水平定向钻穿越工程的先导孔成孔前，岩土体初始应力处于平衡状态，导向钻进和扩孔过程中，一部分岩土体被钻头或扩孔头从地层中切削下来，一部分被挤压到周围的地层中，因此，钻头或扩孔头周围岩土体的应力状态发生了改变，为方便研究，将靠近钻孔的临空面延伸至一定范围的岩土体称为孔壁。孔壁稳定性研究就是深入分析钻孔形成过程中重新分布的应力状态，因此不仅要掌握其初始应力状态，还需要分析岩土体本身的力学性质，主要是变形与强度特性。
为了简化计算模型，在对水平定向钻的孔壁力学问题进行力学分析时，需要先做出以下假定：
（1）不考虑地质构造等作用引起的地层各向异性，岩土体为均质的、各向同性的；
（2）计算孔壁周围的应力应变时，假设计算单元为一无自重的单元体；
（3）不计由于成孔过程中土体扰动而导致分析区域的重力变化，将岩土体的自重应力假设为作用在无穷远处的初始应力；
（4）岩土体的初始应力状态仅考虑岩土体的自重应力引起的部分，不考虑其他的外力作用。
3.3.1 基本方程
实际工程中的水平定向钻穿越轨迹是位于三维立体坐标系中的几何曲线，但考虑到施工长度远大于钻孔的截面尺寸，因此可以将水平定向钻穿越的钻孔简化为平面应变问题，孔壁的应力状态分析的平面应变模型如图3－1所示。
众所周知，圆形钻孔采用平面极坐标比平面直角坐标系方便，所以可以把水平定向钻穿越水平孔孔壁的弹性力学分析的平衡方程、几何方程和物理方程简化为：平衡方程：
图3－1 钻孔应力分布示意图
式中：Kr——土体在径向上的体积力（Pa／m）；
Kθ——土体在环向上的体积力（Pa／m）；
σr——土体在径向上受到的正应力（Pa）；
σθ——土体在环向上受到的正应力（Pa）；
τrθ——土体受到的剪应力（Pa）。
几何方程：
式中：εr——土体在径向上的应变（无量纲）；
εθ——土体在环向上的应变（无量纲）；
μrθ——土体发生的位移（mm）。
物理方程：
为了求解方便，可以引进Airy应力函数φ（r，θ），使得：
式中：φ——Airy应力函数。
将式（3－2）至式（3－4）最后简化为一个控制方程：
3.3.2 受力分析
由于地层中的初始地应力的平衡状态在成孔过程中被破坏，因此这里将地层中的原始初应力定义为一次应力状态，而成孔后经过应力重新分布形成的应力状态称为二次应力状态。由于水平地层中任一点的初应力为：
将上式转化为极坐标为：
从力学问题上讲，水平定向钻的成孔过程可以看作是一个孔口效应问题，如图3－1所示。式（3－7）描述的一次应力状态为孔壁的远场应力，考虑到应力函数和应力分量的关系，则可假设成孔扰动的应力函数为：
φ（r，θ）＝f1（r）＋f2（r）cos2θ（3－8）
将上式带入相容方程（3－7），则有：
为了使所有的变量θ都满足，则上述方程可分解为：
式（3－10）是两个标准的欧拉（Euler）方程。引入中间变量r＝et，则式（3－10）第一个等式转换为常系数方程：
其解为：
f1（r）＝at＋bte2t＋ce2t＋d
取反演变换t＝lnr，则：
f1（r）＝a1lnr＋b1r2lnr＋c1r2＋d1
同理可以得到式（3－10）第二个等式的解：
将解得的f1（r）和f2（r）代入式（3－8），可以得到开挖扰动应力状态的应力函数：
φ（r、θ）＝Alnr＋Br2lnr＋C′r2＋D′＋（Cr2＋Gr－2＋F）cos2θ（3－12）
将式（3－12）代入式（3－7），得应力分量：
式中：A、B、C、D、G、F、C′、D′均为待定常数，由边界条件确定。
