矩阵力学横空出世

当海森伯将玻尔的对应原理加以拓展，并试图用来建立一种新力学的数学方案时，他惊奇地发现他建立的是一个连他自己也十分陌生的数学方案，其最大特征是两个量的乘积决定于它们相乘的顺序，即pq≠qp（一般乘法是pq＝qp，如2×3＝3×2）。海森伯对这个新方案感到没有把握，因而在论文的结尾写道：

利用可观测量之间的关系……去确定量子论中论据的方法在原则上是否令人满意，或者说这种方法是否能开辟走向量子力学的道路，这是一个极复杂的物理学问题，它只能通过数学方法的更透彻的研究来解决，这里我们只是十分肤浅地运用了这个方法。

当别人还在对电子轨道恋恋不舍、犹豫不决时，彻底抛弃它的海森伯终于发现了一套新的数学方案——“魔术”乘法表，原子辐射的频率和强度在表中按照一定的规则排列成一个数的方阵，方阵之间按照一种新的乘法规则进行运算。

后来海森伯把他的论文《转译》送给他的导师玻恩，请他指点。玻恩在认真研究海森伯的符号乘法时，发现它们“既面熟又陌生”。他立即意识到在这个新的乘法规则背后，一定有一些基本的东西，可能对开拓新的量子力学有重要作用。经过整整一周的冥思苦想，到第八天早晨，玻恩忽然领悟：海森伯的符号乘法就是代数中的矩阵乘法（matrix multiplication）。而这些计算玻恩在大学时代，就从布雷斯劳大学的罗桑斯（Jacob Rosanes，1842—1922）教授的线性代数课程中学过。难怪他有“面熟”的感觉！另一方面，由于海森伯的符号乘法在表达形式上与数学家的习惯方式又有很大差别，海森伯当时完全不知道“矩阵”为何物，难怪连玻恩这样的“矩阵”行家都要感到陌生了。

玻恩在他的自传《我的一生》中回忆说：

将海森伯的论文送给《物理学杂志》发表之后，我开始思考他的符号相乘，不久我就极深地陷了进去，以致我天天想，夜里几乎睡不着觉。因为我觉得在他的背后有某些根本的东西，也是我们多年来奋力以求的目标。在一天早晨，大约是1925年7月10日，我突然看见了光明：海森伯符号相乘不过就是矩阵运算，从我的学生时代，从在布雷斯劳听了罗桑斯的课的时候起，我对这种运算就非常熟悉。

泡利收到海森伯《转译》的副本后的反应是“欢欣鼓舞”。紧接着几个月，由于《转译》而引起在量子力学方面的突破与进展，给一度灰心丧气的泡利带来“新的希望并重新唤起生活的乐趣”。正如泡利在1925年10月写信给克朗尼格说的那样，“虽然这还不是谜底，但我相信现在有可能再一次向前推进了。”

不过泡利却失去了与自己以前的老师合作的机会，这要怪泡利自己一时糊涂。玻恩在自传中回忆说：

当时是1925年7月中旬，德国物理学会的下萨克森区分会正准备在汉诺威召开一次会议。有相当多的物理学家从哥廷根坐火车去那儿；坐北方特快大概要一小时。在火车上我碰到了几个从其他大学来的物理学家，其中有我的前助手泡利。

这阵子泡利已经很出名了，他写了很多极好的论文，其中有著名的不相容原理。就是靠这个原理，玻尔建立了他的元素周期系统的理论。泡利是从苏黎世（那边暑假比德国开始得早一些）来的，也去汉诺威开会。

玻恩接着写道：

我与泡利正好在一个厢房里。由于对自己的新发现非常热衷，我立刻把有关矩阵的事告诉了他，并提到了求那些非对角元素时所遇到的困难，接着问他是否愿意在这个问题上同我合作。

