初议数学思想在课堂教学活动中的有效渗透

初议数学思想在课堂教学活动中的有效渗透

■刘　燕

“双基”是我国数学教育多年形成的传统，然而，随着社会的发展，特别是人类知识的快速增长，只是强调“双基”对学生的实践能力和创造性思维的发展不利，必须在“双基”的基础上有所发展和突破。

数学课程的性质表述为：“数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力。”因而，只有知识技能是不够的，必须同时发展学生数学素养的其他方面，基本思想和基本活动经验正是学生数学素养的重要组成部分。提出基本思想、基本活动经验的最重要的原因，是要切实发展学生的实践能力和创新精神，从“双基”到“四基”是多维数学教育目标的要求。

那么，如何在课堂教学活动中渗透数学的基本思想和基本活动经验呢？以北师大版《数学》四年级下册《用字母表示数》为例，我在教学设计中做了如下的尝试：

一、设疑激趣，展开新课

1.经历用字母表示数的抽象概括过程。

（1）仔细观察，下面的字母各表示哪个数：

①2　4　6　A　10　……

②A　2　3　4　5　6　7　8　9　10　J　……

师：看来，有时字母在特定的条件下表示的数是特定的。

（2）字母是否只能在一定的条件下表示特定的数呢？在生活中我们常常遇到这样的问题：

今拾得钱包一个，内有人民币X元，请失主与速与我们联系。

师：这里的X表示什么呢？为什么用X来表示钱数呢？（1.可与失主验证钱数是否正确；2.如果钱数较多，担心有人会冒领……）X在这里是否像A、J一样表示特定的数呢？（不是，可以表示任何数）

师小结：A、J、X这些字母都表示了数，由上面的两个事例可以看出，字母可以在特定的条件下表示特定的、不变的数；也可以在可能的条件下表示任意的一个数。

为什么我们要学习用字母表示数呢？下面我们继续来研究用字母表示数。

【在课程标准解读中，提出了三个基本思想：抽象、推理、模型。抽象概括能力的培养是学生必备的能力之一，课堂教学活动的呈现必须为学生的后续发展奠定坚实的基础。】

二、初步理解含有字母的式子既表示数以及表示数量

1.想知道我的年龄吗？年轻美丽的女老师的年龄可是一个秘密，我是不会告诉你的喔。不过，我可以告诉你们我比某一个同学大22岁。请拿出学习单，请一生板演，然后生独立完成。怎样列式？

学习单：

老师比______大22岁。

①当他______岁时，老师______岁

②当他______岁时，老师______岁

③当他______岁时，老师______岁

④当他______岁时，老师______岁

⑤当他______岁时，老师______岁

2.师指着第一排问：“1”表示谁的年龄？“1＋22”呢？

3.师手指第一排，这一排就表示：当同学们1岁时，老师的年龄是1＋22岁。

4.那第二排表示什么？（当同学们2岁时，老师的年龄是2＋22岁）第5排呢？

5.上面这5个算式能不能表示当同学们20岁时老师的年龄？（不能）看来只有重新写算式了。（师板书算式）

6.刚才写的所有算式能不能表示当同学们30岁时老师的年龄。（不能）看来还得再写。

7.如果我还想知道当同学们40岁、50岁、60岁时，老师所对应的年龄，我还得写下去，很麻烦。

8.看来，每一个具体的数，都只能表示同学们在这个年龄时，老师所对应的年龄。那，有没有这样一种方式，既能表示同学们任意时期的年龄，又能通过它，表示出老师的对应年龄。

