对数学的初浅感悟（代序）

对数学的初浅感悟（代序）

“数学分析”是数学和应用数学、概率论与数理统计、信息与计算科学等专业的基础课程，是上述各专业的考研必考课，其重要性不言而喻。但是学生在学习的过程中，会遇到形形色色的困难。主要的困难是如何熟练地掌握数学分析的思想、方法和技巧。一方面数学分析基础教材里往往只涉及最基础和最核心的知识点；另一方面教学课时不断受到压缩，使得这门课程的整个长达三至四个学期的教学过程显得行色匆匆，学生疲于应付，做了大量的题目却可能仍不得要领。

如何从更高的视角纵览数学分析的概貌，梳理其间各个知识板块的关联与区别，如何去领悟有较高难度的解题思想，最终转化为学者自身的数学素养？这是笔者在多年数学分析以及续论课程中百思而欲慢慢得其解的难题。

就以求极限这个数学分析的入门课题说起吧。求极限怎么求是第一层问题；极限本质的ε-N语言的理解是第二层问题，然后才说得上求极限的高级、非常规技巧，比如从定积分去求和式极限，以及无穷级数和数列极限的关联性；最后还要上升到函数项级数、含参变量广义积分的一致收敛性。仅凭数学分析课程一晃而过的教学模式，学生往往学了后面忘了前面，更谈不上知识的有机融汇。慢慢地，学习数学分析就蜕化为机械地记忆解题方法、被动地应试，而其中最为核心的对数学思维前因后果、来龙去脉之整体的了解和领悟反而淡化了。更无暇去欣赏数学的美。

从这个角度上讲，学习数学并非纯粹是解题方法的累积，首先必须是对数学奇妙世界的好奇，然后是执著的探索，末之才是方法的积累。有古语曰：“舍本逐末”，恰似置身股海而热衷追涨杀跌，而忘乎价值投资之本。所以股票市场有句统计意义上的名言：“一赢二平七个亏”。逐末者皆因不知本源何在之故。那么学习数学之本或狭而言之学习数学分析之本何在？这也是一个道可道、非常道的难题。老子枟道德经枠第四十一章又云：明道若昧，进道若退；大方无隅，大器晚成；大音希声；大象无形；道隐无名。夫唯道，善贷且成。既然本之难求，先逐末也不失为一个良策。在数学的学习过程中，看很多的参考书，“拿来”了许多其他人的解法、囫囵吞枣而不化、终被题海淹没，何也？初看乃法之不当，实乃境界之未达也！作者在课堂上经常跟学生言及：“动机高于技巧”，动机是本，技巧是末。尤其是不加消化的“拿来”之技巧，对提升数学之境界，裨益不大。

作者编撰本书，以领悟数学的美，培养数学探索的动机为最高准则，力争寓求索的乐趣于解题的过程之中。更不希望作为“拿来拿去”的样本。数学思想犹如种子，萌发于心才能昭华于外。

亲爱的读者朋友，当你读本书时，也请像裴礼文先生所告诫的：“先做再看”，哪怕是对于解答完备的例题，亦不要急于求成。作者不仅关注数学解题方法和技巧的积累，更崇尚数学思维和数学审美情趣的提升。若如斯，则吾心愿足矣！

记住，数学是人类理性精神的伊甸园。

当然，路漫漫其修远，让我们一起去求索吧！

在本书的编辑出版过程中，文字编辑黄勤女士和责任编辑杜希武先生对书稿提出了许多宝贵的修改建议并作了大量校正工作，他们一丝不苟的工作态度和高度的敬业精神令笔者深受感动，在此笔者对他们致以诚挚的感谢。

杨传林　　

2008年冬于浙江师范大学