水平定向钻穿越的成孔过程是在处于初始应力场的地层中进行的，孔口应力集中问题可以定义为成孔后的钻孔周围土体的二次应力场，由钻孔周围初始应力场与成孔过程中的扰动应力场叠加得到，在轴对称情况下，孔口集中问题的一般解，即扰动应力场的一般表达式，已在上节中求出。钻孔成孔后，孔边应为零应力状态，但是，由于初始地应力的存在，孔边的零应力状态，即意味着必须沿洞口周边施加一个与初始地应力相反的荷载，这样就有孔口应力边界条件：
其中：
式中：a——钻孔半径（mm）。
另外，根据水平定向钻穿越的施工特征，可以假设其成孔过程是一个局部效应，可以将钻孔外围的土体看作是一个无限大的空间体，因此离钻孔足够远的地方没有受到任何的影响，即：
将上式代入式（3－13）中，可以得到：
B＝C＝C′＝D＝0
因此钻孔周边的应力边界条件可以变为：
联立上式可以求解得到常数A、F和G：
然后将常数表达式（3－17）代入应力分量方程（3－13），就可以得到成孔后钻孔周围土体的扰动应力表达式：
将式（3－15）和式（3－18）叠加，即可得到成孔后周围土体的二次应力场为：
为了考虑垂直压力和水平应力之间的关系，令λ＝σx／σz，假设垂直压力σz等于水平应力σx，则上述问题变为轴对称问题，即为拉密问题的解答，然而，随着水平定向钻扩孔直径的增加，特别是铺设大直径油气管道时，垂直压力σz和水平应力σx相差较大，根据上述结论分析不同垂直压力σz和水平应力σx情况下水平孔壁周边的应力变化情况，读者可以分别假设λ＝0、1／4、1／3、1，并计算水平孔壁周边的应力集中系数。
3.3.3 孔壁周围岩土体的位移
虽然在水平定向穿越中土体的位移不作为判断孔壁失稳的主要因素，但是考虑到孔壁变形，这里将根据土力学里假设的土体的弹性本构关系来推导水平定向钻成孔过程中孔壁周围土体位移的基本求解过程。
（1）截取半径为r处的微元环中的一段土体作为计算单元，厚度为dr、宽度为rdθ；先根据该微元体的应力状态建立单元体在切向和径向的静力平衡方程；
（2）利用微元环变形的几何关系，得出其径向应变和切向应变的方程；
（3）通过广义胡克定律（E表示弹性模量，ν表示泊松比），建立应力与应变关系的物理方程；
（4）根据这三大基本方程，结合相应的边界条件，即可求解出应力、应变、位移的方程。
根据圣维南原理，方形边界可简化为圆形边界，将孔壁看作受内外压力的厚壁圆筒，如图3－2所示。
图3－2 厚壁筒模型图
孔壁为内半径为a、外半径为b的厚壁圆筒，在内表面受内压p1，在外表面受外压p2，孔壁的边界条件为（为了推导计算符号统一，规定拉为正、压为负）：
在平面应变问题下，分别求解应力分量、应变分量、位移分量：
岩土体在水平定向钻成孔之前存在初始地应力场，为了研究的方便，假设土体的侧压力系数为1，即水平地应力与垂直地应力相等，问题可进一步简化为轴对称问题。基于以上分析，孔壁的非零分量有径向位移、径向应变、环向应变、径向应力、环向应力、轴向应力。附加场的量分别用μ，εr，εθ，σr，σθ，σz表示，上述物理量带上标“0”表示初应力场的量，带上标“′”表示钻孔过程中或者钻孔之后的总的场变量，则有：
μ′＝μ （3－26）
ε′r＝εr，ε′θ＝εθ（3－27）
σ′r＝σ0r＋σr，σ′θ＝σ0θ＋σθ，σ′z＝σ0z＋σz（3－28）
上式中，考虑到土体初始应力场中的位移是在漫长的地质历史时期产生的，现存已经看不见了，因此取初始变形（应变和位移）为0，钻孔过程中需要计算附加场，可完全借助上述的厚壁筒解答进行分析。设初始地应力为p0，则有：
σ0r＝σ0θ＝－p0（3－29）
在孔壁边界线上，钻孔之前作用力满足：
