中学数学逻辑思维

第一节　中学数学逻辑思维

恩格斯曾经指出，关于思维的科学，是一种历史的科学，是关于人的思维的历史发展的科学。形式逻辑正是如此，我们为了进一步认识中学数理逻辑的对象和意义，了解一下形式逻辑的发展简史是很有必要的。

早在两千多年以前，伴随着生产实践、自然科学和思想论战的发展，以思维和论辩的方法为研究对象的逻辑学就在中国、印度、希腊逐步产生了。不过，当时它还不是一门独立存在的科学，而是在哲学的怀抱里抚育成长的，它经历了一个漫长的过程从哲学中分化出来，并逐渐走向成熟。

一、东方的古典逻辑

东方的古典逻辑以中国和印度为代表。古代中国是逻辑学的发源地之一。春秋战国时期，有不少学派、学者研究过属于逻辑学方面的问题，主要表现在墨子与墨家学派、惠施、公孙龙、荀况等人的著作和言论中。其中，以《墨经》对逻辑学的贡献最为卓著。《墨经》包括《经上》《经下》《经说上》《经说下》《大取》《小取》共六篇，内容涉及概念、判断、推理、证明以及思维规律等方面。其中，《经上》《经说上》《经下》和《经说下》含有丰富的数学概念和几何学问题，含有深邃的数学哲学思想和理论，包含有严密的逻辑概念和推理，分析和论证，构成了丰富的逻辑体系。《小取》是一篇关于逻辑学的完整论文，文中提出墨家逻辑的三个手段：“以名举实，以辞抒意，以说出故”。这里的“名”相当于“概念”，“辞”相当于“判断”，“说”相当于“推理”，它说明在人们的思维和论证过程中，概念是用来反映事物的，判断是用来表达思想的，推理是用来推导事物的因果联系的。很类似演绎数学中的定义、定理和证明。同篇又提到效、譬、侔、援、推等五种推理方法。研究者认为“效”就是墨家后学的演绎法，“譬”和“侔”和比喻，“援”是类推，“推”是归纳法。在后期墨家提出了属于逻辑范畴的进一步问题，同时，惠施、公孙龙等辩者也掀起了名辩的高潮。因为他们辩论的对象局限于名词的本身，和事物的实际联系很少，后世历史学家用“名家”称呼他们。事实说明，我国古代的逻辑思想是十分丰富的，需要我们大力研究和发掘。

古代印度也产生了逻辑学说，即“因明”。“因”是推理的依据，“明”是通常说的学说，“因明”就是古代印度关于推理的学说。主要代表著作有陈那的《因明正理门论》、商羯罗主的《因明入正理论》等。例如，陈那提出“三支论式”，认为每一个推理形式都是由“宗”“因”“喻”这三部分组成的。“宗”相当于三段论的结论，“因”相当于三段论的小前提，“喻”相当于三段论中的大前提。三支论与三段论主要是前提和结论的次序不同，它们的推理形式实际是一致的。

二、西方的形式逻辑

西方最早运用了数学方法研究逻辑的系统。古希腊的学者对形式逻辑进行了全面的研究，徳谟克里特曾经研究了归纳、类比和定义方面的问题，苏格拉底曾经阐述了他对归纳法与演绎法的一些看法，柏拉图继续研究了定义、划分以及判断方面的问题。

西方形式逻辑研究最主要的、有系统理论建树的是亚里士多德，他在总结前人研究成果的基础上，最早从形式结构来论述演绎推理，从而第一次全面、系统地研究了逻辑学的各种主要问题，由他开始了形式逻辑的古典阶段。因此，有人称亚里士多德为“逻辑之父”。

亚里士多德开创的形式逻辑的古典阶段，包括几种常见的演绎推理和最简单的量词理论，也使用了一些特有符号，但没有探讨关系逻辑和公理系统的逻辑性质。他的主要逻辑著作有《范畴篇》《解释篇》《前分析篇》《后分析篇》《论辩篇》和《辩谬篇》。后人把它们收集在一起，合称为《工具论》。这是一部划时代的著作，其中《范畴篇》主要研究了概念和范畴的问题，《解释篇》主要研究了判断及其有关的问题，《前分析篇》和《后分析篇》主要研究了推理和证明的问题，《论辩篇》和《辩谬篇》主要研究了辩论的方法以及如何驳斥诡辩的问题。在这六篇中，《前分析篇》和《后分析篇》是最重要的部分，亚里士多德关于三段论的学说，关于证明的学说，就是在这里阐述的。此外，亚里士多德在其重要的哲学著作《形而上学》中，还集中地论述了形式逻辑的基本规律，即矛盾律、排中律以及同一律。需要指出的是，亚里士多德虽然在个别地方曾提到过归纳法，但他并未给它以应有的地位，他的主要精力是用在演绎法上面，因而他的主要贡献也正在于此。

