期权定价理论

第四节　期权定价理论

1.期权定价理论渊源

法国数学家巴契里耶（Louis Bachelier）于1900年完成的博士论文“投机理论”是我们迄今为止所知的最早的用理论模型研究期权定价问题的论文。无疑，它在期权理论史乃至整个金融经济学史上，占有先驱者的重要地位。

巴契里耶基于对当时西欧、主要是法国的证券交易所的资产或证券的交易行情的观察，利用其数学研究的背景，思考如股票、期权、期货等所谓“投机”性很强的证券交易，其价格波动遵循怎样的一种规律。他采用了完全不同于如Dow理论、波浪理论等等经验性理论，而是从观察得来的感性经验中，概括出一些前提性假设，然后运用已发展的数学工具进行演绎，作成一个实际如何运行的理论模型。进而从这一模型中给出对未来的预测，然后再用经验数据对其进行检验。

如马森和默顿（Mason and Merton）（1983）所说，从历史上看，期权定价模型只有两类，一类是特定（adhoc）模型，另一类是均衡模型。特定模型一般仅仅依靠经验观察或曲线拟合，因此它并不反映由经济均衡所加给它的对价格的任何约束。均衡模型所演绎出的期权价格则是作为市场参与者的行为最大化的结果。巴契里耶正是这后一种方法的开创者。他意识到影响证券价格波动的因素有千千万万，有过去的、现在的，甚至未来的事件以贴现的方式影响价格的决定。他认为研究一个市场的瞬时状态，即找到市场瞬间价格变化的概率的法则是可能的，研究出这样一个表达市场波动似然性的公式正是他的这篇论文所要达到的目标。虽然他的工作无论在经济学还是在数学上都有缺陷，但他的研究与后来的斯普林克尔（Sprenkle，1961）、博恩斯（Bones，1964a、1964b）和萨缪尔森（Samuelson，1965a）等一起指出了试图描述期权定价的均衡理论的许多方法。巴契列尔（Bachelier）的这篇文献之所以在金融经济学的现代史上占有重要地位，不仅因为它给出了第一个描述期权价格运动的科学模型，还在于它将在自然科学和数学中已经证明是行之有效的研究纲领、研究范式和研究方法带进了金融经济学。按照默顿（1998）的说法，巴契里耶的工作标志着连续时间随机过程的数学和连续时间为衍生证券定价的经济学的同时诞生。当然，颇令人感叹的是，他的在金融理论史上属超前性的工作被湮没了半个世纪，直到1950年代，才被萨维奇（L.J.Savage）和萨缪尔森重新发现，萨缪尔森对其在经济学专业圈内进行了不遗余力的传播。金融学家才从这篇文献上直接续上了期权定价理论研究的“香火”。

在布莱克—斯科尔斯期权定价模型之前，只提出过两种关于股票价格如何运动的统计过程的前提性假设。巴契里耶实际上建议了一个算术布朗运动的过程。这一前提性假设会导出不可接受的一般均衡含义（如与前面所讨论的默顿给出的看涨期权定价的一般约束相矛盾）。巴契里耶模型的主要缺陷可以概括为：

第一，算术布朗运动的前提性假设用在描述证券期望价格的运动上，意味着有证券价格为负的正概率和在T很大时期权价格会大于相应的证券价格；

第二，假定期望价格变化的均值是零，就意味着利率为零和风险是中性的；

第三，隐含的假定方差是有限的。

斯普林克尔（1961）部分地消除了巴契里耶公式的前两个缺陷。斯普林克尔假定股票价格是对数正态分布的，这样就直接排除了证券是非正价格的可能性并消除了与之相联系的期权的无穷价格问题。进一步，他允许随机游走时的漂移，这样，就允许有正的利率和风险厌恶。同样，该模型也忽略了货币的时间价值，进一步导致了这一模型的缺陷。

博恩斯（1964a）考虑了货币的时间价值，因而避免了斯普林克尔的错误。然而，他的前提性假设忽略了对股票和期权有着不同的风险水平。

萨缪尔森（1965a）假定股票价格遵循带有正的成长率р的几何布朗运动，因而允许有正利率和风险收益。萨缪尔森模型依然包含着不完全的要素，他企图用“一个更深的理论对于各个类别的股票推演出р的价值（或许还有期权的期望回报率к的价值）”。布莱克—斯科尔斯（1973）更进一步批评道：“不幸的是，似乎还没有在资本市场均衡条件下为证券定价的模型使得决定认股权证的价值成为合适的方法。”没有进一步的限定，就把к假定为一个常数而作为资本市场均衡条件下期权定价理论的基础是不适合的。萨缪尔森还从一般均衡中论证了为什么р和к的期望值会不同，并且在к＞р时，期权存在提前执行的正概率，这就与默顿（1973）的占优论证相矛盾，因为只要证券不派发股利，看涨期权就不应提前执行。