q＝－p0（3－30）
钻孔之后，边界线处为临空面，为了描述钻孔的中间过程，引入荷载参数δ（在0到1之间变化），使得孔壁边界条件为：
q＝δp0（3－31）
这样参数δ从0到1变化，就可以计算出整个开挖过程的附加场，从而得到孔壁应力被逐步解除的全过程。
为了求得成孔后孔壁附近岩土体的位移，将应力分量式（3－13）代入到物理方程式（ ），然后再将其代入几何方程式（ ）并转化为平面坐标系，可得到：
对上式进行一次积分，可以得到
同理有：
将式（3－13）代入到上式，然后对其积分并转化为平面坐标系可以得到：
式中：g3（θ）、g4（r）是关于θ和r的任意函数。
根据对称条件
＝0，可以得到：
g3（θ）＝0， g4（r）＝0
这样，得到孔壁周围岩土体的位移表达式（对于二次应力）为：
钻孔成孔后周围岩土体的位移为：
3.3.4 理想弹性状态的力学分析
应用厚壁筒模型分析钻孔孔壁的应力状态，平衡方程、几何方程、物理方程均是按照总场应力求解的，附加场应力表述的方程与总场应力表述的方程具有相同的形式。
在钻孔孔壁地层处于理想弹性状态时，假设内压力p1＝δp0，外压力p2＝0，即附加场的边界条件为：
利用上一节中弹性厚壁筒的解答，得到附加场的解：
式中：a——水平定向钻钻孔的半径（mm）；
E——弹性模量（k Pa）；
ν——泊松比（无量纲）。
分析上式可知，由于钻孔引起的附加场影响范围逐渐增加，在影响范围内，同一处的切向应力与径向应力的绝对值逐渐增大，位移绝对值也逐渐增大。
钻孔过程中，得到总场的解为：
分析上式可知，当r→∞时，远场应力σr＝σθ＝－p0，远场位移μ＝0，这与假设的原地应力场条件吻合。同时表明钻孔过程不改变远场应力，也不产生远场位移，即钻孔引起的扰动仅是局部的。
以上给出了弹性变形阶段的解答，但是如何确定使孔壁处于弹性变形状态的受力范围是十分重要的。为了确定钻孔形成后孔壁的变形属性，有必要借助塑性理论给出弹性变形阶段的应力范围。钻孔的形成导致应力重新分布，如果在孔壁处超过了土体的屈服条件，则土体进入塑性状态。
分析式（3－39）和式（3－40）可知：径向应力在r＝b时，取最小值0；切向应力在r＝b时，取最大值
。与初始场叠加后，二者的相对大小不变。因此在内壁处进入塑性状态时，径向应力为最大主应力，切向应力为最小主应力。根据Tresca屈服准则：
σ′r－σ′θ＝σs＝2τs（3－45）
将式（3－39）、式（3－40）中σr，σθ代入屈服条件中，得到：
从而得到内壁进入塑性状态时的应力为：
式中，pe为弹性极限压力或弹性临界压力，即地层处于弹性状态的适用条件是：
考虑实际情况，将地层看作无限厚壁圆筒，则外半径b→∞，此时：
易知从内壁（r＝a）最先进入屈服状态，此时：
式中：δe——弹性极限荷载系数（无量纲）。
下面分析孔壁处于理想弹塑性状态时的稳定性问题。
水平定向钻成孔过程中，孔壁上作用的总应力为：
q′＝δp0－p0＝（δ－1）p0（3－51）
水平定向钻成孔过程中δ的取值范围是［0，1］，因此总应力的范围是［－p0，0］，q′为负值表示压力。在弹性变形阶段，荷载参数δ的取值范围是［0，δe］，而在此阶段总应力q′的取值范围是［－p0，（δe－1）p0］。将式（3－50）求得的弹性位移公式代入到（3－41）中，令r＝a， b→∞，得出孔壁临界线上的位移为：
上式中μ（a）取负值表示孔壁位移指向孔内，这与总压力随着钻孔的形成逐渐减小（卸荷）是一致的。引入无量纲参数
上式可以写为：
