哥德尔：真实≠可证明

哥德尔：真实≠可证明

爱因斯坦将第一届“阿尔伯特·受因斯坦奖章”授予哥德尔（右二）和斯温格(1995)

数学家相信数学就是一切。如果确实存在一种方法能够彻底理解世界，那么这种方法就是数学：通过最严谨、完整的数学推导，人类就可以掌握宇宙以及自身所隐藏的奥秘。在顶尖数学家中，大卫·希尔伯特对于这一思想表现得最为执著。他在个人代表作《几何基础》（Grundlagen der Geometrie）中便详尽讨论了建立在一组简单公理上的元数学推演。希尔伯特坚信世界上一切客观规律都可以从最为基本的数学真理，例如“勾股定理”出发，经过一连串严谨且无矛盾的数学逻辑推理而获得，仿佛欧几里得在《几何原本》中施展的魔法一样。数学之美就建立在从看似简单的条件能够推导出无限而复杂的结论。数学家的情感源于这种美。1900年8月8日，第二届国际数学家联合会在巴黎召开。希尔伯特应邀致开幕词。他慷慨激昂地呼唤着数学家们昂起斗志：

在我们中间，时常响起这样的声音：这里有一个数学问题，快去找出它的答案！你一定能通过纯粹思维找到它——因为在数学中没有什么不可知！(www.guayunfan.com)二十年后，希尔伯特亲手推动了历史上著名的“希尔伯特计划”。他旨在将整个宇宙的所有客观规律一网打尽。从恐龙灭绝到女人生孩子，数学家期待任何事物都可以通过基于简单公理的无矛盾推演，最终达成完美的和谐统一。

然而，最美妙的梦总是惊醒得最快。计划正式推出仅三年之后，即1931年，一位初出茅庐的奥地利数学博士就以一篇无懈可击的论文彻底摧毁了野心勃勃的“希尔伯特计划”。这名青年就是人类历史上最富有影响力的逻辑学家——库尔特·哥德尔（Kurt Göel）。

1906年4月28日，哥德尔出生于奥匈帝国摩拉维亚州（Moravia）首府布尔诺（Brno）（今属捷克境内）。由于性格内向，不善与人交流，哥德尔从小就选择了极端封闭而抽象的数学世界作为心灵的隐居所。18岁时，他跟随兄长鲁道夫·哥德尔（Rudolf Göel）入读维也纳大学，主修数学哲学以及理论物理。1929年底，年仅23岁的库尔特·哥德尔就凭借一篇追随“希尔伯特计划”的优秀学术论文《逻辑谓语动词之演算公理的完备性》（Üer die Vollstädigkeit des Logikkalküs）获得了维也纳大学数学博士学位。

然而追随“希尔伯特计划”的同时，哥德尔却越发感受到纯粹的理性或许不可能实现。于是他转换了数学家一贯的乐观情绪，改用一种悲观却深具洞察力的批判性思路，走向了“希尔伯特计划”的反面。大约一年后，哥德尔冷冷地向全身心投入“希尔伯特计划”的数学世界宣布了自己的结论，发表了一篇堪称“毁灭性”的学术论文《数学原理及其相关系统中的形式不可判定之命题》（Üer formal unentscheidbare Säze der Principia Mathematica und Verwandter Systeme）。在这篇经典论文中，哥德尔提出了震惊数学界的“不完备性定理”（Göel’s Incompleteness Theorem）：

任何连续公理体系，只要其中包含初等数论之表达，则必然会存在着至少一个命题，不可以在这组公理体系内部经过有限次逻辑推导而证明。尤其是对连续推演之算术体系，体系内部一定含有至少一个算术表达为真，却永远不能在该体系中被有效证明。而同时，若该体系所有算术表达都可以被证明为真，则体系内部又不能够证明其连续性。即任何的公理体系不可能同时具备连续性和完备性。

如果一个公理系统是连续的，则该体系一定不完备；

（If the system is consistent, it cannot be complete）;

