中学数学思维方法

第二节　中学数学思维方法

数学思维方法是指数学思维过程中运用的方法，它们分别是观察与实验；比较、分类与系统化；演绎、归纳与数学归纳法；分析与综合；抽象与概括；一般化与特殊化；模型化与具体化；类比与映射；联想与猜想等。这些方法是数学思维操作的基本手段，它们和思想内容、思维形式以及思维品质相互联结，是数学思维结构的主要成分。从这些方法的性能考察，其中有些侧重于探索、猜想或发现性，属于非严格的似真推理范畴，另一些侧重于求解、论证或整理性，属于严格的逻辑推理范畴。

一、观察

观察是人们为了认识事物的本质和规律，通过感觉器官或同时借助于一定的科学仪器，有目的、有计划地考察、描述各种自然现象自然发生的一种方法。它以感知为基础，常和思维结合在一起。

观察法是数学思维过程必需的和第一位的方法，数学中许多重要的发现都源于实际观察。例如人们熟知的等量公理，就是从对现实世界数量关系的长期观察和计算中，经过分析得出的结论。就连被誉为“纯粹之皇冠”的数论也是在观察基础上发展起来的一门科学。

进行观察要注意三点：一是要有意识、有目标，处处留心；二是要有基础，有必要的相关知识，否则难以看出“门道儿”；三是要有方法，要抓住要领，尤其要特别注意从个别中想到一般，从平常中发现异常。

二、实验

实验是人们根据一定的研究目的，运用一定的物质手段，在人为地控制或模拟自然现象的条件下，使自然过程或生产过程以纯粹的、典型的形式表现出来，暴露它们在天然条件下无法暴露的特征，以便进行观察、研究、探索自然界的本质及其规律的一种研究方法。

任何实验都和观察相联系，观察是实验的前提，实验是观察的证实和发展。

在数学中，解决某些实际问题时的想象实验性推理，就属于思想实验的运用。

三、比较

比较是确定有关事物的共同点和不同点的思维方法。数学中的比较是多方面的，包括量的大小比较，形式结构和关系的对比，数学性质的比较等。在解题过程中，它既是一种整体的思考方法，也经常在各个局部加以运用。从数学概念的发展、命题的推演或证明到数学问题的解决，都渗透着比较方法的运用。

四、分类

分类是以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方法。分类原则是：既不重复，又不遗漏。其标准有：

（1）依据数学概念的内涵，按有无此属性分类；（2）依据定理、公式、法则适用范围的限制，按限制与突破限制分类；（3）依据图形相对位置的变化，按变化的“临界位置”分类；（4）依参数的变化，按变化使结论产生“质变”的临界值分类。

分类讨论的一般步骤是确定分类标准、恰当分类、逐类讨论及归纳结论。

分类讨论问题时要注意：①识别讨论的情境，确认讨论的对象，是分类讨论的前提；确定分类的标准是分类讨论的关键；逐类严密地讨论是分类讨论的主体。②数学概念的内涵、公式法则适用的限制、图形相对位置的变化、参数取值的变化是确定分类标准的主要依据，思想的整体意识是正确分类讨论的保证。

五、系统化

系统化是在分类的基础上，把整体中各个部分的相关性按照某种顺序组成体系的思维方法。它能以不同的侧面揭示客观事物之间及其内部的错综复杂性，能反映客观世界的整体性和统一性。但是客观事物的本质具有不同的层次，因此系统的表述对于某一整体而言不是唯一确定的，通常需要由思维的目的和研究的角度来决定。例如数学中的各种概念系统、性质系统、公式系统、方法系统就是具有以不同的分类标准构成的不同的系统。

六、演绎

演绎是由一般性较大的前提，推出一般性较小的结论的推理方法，也是由一般到特殊的思维方法。运用演绎思维进行推理，其依据是已知的事实或真命题，推得的结果就一定正确，因此演绎方法是数学证明过程中经常使用的严格推理方法。它侧重于求解和论证，对训练技能、技巧有很大的作用。

