期权定价研究的基本工具

一、期权定价概述

（一）期权定义及分类

期权（option）是一种金融衍生工具，其基本含义是买卖特定商品或有价证券的合约，并在合约到期时由合约买方决定是否执行这一合约。期权是一种权利而不是义务，也就是期权持有者有权在未来某一确定时刻（或一段时间内）以事先约定的价格购买或出售一定数量的特定商品或有价证券，但并不承担必须履行的义务［3］4。而在远期，期货或者互换合约中，买卖双方的权利和义务是对等的，即双方相互承担责任，各自具有要求对方履约的权利。每个期权合约都有两方，一方是期权多头头寸的投资者（即购买方），另一方是期权空头头寸的投资者（即出售方）。期权买方为获得这种权利支付的费用称为期权价格或期权费。

期权可以根据不同方式进行分类。按照期权所含权利的不同，可以分为看涨期权（call option）和看跌期权（put option）。看涨期权的持有者有权在未来某一确定时刻（或一段时间内）以约定价格购买标的资产。期权的标的资产可以是股票、股票指数、外汇、债务工具、各种商品和期货合约等。看跌期权的持有者则有权在未来某一确定时刻（或一段时间内）以约定价格出售标的资产。期权合约中约定的价格称为执行价格或敲定价格（exercise price or strike price），合约中的日期为到期日（maturity）。看涨期权，看跌期权也称为标准化期权。事实上，为了满足顾客的需要，银行和其他金融机构也开创性地设计了很多非标准的衍生证券，也称新型期权，如复合期权、障碍期权、亚式期权、回望期权等。

期权按照可行权的时间的不同可分为欧式期权（European option）和美式期权（A-merican option）^[1]。期权按照持有者现金流的正负可分为实值期权（in the money）、两平期权（at the money）和虚值期权（out of the money）。实值期权是指若立即执行期权，持有者具有正的现金流；两平期权是指若立即执行期权，持有者的现金流为零；虚值期权是指若立即执行期权，持有者具有负的现金流。如果用St代表股票价格，K代表执行价格，对于看涨期权而言，当St＞K时是实值期权；当St＝K时是两平期权；当St＜K时是虚值期权。对于看跌期权，当St＞K时是虚值期权；当St＝K时是两平期权；当St＜K时是实值期权。一般地，只有当期权是实值期权时才会被执行。

（二）影响期权价值的因素

期权的价值为其内涵价值和时间价值之和。所谓内涵价值（intrinsic value）定义为零和期权立即执行时所具有的价值两者中的较大者。例如，看涨期权的内涵价值为max（St－K，0），看跌期权的内涵价值为max（K－St，0）。时间价值是指期权价值高于其内涵价值以上的部分^[2]。由于时间价值的存在，期权价格与标的资产的价格往往呈现出非线性的特征，这也是期权类产品异于其他普通金融产品的重要特征。

通常影响期权价值的主要因素有标的资产价格、执行价格、到期期限、标的资产价格的波动率、无风险利率、在有效期内预计发放的红利等。下面讨论在一个变量改变而其他变量保持不变的情况下对期权价值的影响。

1．标的资产价格和执行价格

如果看涨期权在未来某一时间被执行，其收益为标的资产价格与执行价格的差额。随着标的资产价格的上升，看涨期权的价值也就越大；随着执行价格的上升，看涨期权的价值就越小。而对于看跌期权来说，结论与上述情形相反。由于其收益为执行价格与标的资产价格的差额，所以看跌期权的价值会随着标的资产价格的上升而下降，同时随着执行价格的上升而上升。

2．到期期限

到期期限对欧式和美式期权价值的影响有所不同。随着有效期的增加，欧式看涨期权和看跌期权的价值均不一定必然增加，那是因为有效期长的期权的执行机会不一定包含有效期短的期权所具有的执行机会。对于美式期权来说，当有效期增加时，美式看涨期权和看跌期权的价值都会增加，因为美式期权在到期日前的任何时期都可以执行，所以有更多机会获利。更主要的是对于其他条件相同仅到期日不同的两个期权，有效期长的期权的执行机会包含有效期短的期权的所有执行机会。

3．标的资产价格的波动率

标的资产价格的波动率是用来衡量未来标的资产价格变动的不确定性的量。以股票期权为例，随着波动率的增加，股票价格上升很高或下降很低的机会随之增加。对于股票持有者来说，这两种趋势相互抵消，但对于股票期权的持有者来说，情况有所不同。欧式看涨期权的持有者会从股价上升中获利，但股价下跌时其最大损失就是期权费，也就是损失有限。欧式看跌期权的持有者则会从股价下降中获利，当股价上升时其最大损失也是有限的即为期权费。记T为到期时刻，ST为股票的到期日价格，K为期权执行价格，c为看涨期权价值，p为看跌期权价值，则欧式期权期末价值为：