但是，我得到的不是所期待的关心，而是冷冷的、讥讽的拒绝：“是呀，我知道你喜欢搞冗长和复杂的形式主义，你只能拿你的琐碎的数学把海森伯的物理概念糟蹋掉。”……

提到泡利不愿同我合作的事，他后来对旁人做过解释，他说没有认真思考过海森伯的想法，并且不愿意干预海森伯的计划。……不论怎样说，我以为像泡利那样伟大的人，也免不了对这种很难的问题做出错误的判断：他没有抓住要点。

当玻恩意识到海森伯的量子乘法其实只不过是两个矩阵相乘的规则后，也就立即断定它的发表价值。所谓矩阵，就是代数里常用的一种计算法，例如2×2的矩阵

就是一个2×2的方块乘法表。3×3的矩阵

就是3×3的一个方块乘法表。这种计算方法在代数里常用，但是对当时的物理学家很生疏，连学过这种计算方法并担任过希尔伯特助手的玻恩，都一时想不起来，更别说一般物理学家了。但是到了现在，不仅仅是物理学家已经经常使用这种计算方法，就是一般理科大学生在线性代数课里也一定会学到它，而且以后工作上经常使用它。

7月底，海森伯还在英国访问期间，《转译》在《物理学杂志》上发表了。这篇论文及其新乘法规则开创了量子力学的矩阵形式。

海森伯只是出于物理学家的直觉，并迫于物理事实的需要，才发现了一个类似下棋规则那样的新规则，因此他的量子乘法缺乏严格的数学证明。现在需要像玻恩那样的“量子数学家”上阵参战了！

海森伯的乘法新规则经玻恩重新表述，成为矩阵力学的基本方程。原先在普通代数或经典力学中，pq—qp＝0。现在原有的乘法交换律被破坏了，但当用h／2πi代替0之后，又重建了一种量子力学的、新的对易关系

（，粗体字表示矩阵，I 代表单位矩阵）

新的规则由于包含普朗克常数h，因而打上了量子化的烙印。这个新的非对易关系完全是玻恩靠着他那精湛的数学功底发现的，与海森伯几乎没有任何关系，但是由于玻恩“是天底下最谦逊地人”（美国数学大师诺伯特·维纳语），后来这个公式竟然被称为“海森伯非对易关系”，实在是天下最可悲的误会！但是，海森伯也是有责任的，他本应该出来澄清，但是他却含含糊糊地听之任之，实在有些不地道。但是玻恩到底没有把这个他自己认为的最得意之作拱手让人，而是把这个公式刻在了他的墓志铭上，让无言的墓碑去叙述这段历史。

后来玻恩的另一位助手德国物理学家约尔丹（Ernest Jordan，1902—1980），加入了合作，因为约尔丹的数学天才在哥廷根十分闻名。玻恩十分兴奋，日夜盼望的“自洽的量子力学”已经呼之欲出了！两个月时间，玻恩与约尔丹果真实现了这一目标。他们的合作论文《关于量子力学》完成于1925年9月下旬。这篇文章后来被称为“二人论文”，《转译》则被称为“一人论文”。

玻恩的助手约尔丹，他是一个数学天才。

《关于量子力学》一文明确提出了矩阵力学的纲要。论文肯定，海森伯的《转译》是他们的基本出发点，海森伯所表明的物理思想透彻而深刻，因而毋须做补充，然而在数学形式上大有可改进之处，这正是玻恩与约尔丹所要做的工作。他们是这样来表明自己关于矩阵力学的研究纲领的：

海森伯的理论方法……向我们显示出相当大的潜在意义，它旨在建立一个新的与量子理论的基本要求相符合的运动学与力学表述。……引导海森伯思想发展的物理上的原因已被他描述得那样清楚，以致任何附加的评论都显得多余。但是在形式、数学方面，他的处理尚处在初级阶段：他的假设仅仅应用在简单的例子上，没有被充分地过渡到一般的理论。由于他的思想尚处在形成阶段，我们就处在可以了解它的有利地位上。现在我们这里将努力简化海森伯处理方法的数学形式并提出自己的一些结论。我们将表明，从海森伯所做的基本论证出发，建立一个既与经典力学明显密切相似，同时又维护量子现象特征的严密的量子力学数学理论，实际上是可能的。