沿着亚里士多德的形式逻辑发展，古希腊斯多葛学派研究了复合判断的问题，他们把复合判断区分为假言判断、选言判断和联言判断等。在此基础上，他们研究并制定了假言推理和选言推理的形式、规则。斯多葛学派的这些研究成果，补充了亚里士多德逻辑之不足，丰富了形式逻辑的内容。

欧洲中世纪，为教会服务的经院哲学束缚着人们的思想，亚里士多德逻辑被歪曲，变成了论证上帝存在的工具。然而，即使是在这一时期，形式逻辑仍有一些发展，主要表现在：出现了一些把形式逻辑体系化的逻辑教本，如西班牙彼得的《逻辑大全》，对一些逻辑问题进行了新的探讨，发展斯多葛学派的命题逻辑，研究了语义悖论及其解决方法等。

三、数理逻辑的近现代发展

到17世纪，随着实验自然科学的兴起和发展，英国哲学家弗兰西斯·培根开拓了新的逻辑科学领域，研究了科学归纳法问题，奠定了归纳逻辑的基础。培根的主要著作是《新工具》。在这部著作中，培根抨击了中世纪经院哲学对形式逻辑的歪曲，尖锐地批评了亚里士多德的演绎逻辑（主要是三段论）的缺点，提出了科学归纳的“三表法”，即“存在和具有表”“差异表”“程度表”。运用这三个表，经过一步一步排除，便可以找到事物之间的因果联系，发现事物的一般规律。需要指出的是，培根是否定演绎法的，然而他所建立的归纳逻辑却是对形式逻辑的重大贡献。

公元1662年，法国出版了《波尔·罗亚尔逻辑》（原名《逻辑学或思维的艺术》）。这是一本在欧洲颇有影响的逻辑教科书，其中分别讨论了概念、判断、推理和方法问题，对于全面地普及形式逻辑知识发挥了重要作用。

17世纪末，德国哲学家莱布尼兹开始了数理逻辑的近代发展，它包含着古典形式逻辑而突破其局限性，一方面提出了“充足理由原则”，丰富了思维规律的内容；另一方面，也是他在逻辑上的最主要的贡献，即提出了用数学方法来处理演绎逻辑，以图建立一个逻辑演算的光辉思想。正是这一思想，为数理逻辑的诞生开辟了道路。借助于数理逻辑思想，数学的实际应用不断加强，又适应了其他科学的需要，在近百年间取得了突飞猛进的发展。19世纪中叶，英国数学家布尔把莱布尼兹的思想变成为现实，他在逻辑史上首先提出了一种尽管还有缺点的逻辑演算——布尔代数，并给出了逻辑的符号化问题及初步的作法，成为数理逻辑的早期形式，在布尔代数中，布尔引入了所谓的命题逻辑。英国另一数学家德摩根突破了古典形式逻辑的“一主项一谓项”的局限，提出了关系逻辑，为后人的探讨开辟了新路。

19世纪70年代开始出现对数理逻辑有重要意义的进展，主要有集合论、抽象的和形式的公理方法和初步自足的逻辑演算。其后，皮亚诺为此作了不少工作，他把量词、连词，例如“与”“或”“非”等，引入自己的符号系统。他的符号逻辑具有初步的雏形但影响很大。20世纪初，由罗素与怀特海完成了建立一个初步自足的完全的外延逻辑系统的工作。弗雷格和罗素等人通过自己的研究，使数理逻辑进一步系统和完善起来，发展成为一门新兴的学科。1910年到1913年出版的罗素和怀特海的巨著《数学原理》，就是这方面的主要成果和标志。20世纪30～40年代以来，数理逻辑又得到了迅速的发展，出现了许多新的分支，如递归论、模型论、公理集合论和证明论等；与此同时，数理逻辑在开关线路、自动化系统、计算机科学和技术等方面，得到了广泛的应用。数理逻辑的建立和发展，是形式逻辑和数学研究的重大成果。

19世纪英国哲学家穆勒继续发展了培根的归纳学说，他在《逻辑体系》中，明确而系统地阐述了科学归纳的五种逻辑方法，即契合法、差异法、契合差异并用法、共变法和剩余法，充实了归纳逻辑的内容。