上式的含义表示为平衡路径，是一条斜率为正的直线，因此在弹性变形阶段，钻孔的形成引起的应力重分布是稳定的。在钻孔的动态过程中，一旦δ＝δe，则孔壁开始屈服。从上式可知，孔壁是否屈服与地层的屈服应力和原地应力场有关。如果τs＞p0，则δe＞1，意味着孔壁一直处于弹性状态而不会发生破坏，因而在具有一定抗剪切强度的较浅地层（p0较小），不会出现孔壁破坏。
但是，在实际的钻进过程中，浅部孔壁仍然可能出现坍塌。砂土颗粒本身之间的胶结强度很小应该是主要的原因。如果土的强度足够，则认为不仅仅是单一的钻孔形成引起的二次分布应力造成的，而钻孔液与地层的相互作用是主导因素。
3.3.5 弹性 理想塑性状态的力学分析
根据上一节的分析，当荷载参数δ大于弹性极限荷载系数δe时，孔壁开始出现塑性区，塑性区外面是弹性区，孔壁进入塑性变形状态。随着应力的进一步增大，塑性区也会不断地扩大。设弹性区与塑性区的交界线为r＝c（图3－3）。
对于塑性区（a≤r≤c），平衡方程可写为（附加场与总场的表达一样）：
图3－3 弹性区与塑性区范围
通过积分计算，可得塑性区的应力为：
对于弹性区（c≤r≤b），可将内层塑性区对外层弹性区的压应力σr｜r＝c＝pc视为作用于内半径为c、外半径为b的弹性圆筒上的内壁应力，则完全可以利用前面关于弹性区应力位移的计算方法，只需要将a改为c、δp0改为pc即可。实际上在边界r＝c处可认为就是弹性极限压力，此时：
可得弹性区的应力和位移为：
根据弹性区和塑性区交界处的径向应力连续性，可得：
分析上式，可知随着荷载系数的增大，塑性区向外扩张（即c增大）。从理论上讲，将钻孔周围的地层等效为无限厚壁圆筒，塑性区可无限扩大。当c＝b时，塑性区会贯穿整个厚壁筒。塑性区域的极限状态下的承载力为
。但是，实际上，水平定向钻的钻孔一般分布于距离地表数十米，塑性区并不能无限扩张。
由上式可得荷载参数与c的关系式（b→∞）：
对于塑性区的位移，根据正交流动法则，塑性的体积应变为零，因而有：
即：
将上面所得的塑性区应力表达式（3－59）和（3－60）代入上式并积分，得：
因为弹性区的位移已经给出，上式中的积分常数A需要根据r＝c时位移的连续性条件得出，求得：
根据以上解答，孔壁处于弹塑性状态时的总场应力为：
总场位移为：
再考虑弹塑性变形阶段，此时δ＞δe，而总应力的范围是［－（δe－1）p0，0］，由荷载参数与c的关系可得：
引入无量纲参数
，并将塑性区半径c用塑性区径向无量纲宽度ξ代替
上式表示塑性区的径向尺度与内径之比，在弹性变形阶段ξ＝0，随着内压力的增大，ξ不断增大。将r＝a代入本节计算所得的塑性位移公式，得：
在上面三式中消去δ和ξ，即可得到钻孔过程中塑性变形阶段（δ＞δe，ξ＞0）的平衡路径。结果表明：平衡路径为单调上升正斜率的曲线，因而对于理想弹塑性状态的岩土体，孔壁即使存在塑性屈服，但是整个钻孔过程是稳定的。
3.3.6 弹性－软化塑性状态的力学分析
简化的弹性－软化塑性状态的应力－应变曲线如图3－4所示，应力达到峰值σs后，随着变形的发展，曲线呈下降走势，即应力降低应变增大。下降段的坡度（dσ／dε或者dτ／dγ）为负值，将坡度的绝对值记为Et或Gt，即Et＝｜ET｜或者Gt＝｜GT｜，在变形达到ε0或者γ0后，曲线又呈水平走向，其幅值σ0或τ0为残余强度。
图3－4 弹性－软化塑性状态的应力－应变简化曲线