演绎推理结构由三个判断组成，通称“三段论”，是由大前提、小前提及结论构成的。“三段论”中的三个判断，每个判断中都含有两个概念，称为名词，每个名词在“三段论”中各重复两次，所以有三个独立的不同的名词出现，这是“三段论”的特点，也是演绎推理的特色。其推理反映命题的一个因果关系，大、小前提是“因”，结果是“果”。

演绎推理不论采用何种形式，除前提必须正确外，还必须注意前提对于结论而言的充分性和必要性，否则还会产生错误的结论。

七、归纳

归纳是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律的方法。

波利亚指出：归纳过程的典型步骤为：首先找到某些相似性；然后是一个推广的步骤，即把所说的相似性推广到一个明确表述的一般命题；最后，我们又应对所得出的一般命题进行检验。例如凸n边形内角和定理就可由归纳法加以证明。

但是数学史上有很多由于运用归纳法而导致错误结论的例子，即使是数学大师也不例外。著名数学家费尔玛曾考察过形如2²ⁿ＋1的数（n∈N）均为素数。但是欧拉不久发现：当n＝5上式的结果是4294967297，其中641就是它的一个因数，即2²⁵＋1不是素数，从而推翻了费尔玛的结论。

尽管由归纳法所得的结论未必可靠，可它具有由特殊到一般、具体到抽象的认识功能，对于科学的发展是十分有用的。这正如高斯所说，他的定理许多是靠归纳法发现的，证明只是一个补行的手续。

归纳法往往对研究对象无限的问题就不能保证其正确性，因此需要一种新的方法来解决问题，数学归纳法就是这样的一种方法。

八、数学归纳法

数学归纳法是用来证明与自然数有关的数学命题的一种方法。通过“有限”步骤，证明对“无限”多个自然数都是正确的。证明步骤：①当n取第一个值n₀时，某个论断成立；②假设当n＝k时某论断是正确的，证明当n＝k＋1时，论断也是正确的。从而可以肯定这个论断对于n≥n₀的所有自然数都成立。

其第一步证明，也叫奠基步，是递推的基础，它解决了矛盾的特殊性。第二步证明是递推的依据，两步缺一不可。它是必然性的推理方法。

演绎与归纳从辩证观点来看，两者是相辅相成、对立统一的，演绎必须以归纳为基础，否则就无法发现更高层次的新知识；归纳要以演绎为指导，归纳的结果往往用演绎推理来证明。归纳和演绎的互相渗透，在数学归纳法中体现得最明显。数学归纳法中的两个步骤，固然是归纳推理，但在每一步之中，其中的证明过程又是演绎推理了。

九、分析与综合

分析与综合是数学思维的两种基本方法，是其他数学思维方法的基础。它们在数学思维过程中以三种不同的形式出现。

首先，分析是把研究对象分解为它的各个组成部分，然后对这些组成部分分别加以研究，从而认识事物的本质和规律的一种思维方法。例如，为了系统地、深入地理解圆锥曲线的性质。我们按离心率e的取值范围将其分为椭圆、双曲线和抛物线，逐一研究各自的性质，继而分析它们之间的联系和区别。综合是把研究对象的各个组成部分联系起来加以研究，从而在本质上把握事物的性质和规律。例如将椭圆、双曲线和抛物线的性质及相互关系统一进行研究，挖掘共同属性，得到圆锥曲线最本质的内容：到定点和定直线的距离之比是常数的点的轨迹。

其次，分析法还是特指从结果追溯到产生这一结果的原因（执果索因）的一种思维方法，而综合法则是一种从原因推导到由原因产生结果（由因导果）的思维方法。在这种意义下，解答应用题时，算术方法体现的是综合，而代数方法体现的是分析。