从19世纪中叶到20世纪，马克思、恩格斯、列宁和毛泽东，一方面在批判黑格尔辩证逻辑中的唯心主义体系的同时，吸收了其中的合理因素，并用马克思主义的唯物辩证法研究逻辑问题，为科学的辩证逻辑奠定了坚实的基础；另一方面又批判了唯心主义和形而上学对形式逻辑的歪曲，科学地阐述了形式逻辑的某些基本原理，对丰富和发展形式逻辑做出了重要贡献，推动了形式逻辑的普及和提高。

20世纪30年代后期至今为数理逻辑发展的新的发展阶段。证明论尽管未达到预期的目标，元数学却取得了许多成果，数理逻辑成为数学的分支学科。目前，其中心内容有五大分支：证明论、公理集合论、递归论、模型论和各种逻辑系统的研究。此外，数理逻辑与理论计算机科学有着深刻的联系，有关程序语言和计算性理论的研究正在得到飞速的发展。

四、科学概念及其逻辑基础

任何一门科学理论都是由一系列概念构成的理论体系。概念是思维的基本形式之一，是对事物的本质属性和特征的反映，是人们进行理论思维的产物。概念是数学思维的“细胞”。

数学概念是用数学语言表达的，其主要表达形式是词语或符号。一个概念所概括或涉及的具体对象的全体，叫做该概念的外延。概念的外延就是概念的前范围，范围有大有小，故外延有大、小与宽、窄之分。例如，所有实数和虚数构成了复数的外延。三角函数的外延包括正（余）弦、正（余）切、正（余）割和正（余）矢等八种函数。二次曲线的外延由椭圆、双曲线和抛物线组成，基本初等函数的外延由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等六种函数组成，等等。

一个概念所反映的事物的本质属性的全体，叫做该概念的内涵。例如，一元二次方程的内涵包括三条本质属性。“平行四边形的内涵”就是平行四边形所代表的所有对象的共同本质属性的全体：如有四条边、四个角、两组对边分别平行等等。

一个概念的内涵越大，它的外延则越小；反之，一个概念的内涵越小，它的外延则越大。一般地说，甲概念的外延包括乙概念的外延的充要条件是乙概念的内涵包括甲概念的内涵。内涵越大，外延越小，概念则越是处于特殊地位。概念间的上述关系，叫做概念的内涵与外延的反比关系。例如，正方形的内涵是菱形的内涵外加一条本质属性“一个内角为直角”，因而大于菱形的内涵，所以正方形的外延被包括在菱形的外延之内，成为一类特殊的菱形。

概念的限制与概括是明确概念内涵与外延的逻辑方法，正确使用概念的限制与概括，不仅有利于数学概念的系统化，还有助于深刻地理解概念的内在联系和本质区别。

五、科学推理及其分类

推理在人们的认识过程中和数学研究中乃至数学学习中有着巨大的作用，它可以使我们获得新的知识，也可以帮助我们论证或反驳某个论题。数学思维广泛地运用着逻辑推理，在发现数学科学规律的过程中，在数学证明中，在构成数学的假说中，逻辑推理都被广泛使用着。

推理是由一个或几个已知判断做出一个新判断的思维形式。每一个推理都由前提和结论两部分组成。依据的已知判断，叫做推理的前提；得出的新判断，叫做推理的结论。推理在语言上表现为复句或多重句子或句群。在推理的表述中，常用逻辑关联词，在数学中还用符号。

数学中的推理分为论证推理和似真推理两大类。

论证推理是指其结论给我们提供切实可靠的知识的推理，它的主要形式是演绎推理和完全归纳推理。

似真推理，也称或然推理，其结论给我们提供或然知识的推理。所谓或然性是指其真实性可能对也可能不对。它的主要形式是类比推理和不完全归纳推理。

1.演绎推理

如果根据一类事物对象的一般判断（前提），推出这类事物个别对象的特殊判断（结论），那么将这种推理称为演绎推理，也称演绎法。

演绎推理是由一般到特殊的推理，只要符合推理规则，推导出的结论就是真实可靠的。这是由于其结论事实上已经包含在其前提之中了，而推理规则又保证了前提与结论之间的必然逻辑联系。因而，它是一种论证推理，可作为数学中严格证明的工具。

演绎推理的形式多种多样，数学中运用最普遍的有三段论和关系推理，此外，还有选言推理、假言推理、联言推理等。

三段论：三段论是由两个包含着共同项的性质判断而推出一个新的性质判断的推理。

三段论所包含的三个不同的概念分别叫大项、小项与中项。大项就是作为结论的谓项的那个概念；小项就是作为结论主项的那个概念；中项就是在两个前提中都出现的那个概念。

三段论的两个前提中，包含大项的那个前提叫大前提；包含小项的那个前提叫小前提。为了研究方便，规定写三段论时，一般地，两个前提中大前提在前，小前提在后。

例如：

实数都是复数，　　①

11是实数　　　　　②

11是复数　　　　　③

它是由三个简单性质组成，①是大前提，②是小前提，③是结论。

2.类比推理

类比推理是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似，而推出它们的某种其他属性也相同或相似的推理形式。这种推理方法，通常也称为类比法。