当孔壁出现塑性变形后，仍以r＝c作为弹性区和塑性区的分界线。考虑岩土体的软化塑性特征，此时塑性区称为软化塑性区。在塑性区的外边界r＝c处是刚刚屈服的，它们的屈服应力保持为峰值应力σs；在塑性区的内部（a≤r＜c），屈服应力因为应变软化已经小于峰值应力σs。随着塑性软化区不断扩展，直到塑性区的内边界r＝a处的屈服应力达到残余屈服应力σ0。此时，软化塑性区的范围为a≤r≤c。随着变形的进一步扩展，内壁上的屈服应力保持在残余应力σ0的水平，不再发生变化。这时整个塑性区仍然在扩展，但在软化塑性区之后存在一个“理想”的残余屈服应力σ0的塑性区。将仅有软化塑性区的情况称为塑性变形发展的第一阶段，而将出现残余理想塑性区之后称为塑性变形发展的第二阶段。
对于塑性变形发展的第一阶段，分析如下：
首先，考虑弹性区（c≤r＜b），由于在r＝c处是恰好刚进入塑性，作用在弹性区边界r＝c的法向应力为上面求得的弹性极限压力，即：
弹性区的应力和位移与前面的弹性解答相同，即：
其次，考虑塑性区（a≤r＜c），由于材料是软化塑性的，在塑性区内屈服应力是变化的，其大小与应变ε有关。而屈服应力随空间坐标r的变化规律事先未知，因此软化塑性的应力分布不再是静定问题。设软化塑性区内屈服应力是 的一个函数，即：
σs（r）＝f（r）σs（3－80）
这个函数f（r）是待定的，在r＝c时f（c）＝1，在r＝a时f（a）＝m，其中0≤m≤1。此时屈服条件（用附加场表示的和用总场表示的相同）可写为：
σr－σθ＝f（r）σs（3－81）
将上式代入平衡方程，得到
利用边界条件σr｜r＝a＝δp0，对上式积分，得：
因此，可得：
在r＝c两侧的应力σr（c＋）和σr（c－）可分别用弹性状态将式（3－85）表示为：
根据应力的连续条件σr（c＋）＝σr（c－），可得：
接下来讨论软化塑性区a≤r＜c的位移场并确定函数f（r）的具体表达式。在软化塑性区，上一节推导依据的原理是塑性的体积应变为零，即下式仍然成立。
将式（3－85）代入上式，得：
由上式可得塑性区位移为：
根据位移与应变之间的几何关系，可由上式导出应变的表达式，进而得到塑性区最大剪应变γ的表达式
式中
满足如下微分方程：
利用公式
，σs＝2τs，τs＝Gγs，最大剪应变γ的表达式可写为：
根据全应力－应变曲线，在峰值强度后的下降阶段显然有：
τs－τs（r）＝－Gt［γs－γ（r）］（3－96）
式中，Gt是下降坡度，是切线模量的绝对值，即Gt＝｜GT｜，由于
τs＝Gγs， τs（r）＝f（r）Gγs（3－97）
利用式（3－95），上式可写为：
对上式求导，得出：
再利用式（3－95），可计算得出：
函数F（r）和常数A在推导的过程中被消除，上式可进一步简化为：
称上式定义的n为“脆度”。利用边界条件f（a）＝m，微分方程的解为：
利用f（c）＝1，得：
因此，有：
知道了f（r）的具体形式，就能计算得出相关积分，代入式（3－83）、式（3－84）、式（3－91），常数A可由弹性区和塑性区交界处的位移连续条件确定。可以得到软化塑性第一阶段塑性区总场的应力分布和位移分布：
上面假设了塑性区外边界r＝a处τs（a）＝mτs，由于残余屈服强度τ0（a）＝m0τs，因此有m≥m0。式（3－105）给出了内变量参数ξ与m的关系，因而以上各式的适用范围是：
如果变形继续发展，即ξ≥ξtr，则进入塑性变形发展的第二阶段，分析如下：
此时，孔壁地层分为3个区域（图3－5）：
（1）弹性区（b≥r≥c）；
（2）软化塑性区（c≥r≥c1）；
（3）残余理想塑性区（c1≥r≥a）。
此时r＝c仍表示弹性区与塑性区的交界，r＝c1是软化塑性区与残余理想塑性区的交界，随着变形的持续发展，c和c1的值都不断增大，而软化区逐渐地向外移动。