十、抽象和概括

抽象是把研究的事物从某种角度看待的本质属性抽取出来进行考察的思维方法。也即把大量生动的关于现实世界空间形式和数量关系的直观背景材料，进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和制作，从而提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论的过程。数学中的概念、关系、定理、方法、符号等都是数学抽象或再抽象的思维结果。抽象性是数学科学的本质特点之一，因此抽象思维是数学学习的基础之一。在数学教学中，抽象思维方法的训练可以从具体事物或实际问题的数学抽象做起，逐步提高抽象度，逐步发展抽象思维能力。

我们以著名的哥尼斯堡七桥问题来对抽象和概括方法进行一下直观认识。

18世纪东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格尔河，这条河有两条支流，在城中心汇成大河，中间是岛区。河上有七座桥，问能否从某地出发，经过每一座桥一次且仅一次，然后返回出发地？

思考方法：数学中的图论，最早就开始于哥尼斯堡七桥问题，这个问题很长时间没有得到解决，后来在1736年瑞士数学家欧拉利用数学抽象方法，成功地作出了解答。具体地说，欧拉敏锐地看到，整个问题与所走路程的长度无关；而且，岛区与河岸无非就是桥梁的连接地点。因此，欧拉把两个岛和河两岸抽象为四个点，把七座桥抽象为七条线。这样七桥问题便等价于一笔画出如下图所示的问题。

哥尼斯堡七桥问题

由此可看出，数学抽象具有三个显著的特征：首先，数学抽象有着明确的目标，都是撇开对象的具体内容，仅仅保留空间形式或数量关系；其次，数学抽象适用的范围广泛，既有以提炼数学概念为基本目的的表征性抽象，又有旨在探索数学理论的原理性抽象；再次，数学抽象有着丰富的层次，不仅表现为直接从现实世界中抽出相应的空间形式和数量关系，而且还表现为在已有数学知识的基础上，抽象新概念，建立新理论。

概括是把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法。概括要以抽象为基础，它是抽象的发展。抽象度愈高，则概括性愈强，将概括中获得的概念和理论运用于实际时，其迁移范围就更广。也就是说，高度的概括对事物的理解越具有一般性，则获得理论或方法就越有普遍的指导意义。

抽象和概括是密不可分的。抽象可以仅涉及一个对象，而概括则涉及一类对象。以不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象，即不同的属性。而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同的相通性质，抽象思维则侧重于分析、提炼。概括思维则侧重于归纳、综合。数学中的每一个概念都是对一类事物的多个对象进行观察和分析，抽象出每个对象的各种属性，再通过归纳，概括出各个对象的共同属性而形成的。在解决数学问题方面，得出数学的模型、模式，总结出解题的规律和方法都是通过分析、比较、抽象、归纳等思维环节，最后进行理论概括的结果。

十一、特殊化与一般化

梅森是英国开放大学数学教学系的主任，他集中研究了数学中的特殊化和一般化方法及其在解题过程中的作用。他指出特殊化与一般化正是数学思想的核心，同时也是怎样解题的关键所在。

特殊化通常是指考虑一般性命题的特殊例子，或如波利亚所说：“是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集，或仅仅一个对象。”

特殊化的思维作用包括以下两个方面：

（1）演绎作用。通常可将研究问题或对象看成一般性问题或对象，按照增加约束条件，取其局部或个别情形进行考察等方式得出特殊性问题或对象。这样的特殊化是演绎的形式之一。例如由多边形得出三角形或四边形；由整数推向奇数或偶数；由变量换成常量；将非严格不等式换成等式；由命题“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”，推出命题“如果三条平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等”等都是特殊化的结果。

（2）通过对特殊和个别的分析去寻求一般，以获得关于所研究对象的性质或关系的认识，找到解决问题的方向、途径或方法。这就是解题时的“以退求进”的思维方法。通常采用的“极端化原则”，特例、反例分析法等都属于这个范围。

一般化是把研究问题或对象从原有范围扩展到更大范围进行考察的思维方式。它是一种特殊的概括，是将个别事物或对象推广到更普遍的情形。在数学中我们经常通过改变条件、用变量去取代常量等来获得更一般的结论。

