时间数列分析水平指标

对时间数列的分析包括水平分析和速度分析。水平分析是速度分析的基础，速度分析是水平分析的深入和继续。时间数列分析的水平指标主要有发展水平、平均发展水平、增长量、平均增长量。

发展水平是指时间数列中每一项具体指标数值。它反映现象在一定时期内或时点上的规模或水平。它既可以是总量指标，也可以是相对指标或平均指标。对发展水平的描述习惯用“增加到”“增加为”“降低到”“降低为”等来表述。

发展水平指标根据在动态分析中所处的地位，可分为最初水平、最末水平、中间水平等。最初水平是时间数列中第一项指标数值，用a₁表示；最末水平是时间数列中最后一项指标数值，用a_n表示；中间水平是位于最初水平与最末水平之间的指标数值。

发展水平根据在动态分析中的作用，可分为报告期水平和基期水平。其中，报告期是指当前研究分析的时期，基期是指与报告期对照比较的时期，对应的水平指标就称为报告期水平和基期水平。

平均发展水平也称为序时平均数、动态平均数，是将动态数列中各个时期（或时点上）的指标数值加以平均而求得的平均数。平均发展水平用来反映现象在一段时间发展变化所达到的一般水平。

知识链接

序时平均数与算术平均数的比较

序时平均数与算术平均数都是将现象的个别数量差异抽象化了，说明现象在数量上达到的一般水平。二者的区别如下：

（1）计算的依据不同。前者是根据时间数列计算的；后者则是根据变量数列计算的。

（2）思考问题的角度不同。前者是将整个总体在时间中的变动抽象化；后者则是将总体各单位之间的数量标志的差异抽象化。

（3）说明的内容不同。前者表明整个总体在不同时期内的一般水平；后者则表明整个总体内部各单位的一般水平。

对于不同的时间数列，平均发展水平的计算方法也不同。

（1）时期数列平均发展水平的计算

由于时期数列具有可加性，可采用简单算术平均数法求平均发展水平。其计算公式为：

其中：——平均发展水平

a_i——各时间的发展水平

n——时间序号

（2）时点数列平均发展水平的计算

由于时点数列的特性，此时不能再简单地用算术平均数公式求平均发展水平。时点数列根据登记的时间是否为1天又分为连续时点数列和间断时点数列。

① 连续时点数列平均发展水平的计算

如果动态数列中的数据资料是逐日（或间隔相等）登记的，可用简单算术平均法计算平均发展水平。即

其中：——平均发展水平

a_i——各时间的发展水平

n——时间序号

如果动态数列中的数据资料虽然逐日登记，但只在指标值发生变化的时候才登记，可采用加权算术平均法计算平均发展水平。其计算公式为：

其中：——平均发展水平

a_i——各时间的发展水平

f_i——各时点指标值持续不变的时间

【例4-1】

某物流企业5月份每日实有职工人数如表4-6所示。

表4-6 某物流企业5月份每日实有职工人数

则该物流企业平均每日实有人数为：

② 间断时点数列平均发展水平的计算

间断时点数列是指每隔一段时间（一个月、一年）对现象登记一次，并按登记时间的先后顺序排列而成的数列。对间断时点数列求序时平均，求得的平均数只是近似值，并不是准确值。因为在计算时假定本期末的时点指标值和下期初的指标值相同，且在两个时间点之间指标值是均匀变化的。

计算间断时点数列平均发展水平的方法是：先求各间断点之间的平均，再对各间断点之间的平均求平均。

若间断时点数列是等间隔的，则该数列的平均发展水平的计算公式为：

该方法简称为“首末折半法”，即各指标值求和，首尾两项各折半，项数－1。

【例4-2】

某物流企业2014年3～6月末某货物库存资料如表4-7所示。求这3～6月末的月平均库存量。

表4-7 某物流企业2014年3～6月末某货物库存资料

假定本期末的时点指标值和下期初的指标值相同，则该物流企业4月初的库存量为66百件，4月末的库存量为72百件；同时假定两个时间点之间指标值是均匀变化的，即4月份的库存量是由66百件均匀变化为72百件，则4月份的平均月库存量为（66+72）/2＝69百件。