图3－5 塑性变形第二阶段的弹塑性分区
设定塑性区内的屈服应力为：τs（r）＝g（r）τs
运用前面的方法求解塑性变形第二阶段的应力分布和位移分布时，只需将g（r）代替f（r），前面的各公式均成立。易知：
式中
经过积分运算，得出总场的应力场和位移场的表达式：
下面讨论孔壁地层处于弹性－软化塑性状态时的稳定性问题。
在弹性阶段（δ＜δe，ξ＝0）的平衡路径为：
在塑性变形的第一阶段（ξtr＞ξ＞0）的平衡路径为：
δ＝δe［n＋2nln 1＋ξ（ ）－n－1（ ）1＋ξ（ ）2］（3－117）
在塑性变形的第二阶段（ξ＞ξtr）的平衡路径为：
如果m0＝0，可知
（3－123）
因此，临界点发生在塑性变形的第一阶段终点或第二阶段的起点。对应于不同δe可以得出临界点（失稳点）：
目前，孔（井）壁稳定性弹塑性分析通常采用的方法是，在原地应力场和孔壁压力共同作用下得出钻孔应力分量表达式，利用孔壁处出现屈服破坏来确定孔壁压力的大小，以确定泥浆压力，设计泥浆密度。这显然是一种强度分析方法。根据上述计算结果，做出平衡路径趋势线如图3－6所示，图中的纵坐标为负，且向上递增。
图3－6 弹性－软化塑性钻孔过程的平衡路径
根据本节的稳定性分析方法，以失稳的临界荷载qcr作为泥浆压力来确定泥浆密度更加合理。按照强度分析方法得出的孔壁压力是qe，相当于平衡路径曲线上ξ＝0的点的值，而由临界荷载计算的孔壁压力应该为qcr，相当于ξ＝ξtr的点的值。如果用｜qcr｜和｜qe｜表示其绝对值，即压力，显然有｜qcr｜＜｜qe｜。因此按照弹性理论和强度分析的方法得出的压力偏大，这种计算方法得到的结果偏于保守，计算得到的泥浆密度设计值较大。
3.3.7 孔壁坍塌的几何特征
以上几节的计算分析中，主要是从稳定性角度分析孔壁周围地层的应力、应变和位移情况，并且引入荷载系数研究了钻孔过程中的孔壁动态响应情况。计算得到的结论仅仅是力学角度上的。从理论上讲，水平定向钻的钻孔截面形状为圆形。但是对于一些胶结能力较差或以松散介质为主的地层，孔壁常常发生坍塌或掉块，特别是在管道直径较大的大型油气管道穿越工程中，施工中经常会出现孔壁变形或坍塌等孔壁失稳情况，然而，由于孔内压力和地层岩土体本身具有一定的承载力，孔壁失稳又具有一定的局限性，即便是出现孔壁坍塌，其坍塌范围也很少直接影响到地表，因此有必要讨论孔壁在失稳状况下的几何特征。
本节借助地下工程中的松散体理论，对孔壁坍塌的范围、规模进行分析。大型的水平定向钻穿越工程的管道直径一般都超过1000mm，一些油气干线管道的直径甚至会达到1422mm（如西气东输五线工程），对于这样一些情况，水平定向钻穿越的终孔直接需要达到1800mm，因此研究上述钻孔孔壁稳定性就可以借鉴地下工程中的洞室稳定性的理论。在地下工程中，洞室的稳定性与埋置深度或覆盖层厚度有关，浅埋的地下洞室，开挖后洞顶岩土体产生较大范围的沉降，严重的可导致塌落、冒顶等现象。而在深埋洞室中，洞顶岩土体的部分塌落，促使顶部岩土体的应力状态发生改变，最终形成一个自然平衡拱使得平衡拱上部的岩土体保持稳定。在水平定向钻工程中，钻孔的形成相当于小面积开挖的地下洞室。通过计算分析，一般认为影响范围为以钻孔中心为圆心，5倍钻孔直径范围。当成孔后的孔壁发生松散体的坍塌，如何确定松散介质塌落的高度和范围是非常重要的，这能够为泥浆工艺、钻孔设计提供一定的参考。