相对特殊化而言，一般化是较为困难的，然而一般化又是数学创造的基本形式，因为数学认识的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实或规律。尽管特殊化与一般化是在两个相反的方向上进行的，但是这两者在实际的数学研究中又是密切相关、互相依赖的。

十二、模型化与具体化

模型化或模型方法是通过抽象、概括和一般化，把研究的对象或问题转化为本质（关系或结构）同一的另一对象或问题加以解决的思维方法。通常把被研究的对象或问题称为原型，而把转化后的相对定型的模拟化或理想化的对象或问题称为模型。模型化思想强调事物的整体性和本质同一性，因此所建的模型必须能真实反映原型的整体结构、关系或某一过程、某一局部、某一侧面的本质特征和变化规律。总体上可分为实物模型和思想模型两大类，表现形式多种多样，如数学模型、物理模型、逻辑模型、图形模型、功能模型等。其作用在于使研究对象的处理典型化、形式化和精确化，从而在认识方法上也起到清晰化、简洁化的作用。

数学模型是针对或参照某种事物系统的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。它是从现实世界中抽象出来的，是对客观事物的某些属性的一个近似的反映。模型与现实的关系可用下图形象地加以说明。

模型与现实的关系图

欧拉对七桥问题的巧妙解决，是通过构造数学模型来实现的：七桥问题是一个具体的实际问题，属于数学模型的现实原型，经过理想化抽象所得到的一笔画问题，便是七桥问题的数学模型。这种只反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，属于狭义上的数学模型。在现代应用数学中，数学模型都作狭义的解释，构造数学模型的目的，主要是为了解决具体的实际问题。

从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系，各种数学公式，各种方程式，各种函数关系以及由公式系列构成的算法系统等，都可称为数学模型，因为它们都是从各自相应的现实原型中抽象出来的。

在利用数学模型方法求解时，需要多方面的能力，如理解实际问题的能力，数学抽象能力，运用数学工具的能力，通过实践加以验证的能力等。为此，在平时的学习中，应当多接触一些实际问题，多了解一种相关的学科知识。

十三、类比与映射

类比是一种间接推理的方法，也是一种科学研究的方法。它以比较为基础，首先对两个不同对象的某些属性进行比较（从特殊到特殊），找出它们的相似点或近似程度，然后再联想或预见。在解决数学问题的过程中，为了寻找解题的线索往往借助于类比的方法，在将陌生对象和熟悉对象、未知规律和已知规律对比之后，常常能达到触类旁通，举一反三的效果。这种类比多种多样，因而往往是含糊的，但它却是提出新问题和获得新发现的一条重要途径。常用的类比有：平面与空间的类比、数与形的类比、有限与无限的类比、新问题与典型例题的类比、数学模型的类比等。

由于类比思想的逻辑是充分的，它是有必然性的。所以类比显然不能作为一种严格的数学证明方法，但它却可以帮助人们建立猜想，在困难的条件下，为了寻找解题的线索常常要借助于类比，正如康德所说“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指导我们前进”。数学家多是运用类比法的能手，欧拉曾说：“类比就是大胆创造。不过，你应该首先找到双方的相似属性。”

映射是关系（R）、映射（M）与反演（I）的简称（缩写为RMI原则），笼统地说，它是指在两类数学对象或两个数字集合的元素之间建立某种“对应系统”。利用RMI原则解决问题的过程如下图所示：

RMI原则解决问题的过程

仔细观察和思考上图中所示的模式，不难发现RMI原则在数学中是很带普遍性的思考方法。中学数学中经常使用的七种基本方法：直角坐标法、极坐标法、复数法、参数法、对数法、换元法和向量法，可以说都是RMI原则的具体运用。下面我们两个例子看一下RMI原则的具体应用。

映射方法的认识依据是两个关系系统的对应相似，而类比方法则侧重于性质上相似。两种方法之间是不存在交叉的，例如数形转化既是一种映射方法的体现，也是一种类比方法的运用。