同理，可算出5月份的月平均库存量为（72+64）/2＝68百件，6月份的平均月库存量为（64+68）/2＝66百件。

则该物流企业4、5、6月份的月平均库存量为：

若间断时点数列是不等间隔的，可用时间间隔长度 为权数加权计算其平均发展水平。计算公式为：

【例4-3】

某物流企业2013年职工人数资料如表4-8所示。

表4-8 某物流企业2013年职工人数

由时点数列的假定可知，该物流企业1～5月份月平均职工人数为（362+360）/2＝361人，6～8月份月平均职工人数为（360+416）/2＝388人，9～12月份月平均职工人数为（416+420）/2＝418人，则该物流企业2013年度月平均职工人数为：

相对数有静态相对数和动态相对数之分，这里主要介绍静态相对数时间数列平均发展水平的计算方法。

相对数一般没有直接可加性。不过，相对数时间数列是由相应的两个绝对数时间数列对比派生出来的，故可先分别计算这两个绝对数时间数列的平均发展水平，然后再将这两个平均发展水平对比，即得到相对数时间数列的平均发展水平。其计算公式为：

其中：——相对数时间数列的平均发展水平

——子项绝对数时间数列的平均发展水平

——母项绝对数时间数列的平均发展水平

【例4-4】

某物流运输企业2013年第三季度各月货运量资料如表4-9所示。

表4-9 某物流运输企业2013年第三季度各月货运量

则该物流运输企业2013年第三季度货运量的月平均计划完成程度为：

平均数时间数列有静态平均数时间数列和动态平均数时间数列之分，其平均发展水平的计算方法是不同的。

静态平均数是由标志总量与总体总量对比得到的，也是两个总量指标对比的结果。因此，静态平均数时间数列的平均发展水平仍可用式（4-5）进行计算。

动态平均数时间数列的平均发展水平的计算分两种情况：若时间数列中各指标的时间长短一致，可用简单算术平均法计算；若时间数列中各指标的时间长短不一致，则以时期长度为权数计算加权算术平均数。

增长量是报告期水平与基期水平之差，用以反映社会经济现象在一定时期内增长（或减少）的绝对量。其计算公式为：

当报告期水平大于基期水平时，增长量为正值，表示社会经济现象水平的增加；当报告期水平小于基期水平时，增长量为负值，表示社会经济现象水平的下降。有些现象以正增长量为好，如运输量增加；有些现象则以负增长量为好，如成本降低。

根据所选择基期的不同，增长量可分为逐期增长量和累计增长量。

逐期增长量是报告期水平与其前一期水平之差，说明现象逐期增加的数量。若动态数列为a₁、a₂、…、a_n，则逐期增长量为：

a₂-a₁，a₃-a₂，…，a_n-a_n-1

累计增长量是报告期水平与一固定时间（如最初期）水平之差，说明某一时期内的总增长量。其计算公式为：

累计增长量＝报告期水平 基期（最初）水平

若动态数列为a₁、a₂、…、a_n，则逐期增长量为：

a₂-a₁，a₃-a₁，…，a_n-a₁

观察逐期增长量和累计增长量的计算公式可以发现，在同一动态数列中，二者存在以下关系：

（1）逐期增长量之和等于相应时期的累计增长量，即：

（2）两相邻时期的累计增长量之差等于相应时期的逐期增长量，即：

平均增长量是逐期增长量的序时平均数，是现象在观察期内平均每期增长的数量。若动态数列为a₁、a₂…a_n，则平均增长量的计算公式为：

其中：n——观察值的个数

注意

由于累计增长量和逐期增长量之间存在的关系，平均增长量可以用逐期增长量求平均得到，也可以由最后一期的累计增长量求得；由于观察值个数为n，则间隔时间段为n-1。