后来，在1925年11月16日，玻恩、海森伯和约尔丹三人又合写了一篇《量子力学Ⅱ》（被称为“三人论文”），其中第一次提出了一种系统的量子理论。在这个理论中，经典的牛顿力学方程被矩阵形式的量子方程所代替。后来人们把这个理论叫作矩阵力学。

1925年12月25日，爱因斯坦在给好友贝索的信中对这个新理论评价说：

近来最有趣的理论成就，就是海森伯—玻恩—约尔丹的量子态的理论。这是一份真正的魔术乘法表，表中用无限的行列式（矩阵）代替了笛卡儿坐标。它是极其巧妙的……

海森伯他们也自豪地宣称：这个新的量子力学已经达到了人们长期追求的目标。因为在新量子力学中，旧量子论该有的它仍然有（如定态能量与量子跃迁假说等核心假说仍包含在新体系的基础之中），而旧量子论本不该有的（如逻辑上的不一致性）它就不再有了。毫无疑问，新量子力学是逻辑上完全自洽而在数学上更严密的形式体系。并且它在原则上允许计算任何周期或准周期体系（例如原子），同时仍然与经典力学之间存在密切的相似性。

1926年3月16日，海森伯和约尔丹从哥廷根提交了一篇论文，名为《量子力学在反常塞曼效应中的应用》。哥廷根的“矩阵工厂”开始生产它的批量的“量子产品”了。海森伯的乐观主义与进取精神已经转入玻尔所希望的轨道。海森伯与约尔丹利用电子自旋和量子微扰理论的全部套路，对原子的量子力学行为进行成功的计算。

1933年，海森伯一人获得了补发的1932年的诺贝尔物理学奖，而玻恩却榜上无名。这显然是极不公平的。连海森伯自己也觉得很过意不去。他在1933年11月25日写给玻恩的信中说：

亲爱的玻恩先生：

这么长时间没有给你写信，也没有感谢你对我的祝贺，部分原因在于我对你实在于心有愧。我一个人接受了诺贝尔奖奖金，而工作却是你、约尔丹和我在哥廷根合作完成的，这件事使我深为抱憾，我不知道该怎么写信给你。当然，我很高兴我们共同的努力现在受到了敬重，我愉快地回忆起那段合作的美好时光。我还相信，所有善良的物理学家都知道你与约尔丹对量子力学结构的贡献有多么巨大，而且这是不会为外界的错误决定所改变的。为了全部出色的合作，我只能再次感谢你，并且感到有所羞愧。

致以亲切问候！

你的W.海森伯

1933年11月25日于苏黎世

1933年海森伯（右）和薛定谔从与瑞典国王在颁奖典礼上合影。

玻恩在他的自传《我的一生》（My life, Recollection of a Nobel Laureate）里仍然谦逊地写道：

“这虽然是辛苦的时期，但是也是工作富有成效和充满欢快的时期，我们三人之间没有吵闹，没有猜疑，没有妒忌，读了我们文章的人都会明白这一点。海森伯的一封信也清楚地表明了这一点，……

“意味深长的是这封信的日期和地点：1933年11月25日于苏黎世。那时希特勒已经上台，我作为难民正住在剑桥。海森伯不能从纳粹德国寄出他的感受信，不得不等到他到了瑞士。

“收到这封信我很高兴，它既是海森伯的友情的表现，也是我们在研究中合作的证词，这个工作使他单独获得了殊荣。”

后来玻恩终于在1954年因为对量子力学的贡献，获得了诺贝尔物理学奖。爱因斯坦立即写信给他：“很高兴得知你因为对量子理论的奠基性贡献而获得诺贝尔奖，虽然它来得莫名其妙地迟。”玻恩回信说：“我没有在1932年与海森伯一同接受诺贝尔奖，这件事在当时深深地伤害了我。”

关于玻恩的故事，在后面“异写突起：玻恩的几率诠释”这一章中还有得讲。