计算动态数列水平指标

反映现象发展变化水平的指标有：发展水平、平均发展水平、增长量和平均增长量四种。

发展水平就是动态数列中的每项指标数值，具体反映了某种社会经济现象在不同发展时期或时点上实际达到的水平，它是计算各种动态分析指标的基础。发展水平既可以是总量指标，也可以是相对指标或者平均指标。

发展水平按在动态数列中的位置不同，把第一项称为最初水平，通常用a0表示；最后一项称为最末水平，通常用an表示；其余中间各项称为中间水平，分别以a1，a2，…，an－1表示。

发展水平按在动态分析中的作用不同，将被研究时期的发展水平称为报告期水平或计算期水平，通常用ai表示；将作为比较时期的发展水平称为基期水平或基础水平，通常用a0或ai－1表示。

平均发展水平是根据数列中不同时期（或时点）上的发展水平计算的平均数，属于动态平均数或序时平均数。平均发展水平和前述的一般平均数（静态平均数）有相同之处，但也存在区别，具体表现为：静态平均数是根据变量数列计算的，而动态平均数是根据动态数列计算的；静态平均数是将总体各单位在同一时间上的标志值差异抽象化，从时间截面反映总体的一般水平，而动态平均数是将总体在不同时间上的指标数值差异抽象化，从时间过程上反映总体的一般水平。它们的相同之处在于，都是把个别数量的差异抽象化，反映现象的一般水平。

平均发展水平在动态分析中具有重要的意义，它可以把时间长短不等的总量指标由不可比变为可比，并消除现象在短期内波动的影响，便于观察发展变化趋势和规律性。

动态数列的发展水平可以是绝对数，也可以是相对数或平均数，因此，平均发展水平可以根据绝对数动态数列计算，也可以根据相对数或平均数动态数列计算。其中，由绝对数动态数列计算平均发展水平是最基本的方法。

（一）根据绝对数动态数列计算平均发展水平

绝对数动态数列分为时期数列和时点数列两种，由于它们具有不同的性质和特点，因而在平均发展水平的计算方法上也不一样。

1. 依据时期数列计算

由于时期数列的各项指标数值可以相加，所以，依据时期数列计算平均发展水平可采用简单算术平均法。其计算公式为：

ai——各期发展水平（i=1，2，3…，n）；

n——数列项数。

例5-1　某企业2010年四个季度的销售额资料如表5-4所示。

表5-4　某企业2010年销售情况

则该企业2010年各季度平均销售额为：

2. 依据时点数列计算

时点数列有连续时点数列和间断时点数列之分，这两种时点数列中又有间隔相等与间隔不等两种表现形式。

1）连续时点数列的平均发展水平

连续时点数列是指一段时间中每日的时点指标数值都能够获知的动态数列。它有两种情况，一是数列中的各项指标数值为逐日登记、逐日排列的；二是数列中的各项指标数值非逐日登记、逐日排列，只在发生变动时进行统计，或者连续几日不变时同时给出。通常将前者称为间隔相等的连续时点数列，后者称为间隔不等的连续时点数列。

（1）间隔相等的连续时点数列。

间隔相等的连续时点数列平均发展水平的计算采用简单算术平均法，即将每日的时点指标数值加总之后除以总日历天数。计算公式为：

式中，ai——逐日给出的时点指标发展水平。

例如，已知某企业一个月内每天的工人数，如果计算该月每天平均工人数，则将每天工人数相加之和除以该月的日历天数即可求得。

（2）间隔不等的连续时点数列。

间隔不等的连续时点数列平均发展水平的计算采用加权算术平均法。

式中，ai——给出的各项时点指标数值；

f——给出的各项时点指标数值连续出现天数。

例5-2　某企业某年一月份产品库存额变动情况如表5-5所示。

表5-5　某企业某年一月份产品库存额变动

则该企业该年一月份平均产品库存额为：

2）间断时点数列的平均发展水平

间断时点数列是指只能获知一段时间中一部分日期的时点指标数值的动态数列。它有两种情况，一是数列中相邻两项指标数值之间的时间间隔长度都大致相等，如都间隔一个月、一个季度或者一年等；二是数列中相邻两项指标数值之间的时间间隔长度不完全相等，如有的间隔一个月而有的间隔三个月。通常将前者称为间隔相等的间断时点数列，后者称为间隔不等的间断时点数列。

（1）间隔相等的间断时点数列。

间隔相等的间断时点数列平均发展水平的计算公式为：

利用这种方法计算平均发展水平有一个前提条件，即假定现象在相邻两个时点之间的发展变动是均匀的。首先以每一小段的中间值代表该小段的平均水平，然后再计算各小段平均水平的简单算术平均数，得到整个被研究时期的平均发展水平。这种方法称为“首尾折半法”。

例5-3　某企业某年第一季度工人人数资料如表5-6所示。

表5-6　某企业某年第一季度工人统计

则该企业第一季度平均工人数为：

（2）间隔不等的间断时点数列。

间隔不等的间断时点数列平均发展水平的计算公式为：

式中，fi——各相邻时点指标数值的时间间隔长度（i=1，2，3，…，n－1）。

这里计算所遵循思想与间隔相等的间断时点数列相似，只是计算各小段平均水平的平均数时采用的是加权算术平均法，权数为各相邻时点指标数值之间的时间间隔长度。

例5-4　某企业2011年工人人数资料如表5-7所示。

表5-7　某企业2011年工人人数统计

则2011年该企业平均工人人数为：

从理论上讲，在计算时点数列平均发展水平的四种方式中，以第一种为最优，其准确性最高，但在实际工作中往往受客观条件的限制；第三种使用的最多、最为普遍，因为它适用于我国的定期统计制度；第四种有时使用，主要适用于非定期的专门调查。