布莱克和斯科尔斯在1973年发表的经典论文中评点他们之前的期权定价模型时认为，这些公式之所以是不完全的，就是因为它们都包含有一个或更多个任意参数。就拿上述斯普林克尔模型来说，其中的р和к就是两个未知的参数。р是股票价格的期望平均增长率，有e^PТ＝E（P_T/P_o），亦即相当于期权到期时的股票价格与股票现值的比的期望值，к则是与对股票的风险态度有关的参数。这两个值都需要经验地来估计，但斯普林克尔发现无法做到这一点。

早期的期权定价模型中有代表性的还有：克鲁依金格（Kruizenga）1956年跟随萨缪尔森攻读博士学位所完成的论文，后有一部分发表在库特纳（Cootner）（1964）中作为前言和第一章；埃瑞斯（Ayres）（1963）；鲍莫尔（Baumol）；毛凯尔和匡特（Malkiel and Quandt）（1966）；萨缪尔森和默顿（1969）和陈（Chen）（1970）等。还有一本书［托普和卡绍夫（Tho rp and Kassouf）（1967）］通过用曲线拟合实际数据而得到一对认股权证定价的经验公式。按前面我们介绍的马森和默顿（1983）的分类，它是属于特定模型（而非均衡模型）那一类。“然后他们用这一公式计算了一个证券处于多头地位和另一个证券处于空头地位的套头组合所需要的股票股数对期权份数的比例。”这一点给了布莱克和斯科尔斯很大的启发。

2.布莱克—斯科尔斯期权定价模型

随着经济环境的变化，人们对期权这种金融工具的兴趣越来越高，因此就有了新兴期权市场的发展，如1973年开张的芝加哥委员会期权交易所（chicago board options exchange；CBOE）。投资者和金融服务企业对期权定价的需求也随之而来。然而期权定价理论的迅速发展和理论的应用的突破，应追溯至布莱克和斯科尔斯（1973）。尽管用无套利机会的论证方法可以得到关于期权定价约束的许多有意义的结果，但要想推导出定价公式本身，这些就不是充分的了。要做到这一点，我们需要对股票等资产的价格运动有更精确的模型。就是在这篇论文中，布莱克和斯科尔斯给出了第一个在不派发股利股票上的欧式看涨期权和看跌期权定价问题的直接的即显示的一般均衡的解析解。随后他们又提出这一分析能为或有要求权资产（contingen tclaim assets）的一般分析提供一个基础。或有要求权资产是指其价值是另一资产价值的非比例函数的资产。因为看跌期权和看涨期权或许是或有要求权资产的最简单的形式。对这些相对简单的工具和模型的研究，为人们提供了一把解开其他更复杂、更困难的或有要求权定价问题的钥匙。

在推导他们的模型时，布莱克和斯科尔斯实际上运用了下列前提性假设（assumption），有些是明述的，有些则是暗含的：

第一，对于股票、债券和期权来说，市场是无摩擦的和连续的。这就意味着：（a）不考虑交易成本或税收；（b）市场任何时间都开放，并且交易可连续发生；（c）对于卖空没有任何限制，诸如保证金交易，并且允许充分使用收入（现金）；（d）所有证券的份额都是无限可分的；（e）借入利率和贷出利率相等。

第二，（短期）无风险利率在期权的生命期内（或已知的时间上）是常数。

第三，资产（股票）在期权的生命期内不派发股利（当专门考虑股利因素时，这一假设就放弃了）。

第四，（关于资产价格过程的分布的前提性假设）资产的价格（比如股票价格）遵循以下形式的一个随机发散的韦纳过程：

dS＝Adt＋Rdz，

这里A是股票的瞬时期望回报，R是股票回报的常瞬时标准差，dz是一个标准高斯—韦纳的微分，以0为均值，dt为方差。

第五，假定投资者偏好财富，并假定所有投资者有相同的R和回收的伊藤（Ito）过程特性，但并不假定他们有相同的期望回报率A。

应该强调的是，条件四中的常瞬时标准差的假定，就意味着非预期的股票价格变化的运动^[1]。他们得到一个对认股权证的经验性的定价公式，用来拟合实际认股权证的价格曲线。然后，他们用这一公式计算一个套头组合的头寸所需的比例。比如说，多少股股票的多头和多少数量的期权的空头的比例。正是这一点对Black和Scholes产生了启发。当然他们没有继续下去，因为他们没有意识到在市场均衡时，一个套头组合的头寸的期望值正好等于无风险资产的回报。这也正是Black和Scholes推导他们的理论定价公式时所用到的关键思想之一。另外，条件四实际上也已假定了在下资产的价格的运动是连续的。