独立思考。师巡视。

9.师出示3种不同的表示方式。

方式一：N　　　N

方式二：A　　　B

方式三：N　　 N＋22

小组交流，你们赞同哪种方式，不赞同哪种方式？为什么？

（老师和同学的年龄不可能相等，所以方式一不对；方式二不能看出老师与同学年龄之间的关系）

生交流后说自己的意见，最后全班一致赞同方式三。

10.师小结：用N＋22这个含有字母的式子，可以清楚地看出老师和同学之间的关系。

【基本思想这一层面是数学思想的最高层面。处于下一层次的还有与具体内容紧密结合的具体思想，如数形结合思想、化归思想、分类思想、方程思想、函数思想等。在数学思想之下统领的还有一些具体的方法。数量之间的关系包括数的大小关系及其所对应的数量之间的多少关系，也包括变化的量之间的函数关系等。学生在观察两个变量之间对应的数据时，能够对于它们之间可能存在的关系进行初步的判断，因此教师立即设计如下的教学片断，让学生感受数量之间的变化的函数关系，虽然老师没有告诉学生这是函数思想的一种，但是学生正在经历这么一种思想的潜移默化的影响和作用，这些都是隐性的，暂不可测的存在，必然会让学生在学习过程中积累良好的数学思想。】

11.N可以表示哪些数？（可以表示所有的自然数）

12.能不能用一个字母表示老师的年龄？（Y），那同学的年龄怎么表示？（Y－22）

13.是不是只能用这两个字母来表示？

14.师小结：我们用字母N和Y表示了同学的年龄、老师的年龄，可见字母是可以用来表示数和数量的。（板书：字母表示数量）而N＋22和Y－22不再是字母了，而是含有字母的式子。含有字母的式子也可以表示数量，同时也可以表示老师的年龄与同学的年龄之间的关系，其实，我们的年龄差是22岁。（板书）

15.通过猜年龄游戏，你体会到用字母表示数的好处了吗？

【变量和自变量的教学也在不经意间用含有字母的式子表示学生的年龄中自然地呈现出来，这样函数思想的体现也就比较完整了。在数与代数领域《字母表示数》的理解和运用等内容的学习中，在使学生理解相应的数学知识技能的同时，还要关注学生数感、符号意识的形成，把重要的数学思想体现在教学之中。】

再以《图形中的规律》为例来谈谈：从该课例的第二个阶段谈起。

三、探究规律，体验方法

1.探究独立三角形个数与所需小棒根数之间的规律

①电脑出示独立地1个、2个、3个……100个三角形，并问：师：请看，独立地摆1个三角形，需要几根小棒？（3根）那老师说三角形的个数，你们来抢答所需小棒的根数，好吗？比一比，看谁的回答又快又准确？2个？（6根）3个？（9根）10个呢？100个三角形呢？

②引导摆节省小棒根数的三角形。

师：300根小棒，要那么多小棒，多一个三角形就要多3根小棒，我想要摆的三角形越多用的小棒的根数越少，怎么办呢？把你的想法画在草稿本上吧！

【独立地摆三角形是探究有公共边的三角形的个数与所需小棒根数之间的规律的新知识点，以增加学生的基本活动经验为切入点，引起学生的认知冲突，有利于突出本节课的重点。】

2.探究有公共边的三角形个数与所需小棒根数之间的规律

①展示学生的摆法

②师：我们今天就研究这样摆成一排的摆法的规律吧！摆1个要几根小棒？（3根）2个呢？（5根）3个呢？5个呢？（学生可能答不出来了）

③猜测：那摆10个这样的三角形要用几根小棒？大胆地猜一猜：生：20根……

④验证：到底谁的答案正确呢？让我们动手验证看看：先听听老师的要求：

根据自己所在小组情况，选择合适的研究方法：画、摆、直接写出答案的……用小棒摆出这样的一排三角形，从摆第一个三角形起，每摆一个三角形就记录一次，依次把所用小棒的根数填到表格里面；

想想议议：想一想，三角形的个数与所需小棒根数之间有什么规律？找到摆10个三角形需要多少根小棒？摆n个呢？

教师巡视，参与活动，耐心倾听，适时指导。

⑤汇报：

汇报展示前给1分钟做好汇报准备：采用了什么方法？遇到了什么问题？是怎样解决的？发现了什么规律？（汇报时均用教具展示）

哪个组愿意汇报你们组发现的规律？

生1：我们小组通过画的方法：画好这样的10个三角形后直接数出来的。

生2：我们采用摆三角形的方法：摆第一个用3根小棒，以后只用增加2根小棒就可以了。（学生倾听、观察板演同学摆的过程）学生先摆1个三角形用了3根小棒，这样摆到第10个三角形就增加了9个2根小棒。学生质疑：那摆到第10个三角形只增加了几个2根小棒？为什么摆10个三角形只增加9个2根小棒呢？因为第一个三角形必须用3根小棒，以后每摆一个三角形只需要增加2根小棒就可以了，摆10个三角形就增加了9个2根小棒；发现的规律是：3＋2×9＝21根，如果有n个三角形我们总结的规律就是3＋2×（n－1）＝小棒的根数（注解3、2、n－1的意思）