RMI原则的思维作用有两个方面：其一是能在数学学习和研究中用来加深对知识或方法的理解，发挥探索数学新知识，指导数学研究和发现的作用；其二是能在数学解题中起到开拓思路，使问题的解决达到由难化易、由繁化简的目的。

十四、联想与猜想

联想是由一个事物想到与其相关的另一个事物的思维过程，是一种由此及彼的思维方法，是直觉思维的一个重要方式。它在数学发现过程中有着广泛的应用，并发挥着重要的作用。数学思维活动中常见的联想有逆向联想、定向联想、类比联想、形似联想、相关联想等。

人们通过联想，使旧问题的解法重现，在解决旧问题方法的启发下，人们在开始动脑筋创造新问题的方法。因此旧方法是形成新方法的前提，新方法是发现旧方法的发展，而联想则是发现的中介。广泛的联想可以使我们的智慧插上矫健的翅膀在知识的天空中自由翱翔；广泛的联想可以为我们的数学发现活动开拓出五彩缤纷的道路。

那么遇到问题时，我们从哪几个方面去联想呢？我们应从概念上联想；从特殊与一般的关系上去联想；从条件与结论的因果关系上去联想；从数形结合上去联想；从待证命题去联想相近的已证命题；从解题的典型方法去联想；从命题的条件或结论进行逆向联想；还可以从相邻学科进行联想；由空间图形联想到平面图形；几何问题联想到三角方法、解析方法；三角问题联想到几何方法、代数方法等。

猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识作出符合一定的经验与事实的推理性想象的思维方法。它是一种合情推理，属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程。数学猜想就是指依据某些已知事实和数学知识，对未知量及其关系所作出的一种似真推理。

现代认知理论认为，学习是主体主动的意义建构活动，是主体在头脑里建立和发展数学认识结构的过程，是数学活动及其经验内化的过程。因此猜想是在建构活动中，主体的数学认知结构对当前面临的过程，它使外部知识与内部创造的不平衡达到暂时的平衡。思辨中缺少了猜想，数学材料就不能形成主体的心理意义，从而造成意义建构失败。所以猜想是构建数学认知结构时主体思辨活动的关键一步。从另一侧面，猜想能促进知识的同化和顺应的进行，加速知识的发生和迁移。

猜想既有一定的科学性，又有一定的假定性，这一层面上仅仅反映出猜想思维的敏捷性、灵活性以及批判性。费尔玛猜想是一个举世闻名的例子。费尔玛是从毕达哥拉斯方程x²＋y²＝z²的整数解问题出发，于1637年前后提出的猜想：将毕氏方程中指数2改为正整数n，当n≥3时，相应的方程没有正整数解。

后来被英国数学家维尔斯证实了该猜想的正确性，这使得维尔斯获得沃尔夫数学奖。这一成果被认为是20世纪最重大的数学成就。又例如费尔玛关于形如2²ⁿ＋1的数是素数的猜想，后被欧拉用n＝5的反例所否定。希尔伯特23个问题中提出的假想或猜测等都是数学猜想的著名例子，其中有些猜想是正确的，有些猜想已被数学家所否定，有些则至今仍未得到解决。

上海师范大学胡炯涛先生把猜想分为五种基本形式：探索性猜想、归纳性猜想、类比性猜想、试验性猜想和构造性猜想。浙江师范大学任樟辉先生把猜想分为：类比性猜想、归纳性猜想、探索性猜想、仿造性猜想和审美性猜想。这两种分类依据是实现数学猜想的途径和方法。若以猜想的结论或解题途径是否唯一，可将猜想分为线性猜想与非线性猜想。

面对一个数学猜想，我们可以从两个方面进行思考：通过演绎推理证明此猜想为真，或找出反例说明此猜想为假，从而否定或修正此猜想。从一定意义上讲，数学地思维就意味着猜想的产生。