【摘要】： 若A、B可逆，则AB亦可逆，且。 若A可逆，则，（因为）n阶方阵A可逆存在n阶方阵B，有AB=BA=E其中是初等矩阵A的列（行）向量组线性无关齐次方程组Ax=0只有零解非齐次方程组Ax=b总有唯一解A的所有特征值全不为0 证明：n阶方阵A可逆必要性，设A可逆，则存在满足，取行列式，故。充分性，设，由伴随矩阵得，从而，当时，有，即A可逆，且。定义法 若，则伴随矩阵法，其中为矩阵A的伴随矩阵。初等变换法分块矩阵法
(1/5) 逆矩阵的定义
设
是
阶矩阵，若存在矩阵
，使得 
， 则称
是可逆矩阵，并称矩阵
是
的逆矩阵；A的逆矩阵唯一，记作
。
(2/5) 逆矩阵的相关定理
（1）若矩阵A可逆，则
； （2）若
，则矩阵A可逆，且
，其中
为矩阵A的伴随阵。 注：当
时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
(3/5) 逆矩阵的运算规律
（1） 若A 可逆，则
亦可逆，并且
。 （2） 若A可逆，
，则 
亦可逆，并且
。 （3） 若A、B可逆，则AB亦可逆，且
。 推广：
（4） 若A可逆，则 
亦可逆，且
。 （5） 若A可逆，则 
，
（因为
）
(4/5) 矩阵可逆的充要条件
n阶方阵A可逆
存在n阶方阵B，有AB=BA=E 
其中
是初等矩阵 
A的列（行）向量组线性无关 
齐次方程组Ax=0只有零解 
非齐次方程组Ax=b总有唯一解 
A的所有特征值全不为0 证明：n阶方阵A可逆
必要性，设A可逆，则存在
满足
，取行列式
，故 
。 充分性，设
，由伴随矩阵得
，从而，当
时，有
，即A可逆，且
。
(5/5) 逆矩阵的求法
（1）定义法 若
，则
（2）伴随矩阵法 
，其中
为矩阵A的伴随矩阵。 （3）初等变换法 
（4）分块矩阵法 
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