类比推理所得出的结论未必真。类比是有条件的，否则，就有可能出现错误。一般来说，如果两类事物共有的性质愈多，那么推出的结论的可靠程度就愈大。与不完全归纳法一样，运用类比推理得到的结论其正确或错误也是需要严格论证的。

在数学中，类比推理同样是发现概念、公式、定理和方法的重要手段。例如，把分式运算与分数运算类比，把平面与直线类比，把四面体与三角形类比等等，都可以发现许多新知识。此外，类比推理还广泛用于解题研究中，它具有启迪思路、触类旁通的作用。

六、科学证明

1.证明的意义及结构

思维的基本任务就是提出新命题和确定命题的真假。证明就是根据一些已经确定真实性的命题来断定某一命题真实性的一系列思维过程。

从逻辑结构方面分析，任何证明都由论题、论据、论证三部分组成。论题是指需要确定其真实性的命题；论据是指用来证明论题真实性所引用的那些已知真实的命题，论据回答“用什么论证”的问题；论证是指根据论据进行一系列推理来确定论题真实性的过程。

从证明与推理的关系来看，证明必须以推理为基础，推理又总是为证明服务的。二者在结构上也是一种对应关系，证明论题相当于推理的结论，证明的论据相当于推理的前提，证明的论证方式相当于推理形式。

2.论证规则

论证规则包括论题、论据与论证的方式要求三个方面。规范而正确的论证，必须遵守以下规则：

（1）论题要明确。论题是论证的主旨，它要求：一是思维内容要有严格规定，关键性概念无歧义；二是表达思维内容的语句要准确恰当。主旨不明确，论证就是盲目的，容易犯论题不清的逻辑错误。

（2）论题必须保持论证过程的同一性。这是同一律的要求。否则就会犯偷换论题或混淆论题的逻辑错误。

（3）论据要真实，且不得以其真实性尚未曾证实的命题作为论据。论据是确定论题真实性的根据、理由，如果违反这一规则就会导致“虚假论据”，这是论证中的“基本错误”。

（4）论据要充分，即论题与论据之间应有必然联系。如果二者毫不相干，或者虽然相关但理由不充分，便会犯“推不出”的逻辑错误，也不能保证论题的真实性。

（5）论据的真实性不能是依赖于论题的真实性来证明的。否则要犯“循环论证”的错误。

3.数学论证的基本方法

论证主要是依靠推理的思维工具来实现的，按照它所使用的主要推理方法来划分，结合数学及其教育的实际情况，数学论证所常用的方法主要有：演绎论证与归纳论证、类比论证；分析论证与综合论证、直接论证与间接论证等。数学论证常用的间接证法主要有反证法和同一法。

反证法的思维过程是：第一步，以原命题的矛盾命题（称为反论题）作为前件，推导出必然的后件，再根据真命题确定后件的虚假，从而进一步依据充分假言推理之否定后件式、确定反论题的虚假。第二步，根据排中律进行直接推理，最后得出原论题为真的结论。

同一法的逻辑根据是同一原理：互逆的两个命题未必等价，但是，当一个命题的条件和结论都唯一存在，它们所指的概念的外延完全相同，是同一概念时，这个命题和它的逆命题等价。这一性质通常称为同一原理或同一法则。例如“等腰三角形底边上的中线是其底边上的高线”是个真命题，命题的条件和结论都唯一存在，条件和结论所指的概念的外延完全相同（即为同一条线段），其命题“等腰三角形底边上的高线是其底边上的中线”也必为真。对于符合同一原理的两个互逆命题，在判定其真假时，只要判定其中的一个即可。

七、科学推理及证明的逻辑规律

人类是用概念、判断、推理等思维形式来进行思维活动及论证思想的。在人类进行正确的思维和推理的过程中，都要正确地运用逻辑形式，而思维的逻辑形式是受逻辑规律制约的。普通逻辑所研究的基本规律有四个：同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。

1.同一律

同一律的基本内容是：在同一思维（论证）过程中，每一思想的自身具有同一性。

同一律的公式是：A是A（A表示概念或判断）。

同一律在思维中的作用就在于保证思维的确定性。同一律有三点具体的要求：一是思维对象要保持同一；二是表示同一对象的概念要保持同一；三是推理前后或论证过程中人们所使用的判断必须保持其自身的同一。

