　　　　　　2006～2010年某禽蛋加工厂产量

禽蛋加工厂产量有很强的季节性变化，产量为时期数，可以计算出12个月总和，2006年、2007年、2008年、2009年和2010年该禽蛋加工厂产量分别为518吨、591吨、696吨、834吨和978吨，平均历年合计为723.4吨。将各月平均数除以合计(723.4吨)再乘以1200%，即得季节比率。上表表示，2～5月，10～11月禽蛋产量高于年平均数，而6～9月、12月和1月禽蛋产量低于年平均数。这样，就可以安排员工进行计划生产。

季节比率研究社会经济现象随月份或季节平均的变化规律。这种方法不考虑长期趋势的影响，而是直接用时间数列原始数据计算季节指数。具体计算方法是:根据多年的同月(季)资料，计算出该月(季)平均数，然后将各年同月(季)平均数与全期所有月(季)份的总平均数对比，得到季节比率。具体计算公式为:

月季节比率=1200*各年同月平均数/全期月总平均数

季度季节比率=400*各年同季平均数/全期季总平均数

若用季节资料计算，2006～2010年某禽蛋加工厂季节产量仍可以计算季节比率如下:

①由表12.8的基本数据，将四年各季完整资料排列整齐如表12.8，然后求四年各季平均数。求四年内四个季节的合计，为723.4吨。

②将各季度平均数与总平均数进行比较得到季节比率，如4个季度季节比率之和不等于4.00(若按月平均计算，季节比率之和应为12.0)，则应进行调整。调整的办法是:用4.00(或12.0)除以原来的各季度(或月份)季节比率之和，得到一个调整系数，然后以此系数依次乘以原季节比率得到调整后的季节比率。

表12.8　　　　　　　　　　2006～2010年某禽蛋加工厂产量季节比率计算

季节比率表示，第一季度禽蛋加工厂产量比年平均数高18%，第二季度、第四季度比年平均数高17%和12%，第三季度产量比年平均低48%。月季节比率说明类似的情况。

(2)季节变化剔除法

求得季节比率以后，就可以从原序列中消除季节变化的影响，以进一步进行数列的分解。考虑到Y=T*S*C*I=T*S*I，则原始数列就可以转化为趋势比率Y/S=T*C*I，即将趋势比率除以周期S，详见表12.12中的Y、S、Y/S序列。

三、长期趋势的测定方法

测定长期趋势的目的是为了认识被研究对象的总趋势，是持续向上发展，还是趋于下降趋势，或处于基本平稳状态；其次，根据长期持续增加(减少)的具体数量和向上(向下)发展速度，预测未来。长期趋势测定方法主要有回归分析和移动平均等两种方法，现介绍如下。

1.长期变化趋势的回归分解

长期趋势还可以通过回归方程来拟合之，尤其是电脑十分普及的今天。这种趋势方程具有预测功能，可以选择线性趋势和非线性趋势。趋势方程和前文讲过的回归方程十分类似，仅将原来的解释变量由x改为时间t，具体原理不再赘述。这里仅给出Excel软件的具体做法。首先，将表12.7中时间和相应时间的禽蛋产量数据输入计算机，做散点图如下，选择平滑线散点图，横坐标是时间，纵坐标是禽蛋产量y；若单击任一散点，就可见该点右下方有五选项，选择“添加趋势线”，则出现相应图形，其中有线性、对数、多项式、乘幂、指数和移动平均等6种模型，可选择任一模型(本文选择线性模型)。然后单击左上“选项”项，在“显示公式”和“显示R平方值”项目上打钩，其余选择“默认”而不动，单击“确定”就可给出具体的拟合曲线、拟合公式和决定系数R平方值。具体拟合公式为y=1.0658+0.0705*x，决定系数R平方值为0.8328。

图12.2　长期趋势测定示意图

实际上，回归模型是可以选择的，即在以上6种模型中选择决定系数最高的、最合适的模型。有了该模型(公式)以后，可以在Excel软件上，同时计算模型2006年第1季度～2010年第4季度禽蛋产量的趋势(拟合)值(见T序列)和2011年的预测值，并可计算实际值与预测值之间的残差。

图12.3　回归模型趋势线添加示意图

2.移动平均分解法

传统中较多采用逐项移动平均(Moving Averages)方法，移动平均可以消除或减弱时间数列中的不规则变动，从而呈现出现象发展变化的长期趋势。平均移动的项数为K，当K是奇数时，移动平均后的数据直接对准其中间项数；当K是偶数时，则要经过两次移动平均，第一次移动项数往往是其本身周期，第二次移动项数往往是两项，移动平均后的数据可对准其中间项数，具体见表12.9。

