浅谈初中数学分类思想在教学中的渗透

浅谈初中数学分类思想在教学中的渗透

纪文刚

《九年义务教育初级中学数学新课程标准》对初中数学中的基础知识作这样的描述:“初中数学中的基础知识包括初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等，以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”数学思想和方法作为初中的基础知识在标准中明确提出，其在数学教学中的重要性和必要性由此可见一斑。学生通过数学学习，能应用数学的思想方法分析问题和解决问题，这对培养学生的抽象能力、推理能力、创造能力具有特殊作用。在日常的教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，使数学思想方法逐步转化为学生个体的思维品质。分类讨论思想是初中阶段解决数学问题时经常用到的一种重要数学思想，它是教学的难点，也是近年来中考的热点内容之一。所谓分类思想方法就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。在初中数学教学中逐步渗透分类思想方法，可启发学生积极思维，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯。可以从以下几个方面入手:

一、我们仔细分析教材的话应该不难发现，教材对于分类的渗透是一直坚持而又明显的。分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。比如在《有理数》研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的:在研究加、减、乘、除四种运算法则也是按照同号、异号、与零运算这三类分别研究的;去括号法则、有理数的乘法、乘方的教学中均可渗透分类的思想方法。学习一元二次方程，根的判别式时，对于得到一元二次方程的根的三种情况。需要分类研究△＞0，△=0，△＜0，这三种情况对应方程解的情况。而在《平面图形的认识(一)》一章中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类，在《函数》知识里将函数图象分为开口方向向上、向下，单调递增、递减来进行研究。在《圆》中按圆心距与两圆半径之间的大小关系将两圆的位置关系分成了六类。在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明(圆心在圆周角的一条边上)的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。在功用上这种思想方法主要可以避免漏解、错解，而在学生的思维品质上则有利于培养学生的思维严谨性与逻辑性。

二、在问题解决中强化分类思想方法，许多教师往往产生这样的困惑:题目讲得不少，但学生总是停留在模仿型解题的水平上，只要条件稍稍一变则不知所措，学生一直不能形成较强解决问题的能力，更谈不上创新能力的形成。究其原因就在于教师在教学中仅仅是就题论题，殊不知授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要。因此，在数学问题的探索的教学中重要的是让学生真正领悟隐含于数学问题探索中的数学思想方法。

1.根据某些数学概念的定义进行分类，在初中阶段的教学内容中，一些数学概念的定义，如有理数的建立，绝对值的化简，一元二次方程a x2+bx+c =0(a≠0)根的判别式，两圆的五种位置关系等等……，都渗透着分类讨论的数学思想，对涉及到分类讨论思想的概念，教师在讲授这些概念时要准确、科学，要让学生对分类讨论思想的概念有正确的认知、理解和牢固的掌握。

例1:已知a是有理数，那么│a│与a的关系是(　)　(A)│a│＞a(B)│a│　＜a(C)│a│=a(D)│a│≥a分析:绝对值概念是一种需要进行简单的分类讨论的概念(1)当a为正有理数或零时，│a│=a;(2)当a为负有理数，即a＜0时，│a│=－a＞0，│a│=－a＞a。得正确答案: D。

但我们会发现，总有一部分学生会选C，究其原因，是没弄清绝对值这一概念，认为求一个数的绝对值，如:│5│=5;│－7.5│=7.5;……，只 要去掉绝对值里面的负号。实际上，要讲清绝对值这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离，这样学生自然而然的会得出绝对值的三种分类讨论情况。为了使学生能牢固掌握初中数学中有关涉及到分类讨论思想的概念，有时可以采用让学生操作、分组讨论、师生一起加以归纳总结，同时增加变式训练的教学方法。例如，在学习两圆的五种位置关系的概念时，教师可让学生准备大小不等的两个圆，让学生自己动手操作，从两圆(半径不等时)五种位置关系:内含、内切、相交、外切、外离，归纳出两圆的半径r1、r2与两圆的圆心距d之间的关系.这样既培养了学生的探索精神，又有助于学生能形象、直观、生动和牢固的掌握这一知识点，在碰到问题时也就能迎刃而解。