同一律作为一种科学规律，具有必然性和客观性。如果违背了同一规律的要求，那就会破坏思维的一贯性，造成思维混乱，在同一推理、证明的过程中，就会犯“偷换概念”“偷换论题”等逻辑错误。

需要指出的是，同一律所要求的“同一”是相对的、有条件的。它是在同一个思维过程，即同一时间、同一关系下对于同一对象而言的。若在一定条件下的“同一”条件变了，认识也相应的有所发展。

2.矛盾律

矛盾律的基本内容是：在同一思维（论证）过程中，对同一对象所表达的两个互相矛盾或对立的思想不能同真，至少必有一假；也就是说对于同一个思维对象不能既肯定它是A，又否定它是A。

矛盾律的公式是：A不是非A。

与同一律一样，矛盾律作为一种科学规律，也具有必然性和客观性。如果违背了矛盾规律的要求，那就会犯“自相矛盾”的逻辑错误或者说有了逻辑矛盾。数学中的悖论就是一种特殊的逻辑矛盾。

矛盾律的作用是保持思维的首尾一贯，避免自相矛盾。任何一个科学理论都应该具有不矛盾性。矛盾律是用否定的形式表达同一律的思想内容，它是同一律的引申，同一律说A是A，矛盾律实际上也是思维确定性的一种表现，因此矛盾律是从否定方面肯定同一律的。

还需要指出的是，矛盾律中所谓的矛盾，是指思维过程中的思维混乱，即同时确定A与非A都真。它是在同一个思维过程，即同一时间、同一关系下对于同一对象而言的。对这种逻辑矛盾，矛盾律要加以排除的。但有时在同一时间，对于同一对象本身具有矛盾着的两方面的性质，人的思维要用一个判断同时提示这一对象的矛盾两重性，这就不违反矛盾律的要求。矛盾律并不把辩证法所讲的矛盾排除在一切思维之外，更不否认世界固有的矛盾。绝不能把矛盾律与辩证法所讲的矛盾混为一谈。

3.排中律

排中律的基本内容是：在同一思维（论证）过程中，对同一对象所表达的两个互相矛盾的思想，不能同假，必有一真。也就是说对于同一思维对象，必须做出明确的肯定或否定，不能既不是A，又不是非A，A和非A两者必居其一，且仅居其一。

排中律公式表示是：A或者非A。

排中律是反证法的逻辑基础，在直接证明某一判断的正确性时有困难，根据排中律，只要证明这一判断的矛盾判断是假就可以了。

与同一律、矛盾律一样，排中律作为一种科学规律，也是在一定条件下起作用的。如果客观事物确实存在着第三种可能性，如果不是两个相互否定的思想，就不能要求在两者之中承认一个为真，否则就会造成思想上的片面性。还必须指出，排中律并不是否认事物经过中间环节相互过渡，相互转化，排中律既不涉及事物在一定条件下互为中介和相互转化的问题，也不涉及两类事物间的中间情形的问题。

逻辑思维规律是人们在长期反复实践中总结提炼出来的。同一律、矛盾律、排中律是在公元前4世纪，由古希腊的大哲学家亚里士多德所发现，三者之间的联系是从不同角度去陈述思维的确定性的，排中律是同一律和矛盾律的补充和深入，排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，违背了排中律就必然违背矛盾律。

4.充足理由律

充足理由律是在17世纪末由德国的哲学家和数学家莱布尼兹补充的。其基本内容是：在思维（论证）过程中，对任一真实的判断，都必须有充足的根据，也就是说正确的判断必须有充足的理由。

充足理由律的公式是：“A真，因为B真，而且B能推出A”。其中A和B都表示一个或几个真判断，B称为A的理由，A称为B的结论。

充足理由律是有关论证的逻辑规律，是推理、论证与反驳的逻辑基础。充足理由律的主要作用在于保证思维的论证性。但在一个推理、论证过程中，理由究竟是真是假，仅仅依靠充足理由律是无法断定的。例如，要确定一个数学命题为真，究竟要从哪些方面提出理由，选择哪些事实，引用什么数学定理、公式等等，这都与数学知识有关，充足理由律也是不能解决的。

这四个规律概括地表现了逻辑思维的基本特征，它是保证人们正确认识客观世界和正确表达思维的基本前提。正确的思维应该是确定的、无矛盾的、前后一贯的、论据充足的。不然的话，思维就将陷入混乱，表达思维的语言也就会语无伦次，在数学的推理和证明中，如果违背了逻辑思维的规律，就会产生逻辑错误，论证就得不出确实可靠的结论，因此数学中的推理论证必须遵守逻辑思维的基本规律。