（二）根据相对数动态数列计算平均发展水平

相对数动态数列是由具有互相联系的两个绝对数动态数列对比构成的，因此，要先分别计算出分子数列和分母数列的平均发展水平，然后将两者进行对比，求出相对数动态数列的平均发展水平。相对数动态数列平均发展水平计算公式为：

由于相对数动态数列可由两个时期数列、两个时点数列或由一个时期数列和一个时点数列对比形成，而时期数列与时点数列的平均发展水平的计算方法又不同，所以相对数动态数列的平均发展水平计算分为以下三种情况：

（1）分子数列、分母数列均属于时期数列的相对数动态数列，其平均发展水平的计算公式为：

例5-5　某企业2011年某种产品产值计划完成情况如表5-8所示。

表5-8　某企业2011年某种产品产值计划完成情况

计划完成程度数列是相对数动态数列，是由实际产值数列和计划产值数列这两个时期数列对比计算出来的。

则该企业2011年产品产值的平均计划完成程度为：

（2）分子数列、分母数列均属于时点数列的相对数动态数列，其平均发展水平的计算公式因数列的不同情况而有所不同。但在实际工作中最常见的是间隔相等的间断时点数列对比而成的相对数动态数列，其平均发展水平的计算公式为：

例5-6　某企业2011年第一季度职工人数及工人数资料如表5-9所示。

表5-9　某企业2011年第一季度各月初职工人数与工人数统计

工人占全部职工比重动态数列是一个相对数动态数列，由工人数数列和全体职工数数列这两个时点数列对比而得，这里分子数列和分母数列都属于间隔相等的间断时点数列。

则该企业2011年第一季度工人数占全部职工数的平均比重为：

（3）分子数列、分母数列中一个是时期数列而另一个是时点数列的相对数动态数列，其平均发展水平的计算公式为：

例5-7　某百货公司2011年第一季度各月商品销售额、库存额和商品流转次数资料如表5-10所示。

表5-10　某百货公司2011年第一季度商品流转次数计算

商品流转次数动态数列是一个相对数动态数列，由商品销售额数列和月末库存额数列对比所得到，它们分别属于时期数列和间隔相等的间断时点数列。

则该公司2011年第一季度平均每月商品流转次数为：

（三）根据平均数动态数列计算平均发展水平

平均数有静态平均数和序时平均数之分，如果平均数动态数列由静态平均数组成，其平均发展水平的计算方法与相对数动态数列的计算方法完全相同；如果平均数动态数列由序时平均数组成，其平均发展水平需要根据不同情况采用不同方法计算。

当动态数列中各序时平均数的计算时期或间隔相等时，可用简单算术平均法计算，即：

当动态数列中各序时平均数的计算时期或间隔不等时，可用加权算术平均法计算，即：

增长量又称增减量，是现象在一定时期内发展水平的绝对增减量，即报告期水平与基期水平之差。它说明某种社会经济现象报告期水平比基期水平增加（或减少）了多少，其计算公式为：

增长量=报告期水平－基期水平

当报告期水平大于基期水平时，计算结果为正值，表示现象水平的增加；当报告期水平小于基期水平时，增长量为负值，表示现象水平的减少，有时又称负增长。有些现象的变化以正值增长量为好，如产值、利润等；有些现象则以负值增长量为好，如成本、费用等。

增长量由于在比较计算时采用的基期不同，分为累计增长量和逐期增长量两种。

累计增长量是指现象报告期水平与某一固定基期水平之差，说明报告期水平较某一固定基期水平的绝对增减量。固定基期往往就是最初期，固定基期水平往往就是最初水平a0。

则动态数列a0，a1，a2，…，an各期累计增长量用符号表示分别为：

a1－a0，a2－a0，…，an－a0

逐期增长量是指现象报告期水平与前一期水平之差，说明报告期水平较前一期水平增减的绝对量。

用符号表示分别为：

a1－a0，a2－a1，…，an－an－1

累计增长量与逐期增长量之间具有两方面的数量关系：一是某一时期累计增长量等于之前各时期的逐期增长量之和；二是后一时期累计增长量与前一时期累计增长量之差等于后一时期逐期增长量。用公式表示分别为：

an－a0=（a1－a0）+（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an－1）

am－am－1=（am－a0）－（am－1－a0）

现以我国“八五”期间钢产量的资料为例加以说明（见表5-11）。

表5-11　我国“八五”期间钢产量增长情况

在实际工作中，为了消除季节变化的影响，常常要计算年距增长量指标，它是用本年某季（月）的发展水平减去上年同季（月）发展水平所得的差额，其计算公式如下：

年距增长量=本期发展水平－上年同期发展水平

例5-8　某市今年1月份毛线的零售额为2 000万元，去年1月份为1 800万元，则年距增长量为：2 000－1 800=200（万元）

平均增长量又称平均增减量，是指现象在若干连续时期内平均每期增减变化的数量，即各期逐期增长量的序时平均数。它说明现象在若干连续时期内每期增减变化的一般水平，其计算公式为：

例5-9　根据表5-10所示的资料计算我国“八五”期间钢产量平均每年增长量为：