例2:如果⊙O1、⊙O2的半径分别为4、5，那么下列叙述中，错误的是()(A)当O1O2=1时，⊙O1与⊙O2内切;(B)当O1O2=5时，⊙O1与⊙O2有两个公共点;(C)当O1O2＞6时，⊙O1与⊙O2必有公共点;(D)当O1O2＞1时，⊙O1与⊙O2至少有两条公切线。学生通过亲自操作，就能迅速、准确的判断出四个选项中两圆的位置关系:(A)内切;(B)相交;(C)相交、外切或外离; (D)相交、外切或外离。得正确答案: C。

2.根据字母的不同取值进行分类，对于具体问题，如函数、方程、不等式中的解、求代数式的值等，它们随着题中所给字母的不同取值而变化，这时要对字母的取值进行讨论。

例1:含两个分界点的代数式的化简，化简:│ x－4│－│x+2│，分析:由x－4=0，x+2=0得x=4和x=－2，其中－2、4两个分界点把实数分成三部分①x≤－2，②－2＜X＜4，③X≥4。因此需分三种情况讨论，去掉绝对值符号后求解。这类代数式的化简涉及的绝对值概念是分类定义的，因此在教学中必须让学生认识到解决这类问题，如果不进行分类，就容易出现混淆、漏解或错解;只有通过分类讨论，得到的结论才是完整的、正确的。

例2:当m=______时，函数y=(m+5)x2m－1+7x－3(x≠0)是一个 一次函数。分析:(m+5)x2m－1可能是一次项或常数项，也可能m+5=0，因此，分三种情况讨论:(1) 2m－1=1; m=1(2) 2m－1=0; m=0.5(3) m+5=0; m=－5在中小学数学课程标准中，对整式方程的教学要求是:通过对含有一个字母系数、次数不超过二次的一元整式方程求解，体会分类讨论的思想方法，会解这类方程。

例3:若点A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线y=上的两点，且x1＞ x2则y1与y2的关系(　) A.y1＞y2; B.y1＜y2; C.y1＞y2或y1＜y2; D.不能确定。分析:根据反比例函数性质，此双曲线在第一、三象限内，且在每象限内函数值y随x的增大而减小。因为没指明A、B是否在同一象限内，因此有三种可能:(1) A、B两点同在第一象限内;(2) A、B两点同在第三象限内;(3)点A在第一象限内，点B在第三象限内。在(1)、(2)两种情况中，因为x1＞x2，所以有y1＜y2，选B;在(3)两种情况中，有y1＞y2，选A;综上所述，由A、B两点所在象限的位置不同，所得的结果不一样，故选D。只有抓住了分类讨论的动因，把握住了分类的标准，才能做到分类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗漏，保证解题的准确率。

3.根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类，例如:解关于x的不等式: ax+3＞5x分析通过移项不等式化为(a－5)x＞3的形式，然后根据不等式的性质可分为a－5＞0，a－5=0，和a－5＜0三种情况分别解不等式。

4.根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆的位置关系根据直线与圆的交点个数可分为:直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

例1:等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，底边长为a，则其腰上的高是______。分析:本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高，从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类。

例2:在Rt△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a=3，b=4，求c的长。分析:这个直角三角形没指明哪个角是直角?有几种可能情况?①b是直角边，则c是斜边，得c=5;②b是斜边，则c是直角边，得c =

5.根据某些定理或公式的限制条件进行分类

例5:已知:等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角为______。分析:这个等腰三角形的高的位置可能在其内 部或外部，这条高等于该三角形某一条边的长度的一半，某一条边又可分为底边或腰两种情况，所以要对高在三角形的内部或外部以及高是底边或腰的长度的一半进行分类讨论，最后得出顶角为30°、120°或150°.