表12.9　　　　　　　　　　2006年第1季度—2008年第2季度某禽蛋加工厂产量的二次移动平均

移动平均数测定长期趋势，具有简便、灵活和应用广泛的特点。但是，使用移动平均数应注意如下几点事项。

(1)移动平均数对原数列有修匀或平滑作用，削弱了原数列的起伏跌宕，平滑的时距项数K越大，移动数据平滑修匀作用越强，数据更加平滑。

(2)逐项移动平均的一个关键的问题是取多长时间为宜。假如现象变动有周期性，就以周期长度为移动平均的项数。如一年四个季度或12个月为一周期，就应取四项或12项移动平均。因为只有这样，才能消除周期变动，准确反映长期趋势。

(3)移动平均后所得的修匀数列，比原数列的项数更少。奇数项移动平均所形成的新数列，首尾各少(N—1)/2项(N为移动项数)；偶数项移动平均所形成的新数列，首尾各少N/2项(N为移动项数)。如两年或三年移动平均，首尾各少一项；四年或五年移动平均，首尾各少两项。平均项数越多，失去的信息也越多，所以，移动平均的项数不宜过大。

(4)移动平均有简单移动平均和加权移动平均两类。简单移动平均认为，每期观察值是等权的，而加权移动平均遵循“近大远小”的原则，即中心化移动平均，其权数分布为“中间大两端小”的对称分布，如5期移动平均的权数分布为1、2、3、2、1，或者1、3、5、3、1；权重则为0.1、0.2、0.3、0.2和0.1，或者1/13、3/13、5/13、3/13和1/13等。

(5)移动平均数不具有直接预测功能，若对其进行改进——指数平滑法，就可进行预测。

3.趋势变化剔除法

求得长期趋势以后，就可以从原序列中消除长期趋势的影响，以进一步进行数列的分解。这种趋势值可以是移动平均所得，也可以是通过回归分析所得。考虑到Y=T*S*C*I，则原始数列就可以求得趋势比率Y/S=T*C*I；若该序列已经剔除周期指数，则Y/(S*T)=C*I，就可分解出周期变化的影响。详见表12.12中的T和Y/(S*T)或CI序列。

四、循环波动和不规则变动测定

循环波动难以直接计算，有些教科书将其忽视不计，将季节变化和循环变化合二为一，余下则认为是不规则变动。也有一些教科书认为，用移动平均来获得循环变动，并且可删除不规则变动。这里采用第二种意见。

通过3次移动平均，获得循环变动C序列变量，并将删除季节趋势以后的CI序列，除以循环变量C，最后获得不规则变动变量I，见表12.10中的C和I序列。

表12.10给出了季节模型分解结果，在数据显示屏幕上，从左到右分别是原始序列、季节指数、原始序列与季节指数之比、趋势变动、季节趋势删除、周期(循环)变化和不规则变动。

表12.10　　　　　　　　　　季节模型分解过程及结果

由此可见，时间序列受多种因素影响，季节分解模型认为可将任何时间序列模型分为季节变化趋势、长期变化趋势(T)、周期变化趋势(C)和不规则变动(I)等4种。若将其绘制在一起，可以看到TCI的具体构成。

图12.4　时间序列季节分解模型示意图

五、讨论

此外，寻找长期趋势还有时距扩大法和序时平均法等。前者是当原来的时间数列不能明显地反映现象的变化趋势时，将原时间数列中各期时距扩大，比如从每日扩大到5天或10天，比如从每月扩大到季度，逐一计算各时距内的合计总数，形成一个由总量指标组成的新时间数列，以消除偶然因素的影响，以反映某经济社会现象发展趋势。时距扩大法只适用于时期数列，且要求各时期的时距相等，否则不能相互比较，反映不出长期趋势。

对时点数列而言，由于各期发展水平相加无独立存在的社会经济意义，因此，往往使用序时平均法。该方法是将时距扩大后，逐一计算各时距内的序时平均数，形成一个由序时平均数组成的新的时间数列，消除偶然因索的影响，以反映现象的长期变化趋势。

时距扩大法或序时平均数的计算简单直观，但其扩大时距的标准化程度不够，可以是3项、5项，也可以是10项、12项，因此难以对其进行深入分析，于是对该方法进行适当改造以后，就产生移动平均法。

理论上，计算顺序没有任何关系。先计算T、再计算S、然后计算C；实际上，样本量比较少，可以先计算S，再计算T，然后计算C，但两种计算结果是不一样的。

传统的乘法模型，其具体做法是:

①根据各年的按月资料(Y)进行12个月的移动平均，以求其长期趋势(T)；

②将实际值(Y)除以趋势值(T)得长期趋势比率(Y/T=SCI)；

③将Y/T按月(季)排列，再按月(季)平均求季节比率；

④将季节比率进行适当调整，得到调整以后的季节比率——合计值为4.0或12.0(SC)；

⑤将实际值(Y)除以趋势值(T)，再除以季节比率(SC)，得随机变动值(I)。