统计套利策略研究

第4节　统计套利策略研究

统计套利，又称“配对交易”，或者说是配对交易的进一步发展。当两个金融时间序列存在长期稳定的协整关系时，我们可以通过研究其价差的变化规律，相应的设计出能使我们长期获利的交易策略。统计套利是基于均值回归的原理建立的，当价差高于或低于其均值时都会以很高的概率向均值回归。Andrew Pole在其著作《Statistical Arbitrage》中证明了75％规则，描述如下：

定义一个独立同分布的连续随机变量P{t，t=1，2，}...序列，这个序列落在一条非负的实线上，中位数为m，那么：

　　P_r ［P_t＞P_t－1∩P_t－1＜m］∪［P_t＜P_t－1∩P_t－1＞m］=0.75

随机量P_t就是时间t这一天的价差，每一天的随机量P_t都是独立的随机变量。当价差的当前值P_t大于（或者小于）序列中值m时，我们可以预测下一时间的价差不超过（或者不低于）当前价差的概率为75％，即下一时间价差向中值方向变动（回归）的概率为75％。

统计套利有三个基本规则：

规则1：当价差偏离中值（均值）时，建立套利头寸，待价差回归时平仓。

规则2：对与规则1反向的情况进行套利交易，即当价差位于中值时建立反向头寸，待价差扩大时平仓。

规则3：在更强的进场时点，重复进行交易。

由于现实中存在ETF卖空交易限制，因此本文在期现套利部分只研究买入ETF卖出期货的正向套利。对于规则2所描述的情况，这种交易成立建立在可以准确预期到价差将扩大到一定程度的基础上，然而在通常的交易中，基于75％规则，一旦价差相对于均值稍有偏离，我们就合理的预期价差即将回归，因此规则2所描述的情况在现实中比较少见且不易把握，本文不予考虑。同时，本文支持符合现实操作的规则3。

4.1　单位根检验和协整理论

在传统计量经济学中，当我们对某个时间序列进行回归分析时，总是假设该序列是平稳的，即不存在单位根的。然而，在现实中，我们研究的很多时间序列，尤其是经济、金融时间序列，它们并不是平稳的。如果仍用传统计量方法对两个时间序列进行回归分析，就会出现伪回归，即对两个不存在线性关系的时间序列进行回归做出了回归方程。

单位根检验就是检验时间序列是否存在单位根的方法。常用的一种方法是ADF检验法。若检验所得的ADF值大于临界值，则接受原假设，认为该时间序列有单位根，是不平稳的；若检验所得ADF值小于临界值，则拒绝原假设，认为该时间序列没有单位根，是平稳的。若该时间序列经过d次差分后变成了平稳序列，则称该序列为d阶单整序列，用I（d）表示。

在现实中，有的时间序列虽然是不平稳的，但它们可能受到某些共同因素的影响，从而存在一种长期稳定的关系，我们称这种平稳的关系为协整关系。只有当两个时间序列是同阶单整序列时，才可能存在协整关系。因此在对两时间序列协整关系进行检验之前，需要先用ADF检验法分别对它们进行单位根检验。

检验几个时间序列之间是否存在协整关系的方法有Johansen检验法等。若检验两个时间序列的协整关系，可以采用EG两步检验法⁽⁵⁾：

第一步：用最小二乘法（OLS）估计两序列x_t、y_t间的回归方程：

　　y_t=α+βx_t+v_t

4.2　确定最大收益的交易阀值和止损点

股指期货实际价格与股指现货时间序列通过EG两步法协整检验，确定两者之间存在长期稳定关系时，可以得到两时间序列回归方程为：

　　y_t=α+βx_t+S_t（S_t即v_t）

对残差序列S_t的数据进行分析，算出能获得历史最大收益的交易阀值。根据交易规则3，我们假设在价差大于交易阀值的时点持续建仓，没有持有头寸的限制，以使我们获得更大的收益。（事实上，关于持有头寸的假设对交易阀值的设定没有影响⁽⁶⁾。）这样，我们获得的最小收益为交易阀值价差乘以价差大于交易阀值的次数。

建立模型：

目标函数：Max TD=（S₁－μ）^*m

其中：TD表示在样本时间内进行套利交易能获得的基差点数总数；

m=countif（S_t，＞S₁），表示样本数据中大于S₁的个数，或是通过价差序列分布求出的S_t＞S₁的概率；

S₁表示交易阀值；

μ表示残差序列的均值。

约束条件：μ≤S₁≤MaxS_t

根据模型进行规划求解，得出S₁的最佳值。

当价差序列是一个高斯白噪声序列时，使套利收益最大的交易阀值在均值±0.75σ处⁽⁷⁾。