例如，某股票现在价格是20元／股，看涨期权的执行价格为25元／股，期权费为1元／股。在到期日若ST＝26，则收支相平衡，此点为盈亏平衡点；越过这一点，也就是当ST＞26时，看涨期权被执行盈利将成倍增长；当ST＜25时，期权持有人将放弃行权，因为此时更好的办法是直接去股市买卖股票，这种情况下投资者最大的损失就是期权费。而当股票价格处于25～26时，投资者依然会选择行权，因为虽然总体上会出现亏损，但是好过放弃行权。看涨期权持有人的损益状况如图5-1中实线所示。与此同时，对于期权卖方的损益为图5-1中虚线所示。另一方面，若基于同一种股票的看跌期权的期权费为2元／股，执行价格为14元／股，则看跌期权买卖双方的损益图如图5-2所示。

图5-1　看涨期权损益图

图5-2　看跌期权损益图

由此看到，期权买卖双方的风险－收益结构是明显不对称的。理论上，期权买方的最大损失不过是期权费，收益却可能是无限的。期权卖方则不同，其损失可能是无限的，而收益则是有限的期权费。由于随着波动率的增加，股票价格上升很高或下降很低的机会随之增加，所以欧式看涨期权和看跌期权的价值都会随之增加。

4．无风险利率

无风险利率的变化一般来说与看涨期权价值变化正相关，与看跌期权价值变化负相关。当利率增加时，股票价格的预期收益率也倾向于增加，同时期权持有者受到的未来现金流的现值将减少。这两种影响作用在看涨期权上时，前者将增加期权价值，后者将减少期权价值，但前者起主导作用。所以看涨期权价值会随着利率的上升而增加。这两种影响却都将减少看跌期权的价值。

5．预期红利

在股票除息日后，红利将减少股票价格。因此，容易得出看涨期权价值与预期红利大小负相关，看跌期权价值则与预期红利大小呈正相关关系。

二、随机分析与鞅

（一）Wiener过程

1827年，英国生物学家布朗（Robert Brown）首先研究了悬浮在液体中的花粉微粒受到水分子连续撞击所形成的运动，布朗运动由此得名。此后，维纳（Norbert Wiener）在数学上严格定义了布朗运动，于是也称为Wiener过程。正式定义如下：

定义1　随机过程（Wt）t∈［0，＋∞）称为Wiener过程，如果满足以下条件：

（1）W0＝0；

（2）对于任何两个不同时间间隔，ΔW相互独立，即为独立增量过程；

特别地，当σ＝1时称之为标准Wiener过程。不做特别说明，本书中出现的Wiener过程均指标准Wiener过程^[3]。

如果一个随机过程（St）t∈［0，＋∞）可以表示成：

dSt＝adt＋bdWt

则称St遵循一般的Wiener过程，一般Wiener过程相比标准Wiener过程可以更合理地解释金融现象。在此基础上，还可以进一步推广至扩散过程，如下：

dSt＝a（St，t）dt＋b（St，t）dWt

关于扩散过程，后面章节将有进一步讨论。

（二）泊松过程

一般Wiener过程和扩散过程可以模拟出连续时间状态下的金融资产价格运动模型，但是金融资产价格变动并非都是连续的。例如，市场上股票价格的变动，今天涨一元明天跌两元，突然有重大利好消息到来，股票拉了个涨停，又或者因为某个不良事件影响，股票大跳水。为了全面描绘资产价格的真实运动情况，还需要一类模拟跳跃的随机过程。