6.根据运算性质的适用范围或运算的特殊规定而分类

例6:已知:(a－b)2006=1，(a+b)2007=－1，试求a2006+b2007的值.分析:由(a－b)2006=1，得a－b=1或－1;由(a+b)2007=－1，得a+b=－ 1因此要分两种情况进行求解:所以a2006+b2007的值为1或－1。

7.当条件或结论不唯一时进行分类讨论，在教学中发现，这种情况是学生感到最困难的，在复习中，要作为分析和训练的重点。

例:如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1.

以A为中心顺时针旋转点M，

以B为中心逆时针旋转点N，

使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，

设AB=x.(1)求x的取值范围;

(2)若△ABC为直角三角形，求x的值;

(3)探究:△ABC的最大面积?分析:(2)问时:由于斜边不确定，所以要分类讨论，①若AC为斜边，②若AB为斜边，③若BC为斜边，(3)问时，①若点D在线段AB上，②若点D在线段MA上，正确解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类出各种符合条件的图形.画图能力和空间想象能力也是数学中的重要能力，是正确解答此类分类讨论问题所需要的能力，教学中应注意对学生画图能力和空间想象能力的培养，让学生多操作、多思考，提高学生的数学能力，通过对开放性问题的讨论，对条件的不确定性与结论多样性的探索、猜想，充分拓展学生的思维空间，使他们的思维更深刻、广阔、活跃。

8.根据图形的位置变化进行分类讨论

在中小学数学课程标准中，对直线与圆、圆与圆的位置关系的教学要求是:掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系以及相应的数量关系，并经历直线与圆、圆与圆的位置关系的动态变化过程，体验运动变化、分类讨论的思想和量变引起质变的观点。

例:已知⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，CD=6cm，AB=8cm，求AB和CD的距离。分析:两平行弦的位置关系有两种: AB、CD在圆心O的同侧，AB、CD在圆心O的异侧，故分类讨论得: 1cm或7cm。在几何图形问题求解过程中不断渗透分类思想，让学生明白掌握合理的分类方法，是成为解决问题的关键所在。分类思想讨论的步骤:①明确分类的对象及讨论对象的取值范围;②正确选择分类标准进行合理分类;③逐类讨论;④归纳总结。

三、在归纳总结中内化分类思想方法

分类思想方法贯穿在整个初中数学教材的知识点中，以内隐的方式溶于数学知识体系。要使学生把这种思想内化成自己的观点，应用它去解决问题，就要把各种知识所表现出来的分类思想方法适时作出归纳总结。概括分类思想方法要有目的、有步骤地引导学生参与数学思想的提炼概括过程，增强学生对数学思想的应用意识，从而有利于学生更透彻地理解所学的知识，提高独立分析、解决问题的能力。在归纳总结中一般要注意以下几个方面:(1)分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为:正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。(2)利用分类思想方法解决问题时要注意选择合适的分类标准，明确分类层次。(3)利用分类思想方法解决的问题有两大类:其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。(4)分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。(5)在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性、缜密性。

分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明确。另一方面在分类讨论的过程中，可进一步激发学生学习数学的兴趣和热情，增强其思维的条理性、缜密性。因此，在教学中我们要抓住问题的契机，适时地渗透分类思想，培养学生的分类意识，以提高学生分析、解决问题的能力。

参阅文献

［1］《数学思想和数学方法》蔡上鹤

［2］《中考数学命题热点与规律探折》彭林、刁卫东

［3］《应重视分类讨论思想在初中数学的渗透》石国利

［4］《浅谈分类讨论在初中数学教学中的渗透》文海峰

［5］《中学数学教学论》罗小伟

［6］《如何运用分类讨论思想解题》刁卫东

［7］《学会分类方法，提高分类意识》王燕春

［8］《初中生学习法与能力培养》任勇

［9］《数学思想方法与中学数学》钱佩玲　邵光华