生3：我们组也采用摆的方法，但是找的规律和他们不一样，我们列的算式是：3×10－9＝21（根）（你们能详细地说一说，我们一起来分享。）10个三角形就有9条公共边。（好，公共边，一个很新鲜的名词，公共边是什么意思，你们组能给小朋友讲讲吗？可以引导学生用教师准备好的学具小棒在黑板上摆出来，2个三角形有1条公共边，3个三角形就有2条公共边，我们发现公共边的条数总比三角形的个数少1根）

生4：我们也是这样摆的，先摆1根，然后摆了10个2根，就这样的（学生在黑板上用吹塑纸摆），因此我们总结的算式是：1＋2×10＝21（根），如果有n个三角形，可以表示为1＋2×n＝小棒的根数。

师：首先老师要表扬所有同学的倾听，这是多么可贵的学习习惯呀！同学们做得好，其次老师要表扬有机会展示自己思想过程的小组同学，讲得非常清楚，明白，老师不知道你们是否懂了，还有疑问吗？你理解了其中的哪些方法呢？选择自己喜欢的方法、理解掌握了的方法来做这道题：30个这样的三角形需要多少根小棒？

生：3×30－29＝61，1＋2×30＝61，3＋29×2＝61。

35个三角形呢？

【以学生的自主学习为主体的课程正是本节课的教学目标要达成的目的，主要是通过用表格的方式呈现，并突出渗透数学思考方法——递推法，通过小组探究活动的过程去实现，并让学生自主习得！这是本节课的重点和难点所在，改变以往的教学方式，放手让学生自己去探索、去实践，让学生成为学习的主体，注重生本课堂的展现，这里是这节课的成功之处。教师只是导航员，在重点和难点处巧妙地出现与悄悄地退出，让学生与学生在课堂中互相学习、互相启发、互相质疑，相信学生，他们具有这样的实力，关键是教师一定要给他们创造适时的空间和时间。学生呈现的方法是学生自己探究获得的，他们更有发言权。而通过实践验证并积累的数学基本活动经验更能让学生体会规律的探究过程，强调学生的主体体验，效益更突出。】

四、应用规律，解决问题

1.独立探究

用这样有公共边的摆法摆正方形，又有什么规律呢？独立完成表格。

2.同桌交流

3.全班反馈

①出示表格并填写。

②同学们发现了什么？

③20个正方形需要几根小棒？

【让学生运用自己习得的方法自己独立解决有公共边的摆法摆正方形的规律，学生比较轻松，知识的迁移能力得到很好的发展！】

五、全课总结

这节课你有什么收获？我们通过化繁复为简单，通过找1个、2个、3个图形的规律递推到多个图形，解决复杂的问题。

六、应用所学，拓展延伸

如果用小棒摆五边形、六边形、八边形，所摆的图形个数与小棒的根数又有什么规律呢？

【数学知识的课外延伸一直是我们致力去做的事情，给学生提供可以操作的、并且是要进行检查的课外探索作业是一个有益的探索。】

对于我们教师而言，首先要对数学基本思想做到基本熟悉，心里要知道让学生从教学活动中获取数学基本思想是一个潜移默化的过程，对孩子的后继学习十分重要。下面介绍一些课程中的基本数学思想、策略和方法，与老师们共同学习。

我们在教学时还应有意识加强：

分析法、综合法；有序思考（枚举法）；几何直观（画图“翻译”问题、画图分析问题）；演绎推理（列表推导）；总结归纳（找规律）；求异思维（方法多样化）。

总之，我们需要培养真正有自己想法的人。必须注重过程，启发思考，总结经验，学会反思。

（在金牛区小学数学论文评比中荣获一等奖）