定义2　随机过程（Nt）t∈［0，＋∞）称为泊松过程（泊松流），如果满足以下条件

（1）是一个计数过程，且N0＝0；

（2）是独立增量过程，即任意0＜t1＜t2＜…＜tn，有

Nt1，Nt1－Nt2，…Ntn－Ntn－1

相互独立

（3）对任意两个时刻s，t，s＜t在长度为t－s的时间段内出现事件的个数服从参数为λ（t－s）的泊松分布，即

其中λ称为强度参数。

定理1［4］33　若（Nt）t∈［0，＋∞）为泊松过程，则对∀s，t≥0有

即Nt＋s－Ns是参数为λt的泊松分布。

设（Nt）t∈［0，＋∞）是泊松过程，令τ0＝0，τn表示第n个事件发生的时刻（n≥1），Tn＝τn－τn－1表示第n－1个事件与第n个事件发生的时间间隔，

τ0＝0

τn＝inf｛t：t＞τn－1，Nt＝n｝　　n≥1

对∀t≥0，下面两式成立

｛Nt≥n｝＝｛τn≤t｝

｛Nt＝n｝＝｛τn≤t＜τn＋1｝＝｛τn≤t｝－｛τn＋1≤t｝

所以τn的分布函数为

当t＜0时，P（τn≤t）＝0；

τn的概率密度函数为

I为示性函数，不加证明地给出下列结论。

定理2［4］39计数过程（Nt）t∈［0，＋∞）是泊松过程的充要条件为｛Tn，n≥1｝是独立且参数同为λ的指数分布。

由泊松过程的定义可知，∀0≤t1＜t2，Nt2－Nt1≥0，即泊松过程是t的单调不减函数，由｛Nt＝n｝＝｛τn≤t＜τn＋1｝知Nt是跳跃函数，即当τn≤t＜τn＋1时，Nt＝n是

Ito定理可以看成是泰勒级数在随机环境中的推广，是随机分析中的微分法则。

（四）鞅

鞅（martingale）是一类特殊的随机过程，它在微观金融分析中的应用是随着Harrison，Kreps［6］以及Harrison，Pliska［7］两篇论文的发表开始的，文章证明了只有当金融市场上不存在免费午餐时，所有金融资产的贴现价格都是一个鞅。鞅论目前在应用概率论、统计学、随机分析、最优控制等方面得到了广泛应用，也成了现代金融资产定价的主流工具。鞅的含义通俗地说，它是公平赌博的数学模型。何谓公平赌博，我们的理解是一个人若已经赌了n次准备进行下一次赌博，若不做任何手脚，用Xn记他在赌完第n次后拥有的赌本数，若对于任意的n有E（Xn｜Xn－1）＝Xn－1，即他赌博的期望收益为零，这样的赌博被认为是公平的。

关于鞅的定义，用非数学语言描述就是：若一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性，则可以称之为鞅；若一直有上升趋势，则称为下鞅（sub-martingale），若该过程总是在减少，则称为上鞅（super-martingale）。下面给出鞅的数学定义。

定义3　设Ω是任一非空集，F⊂2n，若F满足条件

（1）Ω∈F；A∈F⇒AC∈F；｛An｝⊂F⇒∪An∈F，则称F为Ω上的一个σ－域或σ－代数，称（Ω，F）为一个可测空间，任何A∈F为F－可测集。

若一个函数P：F→R＋满足条件

（2）P（φ）＝0；当An∈F（n∈N）互不相交时，有P（∪An）＝∑n P（An），则称P为可测空间（Ω，F）上的一个测度。若进而有P（Ω）＝1，则称P为概率测度简称概率，一常数，仅在t＝τn（n＝1，2…）处发生跳跃。相邻两次跳跃的时间间隔Tn相互独立且均服从参数为λ的指数分布，这些为用计算机模拟泊松过程提供了理论基础与方法。

（三）扩散过程与Ito定理

如果随机过程Xt满足

其中Wt为标准Wiener过程，则称其为伊藤过程（Ito process）或扩散过程（diffusion process）。a（Xt，t）和b（Xt，t）分别称为漂移系数和扩散系数。

定理3［5］464　（Ito引理）若Xt满足式（5-1），Y＝f（Xt，t）是Xt，t的二元函数，则f（Xt，t）遵循以下运动过程记（Ω，F，P）为概率空间。

若概率空间（Ω，F，P）满足条件：

（3）完备性：P（A）＝0，B⊂A⇒B∈F，则称（Ω，F，P）为完备概率空间。本书中，不做特别说明一般假定（Ω，F，P）为完备概率空间。

直观上，可将Ft理解为到时间t为止所有可以利用的信息集。这种信息会随着时间的推进而逐步展开，因此，Ft自然随着t的增大而扩大。例如，任何随机过程Xt（t∈T）都伴随着一族逐渐扩大的信息集

定义5　满足σ（Xt）∈Ft（⇔FXt⊂Ft）的随机过程Xt称为是Ft适应过程或者是Ft－适应的（Ft－adapted）。

说明一下的是，使用不同的信息集可以推测随机过程Xt的未来运动形式。很多时候，需要采用条件数学期望的形式

E（Xn）＝E（Xn｜Fn），　n＜N

这意味着在n时刻对N时刻的X的预期值是基于在该时刻已经获得的信息集Fn。

（2）E（Xt｜Fs）＝Xs，∀s，t≥0，s≤t