而完备的公理体系其连续性又不能够在该体系当中被予以有效证明。

（The consistency of the axioms cannot be proven within the system.）

这段话什么意思呢？翻译成普通人能理解的通俗语言大概是这样：一个有规律的体系，比如说浩瀚苍茫的宇宙，只要你用数字去计算和分析它，就一定有某些事物虽然真实存在，你却永远无法给出证明（特别注释：此“通俗解释”难免会引得部分专业数学家指摘，但是，考虑到纯粹数学的语言不可能用于推广哥德尔伟大的哲学思想，遂唯有勉强通俗之。另外，如果指责仅针对“只要你用数字去计算和分析它”这句话，请参考以下思路：根据黎曼假设——如果黎曼假设最终被证明成立的话，任何自然数的使用都应该被广义地看作涉及数论描述，因为自然数的存在模式是且仅是为了有规律地分布素数。切记：数学其实是种美学）！

这条结论可谓晴天霹雳！它意味着全世界的数学家过去十年都白忙了。因此哥德尔的这项数学发现刚刚问世之时，几乎所有顶尖数学家都试图寻找出其中错误。不过人们越是深入研究，就越是发现此人的论证天衣无缝。以至于当人类文明探出21世纪的窗口，重新回顾那一段历史的时候，都会无不感叹地摇一摇头：过去数十年当中，逻辑学竟不曾超越它向前再迈出哪怕一步！最重要的数学分支被哥德尔凭一己之力完成！

其实，这项成就最富有意义之处还不在于纯粹数学，而在于古典哲学。哥德尔的证明向渴望认识世界的人类打开了一扇通往终极真理的大门：能被证明的事物一定是正确的，但是正确的事物却并不一定能被证明。真实性与可证明性完全就是两码事！

数千年以来，人类既执著于理性亦追求神性。哥德尔的不完备性定理为这两种追求带来的是一喜一忧。喜的是：人们终于可以放声欢呼上帝还没有被这帮傲慢自恃的科学家所杀死——科学家一直以来的说辞就是上帝和灵魂的存在并没有证据，即没有办法被证明。然而忧的是：人们或许永远也无法真正领悟自身和宇宙的深刻奥秘，至少不能通过理性。

于是乎，有人愿重新呼唤直觉。和普通人想象的不太一样，这一类提倡直觉与灵感的，往往还都是些大科学家与大哲学家；包括哥德尔以及爱因斯坦在内的一批绝对大师级人物，决定要回归于古老的宗教玄学启示。事实上，一代宗师伊曼纽尔·康德（Immanuel Kant），就在其《纯粹理性批判》一书当中提到过“人类在某些失去意识的情况下反而能感悟真理”。

有意思的是：哥德尔和爱因斯坦之所以愿意“带领”这支由科学家组成的宗教回归团体，其中最主要的原因就是他们都虔诚地信仰着宗教（不管具体哪种宗教）。爱因斯坦虽然是犹太人且声称自己愿意“皈依”佛教，但是其哲学观无论怎样去解读都有一股神秘学的味道。哥德尔虽无半点犹太血统，却经常被当作是犹太人；无论是他的生活圈子抑或是行为方式，都具备明显的希伯来特征。以至于因为害怕遭受纳粹迫害，流淌着雅利安人骨血的哥德尔，竟然于1939年初选择离开德国逃难，前往美国普林斯顿高等研究院会合自己那帮犹太好友。而在普林斯顿大学的数十年岁月里，哥德尔的社交活动依然仅限于几乎清一色的犹太面孔；待到这些身上承载着亚伯拉罕血脉的犹太裔数学家于20世纪六七十年代相继病逝以后，孤独的哥德尔甚至患上了相当严重的“迫害妄想症”：总感觉有“歹人”要在他的食物里下毒；任何食品必须经他妻子先尝上一口。当他的“保镖妻子”于1977年年底终因积劳成疾而住院，可怜的哥德尔即开始绝食。1978年1月14日下午，一代数学宗师终于将自己活活地饿死。据说这位身高将近一米八的逻辑学巨匠去世时体重还不足27公斤！

当然，哥德尔的极端偏执或许并非源自其古怪的思想和信仰，而恰恰源于超凡的理性——他对于任何事物都太较真了，太渴望获得确定而纯粹的知识，甚至包括食品安全性。然而颇具讽刺意味的是：这位扎根于可靠性，并将逻辑学发展到极致的思想巨人，一辈子最大的功绩竟然是通过理性方式证明了理性的不可靠！没准这就是真理侍者的天定命运！不过在哥德尔的抽象王国中，不完善的又何止是理性！几乎所有人类自以为完善的作品，无论是公理化体系还是所谓的自由市场经济，都无一例外地存在着许多足以致命的基本的系统性漏洞，尤其是美国人引以为豪的现代民主体制。