布莱克和斯科尔斯证明了通过构造一个包含股票和欧式看涨期权的投资组合而产生一个无风险的套头组合是可能的。该投资组合价值变化的来源必定是价格，因为在某一时点上资产的数量是固定的。如果看涨期权的价格是股票价格和到期时间的函数，那么看涨期权价格的变化可以表示为股票价格的变化和期权的到期时间的变化的函数。布莱克和斯科尔斯接着观察到在任何时点通过选择合适的股票和看涨期权的混合，可以做出一个无风险的套头组合，比如，当这一套头组合是由持有一股票的多头和一欧式看涨期权的空头组成时，那么如果股票价格上涨，持有股票的多头产生盈利，使得该投资组合的价值上升，而持有的看涨期权空头受到损失，使得该投资组合的价值的下降，一升一降两者相抵。如果股票价格下降，一降一升亦相抵。如果在这一套头组合中，当资产的价格随时间变化时股票和期权的数量是以适当的方式连续调整的，那么，该套头组合的回报就可以成为无风险的，在此时，该投资组合必须以无风险利率赢得回报。由于篇幅所限，我们这里忽略掉期权定价方程的建立和求解过程，直接给出著名的布莱克—斯科尔斯公式

式中，d₁＝

这里r是无风险利率，其他符号同前。

布莱克—斯科尔斯模型可以解释成股票价格乘以套头率的倒数，减去执行价格的贴现值乘以将被执行的期权的概率。

布莱克—斯科尔斯公式仅是五个变量的函数：股票价格S、执行价格X、期权的到期时间T、无风险利率r和股票价格的瞬时方差率R。这些变量的头四个是直接可观察的，仅有方差率是必须估计的。进一步，那些出现在我们讨论到的一些早期期权定价模型中的其他不可观察的变量，主要有股票的期望回报率、期权的期望回报率，或者度量投资者对市场风险态度的参数，都没有出现在这一一般均衡期权定价解的自变量中。另外，解中仅有的不能被直接观察的自变量方差率，是能够用以往价格的历史序列的值加以近似的。

布莱克—斯科尔斯公式对它的自变量的价值的变化的反应，是与由默顿给出的占优论证所加于期权价格上的限制相符的：（1）在股票价格上涨时，看涨期权的价格亦上升；（2）当执行价格上升时，看涨期权的价格下降；（3）当到期时间增加，看涨期权的价格上升；（4）当无风险利率上升时，看涨期权的价格上升；（5）当方差率上升时，看涨期权的价格也上升。

由默顿（1973b，1974，1976）和其他人随后对布来克—斯科尔斯模型进行的修正，放松了那些在它之下推导出布莱克—斯科尔斯模型的基本的前提性假设。看来没有哪一个前提性假设对分析得以进行是决定性的。托普（Thorpe）（1973）认为对卖空所得收入的使用不加限制这一前提性假设是不必要的。默顿（1976）论证了当股票价格运动是连续的时候，连续交易解近似于离散交易解的渐近极限。默顿（1973）也让利率是随机变动的而使得该模型一般化。因此，放松涉及明确说到资本市场环境的行为的几个前提性假设而对分析作出的修正看来并没有重大的作用。另外，即使有关派发股利、股价变动的连续性和欧式期权的前提性假设被放松，由布莱克和斯科尔斯发展的分析技术依然是强有力的。默顿（1976）和考克斯和罗斯（Cox and Ross）（1976）成功地运用了一个布莱克和斯科尔斯式的分析去检查股票价格运动是不连续的一种情况。默顿（1973）为考虑股票派发股利而修正了这个模型。最后，默顿（1973）显示针对只能在到期时执行的期权的布莱克和斯科尔斯的解，能适合为可提前执行的看涨期权定价。

在推导出一般均衡期权定价方程后，布莱克和斯科尔斯做出了也许是在过去几十年里金融领域中最重要的观察之一。他们建议对期权定价问题给出的均衡解能被用来为其他复杂的或有要求权资产定价，特别对一个杠杆化企业的权益。他们论证说，股东的地位等价于一个看涨期权购买者的地位，债券所有者的地位等价于一个看涨期权签发者的地位，即股东有权通过按债券的面值支付债券的价值的影响；加莱和马苏利斯（Galai and Masulis）（1976）研究了合并、收购、规模扩张和抽资股本转移（spin offs）对于企业的债务和股权的相对价值的影响；英格索尔（Ingersoll）（1976）为对偶目的基金的份额定价；布莱克（1976）为商品期权、远期合约和期货合约定价。