浅埋洞室一般认为是岩土体向下滑移，通常采用岩柱法、太沙基（Terzaghi）方法计算。对于深埋洞室，认为是岩土体的部分塌落，通常采用普氏理论计算。水平定向钻的钻孔深度一般距离地面数十米甚至更深（两端的倾斜段除外），钻孔周围的岩土体是深埋的，采用普氏理论分析。普氏理论认为，地下洞室塌落后洞顶形成抛物线形状的拱形，并对抛物线的高度和边界方程进行了研究，如图3－7所示。
图3－7 普氏理论的卸荷拱示意图
地下洞室的计算宽度为2a，高度为h，根据水平定向钻孔的几何特征易知：a＝D／2， h＝D，其中D为钻孔直径。将水平定向钻的钻孔参数代入公式中，可得如下参数值：
自然平衡拱的计算跨度为：
式中：φ——土体内摩擦角（°）。
坍塌的最大高度为：
自然平衡拱轴线方程为：
对自然平衡拱曲线积分，可得在钻孔截面上的理论坍塌面积为：
考虑最大坍塌范围，则：
以上各式中，f表征岩土体的坚固性系数，物理意义为
，根据工程实际确定，通常需要考虑现场施工情况、地下水的影响、岩土体的完整性等，可按照表3－2进行取值。
表3－2 岩土体的坚固性系数f
应用普氏理论分析水平定向钻孔壁稳定性的意义在于估算坍塌的高度和范围、塌落的岩土体积量。对于不稳定的岩土层而言，塌落的土体分散在泥浆中。如果泥浆的性能良好并在循环过程中足以及时携带出这些塌落的砂土，理论上而言，仅仅在钻孔上方存在平衡拱，不至于发生钻孔被砂土体堵塞报废。
这种方法比较简单，而且在一定程度上反映了岩石的客观性质，但它也还存在一些缺点：①岩石的坚固性虽概括了岩石的各种属性（如岩石的凿岩性、爆破性、稳定性等），但在有些情况下这些属性并不是完全一致的。②普氏分级法采用实验室测定来代替现场测定，这就不可避免地带来因应力状态的改变而造成的坚固程度上的误差。
除了上述的孔壁稳定性分析方法之外，目前还有其他多种分析模型，如美国ASTM－F1962标准中用的太沙基公式来计算管道上部土压力荷载，读者也可以根据实际工程情况采用土力学的知识进行推导和分析。
下面通过一个水平定向钻穿越工程实例来了解普氏理论在大直径水平孔的稳定性分析中的应用。某大直径水平定向钻穿越工程中，需要穿越一条宽约1200m的河流，铺设口径为812mm的X70钢油气管线，穿越场区上部为第四系全新统地层，冲积成因的粉质粘土和砂土层，下部为奥陶系上统紫色砂质泥岩层，穿越深度为30m，穿越中风险最大的地层为其中一段中粗砂地层，中粗砂的容重为16.5～17.5k N／m3，内摩擦角φ0＝12.5°，这里取粗砂的最大容重值17.5k N／m3，最后一级扩孔直径为1026mm，扩孔所用的CMC泥浆的容重为1.04N／m3，粘度约为0.15×10－5m2／s，计算在穿越粗砂地层时孔壁在泥浆护壁的状态下是否稳定。
根据普氏理论分析上述工程中孔壁稳定性，假设成孔后孔顶到普氏拱之间的土体为自由状态，如果孔壁临界处的土体处于稳定状态，那么可以认为孔壁是稳定的，反之则认为孔壁会坍塌，根据公式（3－126），可以求得普氏拱的矢量高度为
根据表3－2，将粗砂的坚固系数定为0.5，因此自然拱的高度hk＝2.138m
代入到公式σz＝γhk、σh1＝γhktan2
和σh2＝γ（hk＋R）tan2
中，可以求得孔壁顶部的土压力、最高点和中间部位的水平压力分别为：
σz＝17.5×2.13＝37.415（k Pa）
σh1＝17.5×2.13×0.644＝24（k Pa）
σh2＝17.5×（2.13＋1.016）×0.644＝35.455（k Pa）
根据泥浆的容重和钻孔深度计算孔内泥浆压力
σd＝γd·h＝305k Pa＞σz
因此该钻孔不会发生孔壁坍塌。
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