3.二项期权定价公式

在布莱克—斯科尔斯期权定价公式的推导中，由一个多头的股票和空头的在该股票上的欧式看涨期权可以构成一个无风险的套头投资组合，这一思想对解决期权定价问题具有根本意义。但由于用到了随机微积分等高级的数学工具，这就为不具备现代数学素养的广大读者深刻理解期权定价理论造成了不小的困难。主要由考克斯、罗斯和鲁宾斯坦（Cox，Ross and Rubinstein）（1979）以及伦德尔曼和巴特（Rendleman and Bartter）（1979）发展了一种二项的期权定价方法。这种方法非常直观，数学上只用到一般的高等数学，而且其得出的结果与布莱克—斯科尔斯公式是等价的。这就从另一条推导的路线得出了相同的结果，并得到了相互印证，这也大大丰富了人们对期权价格运动方式的理解。并且，这种二项定价方法对于真实期权的分析也有极大的便利。但限于篇幅，这里不再讨论如何建立二项模型和它与布莱克—斯科尔斯模型的对比。

4.对期权定价模型的经验检验

对期权定价模型（OPM）的检验，不同于对CAPM的检验，因为期权是在下资产的或有要求权，股票价格是可以直接观察的。但这一事实并不能消除对OPM的检验是对市场效率检验与该模型正确性的联合检验问题。另外还有以下两个实际问题，即期权价格必须与在下资产的价格同步记录，以及数据必须允许对OPM的参数作无偏估计。宽泛地讲，对OPM的检验大致可以分为三种类型。最显著地是检验期权的绝对价格水平以决定模型价格相对于市场价格是否偏离的，并检查建立在这样一种被不准确定价的投资组合基础上的交易模型的赢利能力。这些检验的困难之一，是税收和交易成本因素必须考虑在内以便从所检验任意的交易模型中决定净赢利。第二种形式的检验是建立在其是否违反期权定价的边界条件上，诸如默顿（1973）在占优论证中所给出的一系列约束条件。对这些约束条件的重要和持续的违反，意味着要么是市场无效率，要么是OPM不正确。第三种形式的检验是用建立套头组合的方法，即把期权和其他资产相结合。无风险套头组合如果赚得的回报高于无风险率就意味着所检验的OPM或市场效率的失败。

对布莱克—斯科尔斯模型最早的经验检验就是由他们自己在布莱克—斯科尔斯（1972）一文中作出的。该文检验了他们的模型的几个含义。加莱（Galai）（1977）重复了布莱克—斯科尔斯检验，他沿着几个方向扩展了布莱克—斯科尔斯（Black Scholes）的分析。在复制更早的检验和在这些检验的扩展中，该分析的含义基本上支持较早时布莱克—斯科尔斯的结果。

布莱克—斯科尔斯（1972）和加莱（Galai）（1977）检验的是观察到的看涨期权的绝对水平，而斯托尔（Stoll）（1969）和高尔德和加莱（Gould and Galai）（1974）则检验了看跌期权和看涨期权之间的相对水平。

克莱姆科斯基和赖斯尼克（Klemkosky and Resnick）（1979）则设计了一种检验方案，他们发现其结果与看跌、看涨期权平价相一致，并且显示正在考察的期权市场是有效的。迈克拜思和摩维尔（MacBeth and Merville）（1979）也检验了布莱克—斯科尔斯模型，看其是否高估或低估期权的价值。而摩维尔等（Merville，1980），他们用同一组数据，检验了布丹·加莱（Dan Galai）和迈伦·S·斯科尔斯（Myron S.Scholes）的研究。在对CAPM的检验中，金融学家得到的一个重要共识就是，对该模型的检验与对市场有效性的检验成为一种联合检验。

到目前为止的研究表明，试图找出各种版本的OPM与经验数据在经济上有利用价值的偏差，只要把交易成本从交易所得的利润中扣除，看来是不成功的。从这一点上我们可以说，在经济意义上，OPM与观察到的价格是拟合得很好的。同时，这一结果也与市场有效性吻合。

另一方面，布莱克—斯科尔斯模型也还存在着显著的统计偏差问题。这就意味着某些其他的、或许是混合的模型可能做得更好。对于OPM的检验还有许多工作可做。鲁宾斯坦（Rubinstein）（1985）的研究意味着也没有其他的模型（如跳跃模型、混合发散跳跃模型、常方差弹性模型等）能在所有时间解释所有的偏差。另外，依然不清楚的是，所观察到的偏差究竟是模型本身（公式）不对还是出在估计模型参数的统计问题上。

尽管如此，到目前为止的经验检验，在OPM所预测的价格与市场价格的差别尚无经济上的重要性的意义上，依然倾向于接受OPM。另一方面，布莱克—斯科尔斯模型统计上明显的偏差摆在那里，但并没有一个更高明的模型可以取代它。