罗素在逻辑方面的著作

皮亚诺的著作，在很大程度上乃是致力于勾勒出这样的问题：我们应当如何在符号逻辑的帮助下，把那些数学定理和数学概念，从数学领域内的那些公理和更为基本的概念那里推导出来。关于如何更精细地刻画正被使用的这种逻辑，皮亚诺没有显示出什么兴趣。皮亚诺所作的这种推导的最著名的例子，或许就是皮亚诺算术公理。顺便说一句，他的那些公理实际上已经被R.戴德金的那些在概念上更具吸引力的著作所预料到了，而且皮亚诺本人也受到了戴德金的影响（参看拙著《数理逻辑纵览》第六章，以及本书“导论”的第二节）。总共有五条公理和三个原初概念（数、零和后继），一道构成了今天我们所说的关于算术的二阶理论。

在1900年的夏天，罗素向皮亚诺索取其著作，后者遂其愿。在8月中旬从巴黎回国以后，他马上就掌握了皮亚诺记法的要点，并“发现这套技术实际上是把数学精确性的领域，从数学自身一直拓展到那些过去备受哲学模糊性蹂躏的领域”。罗素发明了一套关于关系的记法，并在怀特海的帮助下制定出了“对于下述事项的定义：系列、基数、序数和从算术到逻辑的还原”。其实他这里所提到的很多工作都已然被弗雷格做过了，但是他当时不知道这一点（MD，pp.12—13）。和皮亚诺相比，弗雷格花费了很大的力气来从事逻辑方面的精细分析，但在如何推导出数学方面，他的理论进展要慢很多。这样一来，《数学原理》的原初计划，就可以被设想为对于弗雷格的工作和皮亚诺的工作的一种结合（而皮亚诺的那部分工作，现在也得按照弗雷格的精神而重做）。但在1901年发现罗素悖论之后，罗素的日程表就被下面这项更具挑战性的任务所更新了：如何找到正确的逻辑公理（也就是原来的集合论）——它们一方面得是自然的，另一方面又不能够蕴涵悖论。

现在不妨让我停下来，以便对PM的研究规划作一番宏观上的审视。在很大程度上，这书所本的，正是从“我们之所知”开始（而不是试图去发现“我们如何知”）的精神。这书似乎也构成了他在写下面这段话之时心中所想的实例：“我把自康德以来在哲学中常见的研究路径给颠倒了”。（PD，p.16；请参读上一节所给出的那段长长的引文）但正如我以前说过的那样，我并没有发现罗素在PM以后的大多数著作中还继续本着这同一种精神。这部分可能是因为他以后的学术努力显得不那么成功。对于类似的方法路径来说，物理知识所造成的问题要难得多，也要不确定得多。这些新问题要求对方法本身作出一些变通和拓展，并要求我们把原先的目标定得再低调一点。实际上，甚至在数学知识的范围内，无论在PM的构造过程中还是在该过程后，至少在我们获得一种令人满意的关于数学的集论“基础”之前，所花费的心力都是很可观的。换言之，尽管到1900年为止，无论是我们关于数学的所知领域的研究着手点也好（关于数学的这部分知识是需要被“重建”的），还是关于数学和集合论之间的连接性定义也好，我们都有完美而牢靠的界说方式，但是要最终得到一种对于集合论的更恰当的理解，无疑还有很长的一段路要走。

对于卡尔纳普和蒯因日后学术努力的方向，PM这部巨著所产生的影响是决定性的。此书无疑就是卡氏的“理性重建”计划的模板和精神源泉。在卡尔纳普早期的学术生涯（约从1920年到1925年）中，他试图把动力学公理化，并对物理学“基础”加以更为广泛的研究（Schilpp 1963，pp.11—15）。正如我们所知道的那样，这项任务的复杂程度实际上要远远超过卡氏当时的估计——比如，甚至对于经典质点力学的公理化来说，我们也都得引入一些来自于数学和数理逻辑范围之外的“不纯的”思考（请参看Sneed 1971。顺便说一句，这部著作的形式化工作对于其内容来说，实际上是有点过了头。霍华德•斯坦因在私人通信里曾提到过此书的两个缺点：第一，把运动当成了一个不依赖于理论的概念；第二，把牛顿的理论完全塞到一个纯数学的框架内，但这个框架却与任何物理教科书所规定的实际应用无关，并和相关的物理学解释绝缘）。事情很可能是这样的：在那些更容易对付的研究领域内的既存问题的引导下，卡氏将其兴趣转向了那些更乏确定性且看来更为“基本”的认识论问题，如对于世界的逻辑构造、知识的界限、句法学、语义学、模态、物理主义和科学的统一性，还有概率论和归纳逻辑（在罗素那里，这种认识论的转向已有苗头，而卡氏做得比他还要彻底）。如果事情真是如此的话，那么这也就提供了一个很好的例子来说明为何那些更大的问题比那些更小的问题来得更容易对付。

蒯因通过不同的方式延续了PM的工作。他成功地提高了PM的形式精确性。此外，通过把罗素所说的完美集合论所需满足的“合理性”标准替换为“最起码的雅致性”标准，而罗素关于完美集合论的理想也在他那里得到了修正。他还引入了一两个在形式上很优雅却在概念上很含混的体系（本书在稍后会考察之）。而罗素关于奥卡姆剃刀原则的混乱想法所具有的某个更为狭隘和做作的方面，看来在大体上也被蒯因采纳了。为了把奥卡姆的剃刀磨得更快一点，他引入了一种关于本体论的标准，但是在我看来，这些标准对于我们的实际兴趣所关涉的那些事例来说，应用价值实在寥寥——只要这些事例本身永远也无法通过一种毫无争议的方式，经由蒯因本人所需要的那种形式（如一种被含糊解释的一阶理论，详见后文）而被表达出来，蒯因的相关理论就只能是屠龙之术而已。

在1901年6月发现罗素悖论之后，罗素曾试图解决之，但却未获成功。他接下来就继续投入《数学原则》的写作，并在该书的附录中提供了对于该悖论的一种闪烁其词的解决方案。在1902年5月下旬，他发现这个临时的解决方案似乎是不顶事的。在1902年6月16日，罗素写信给弗雷格，通报了他发现的悖论。在6月22日的回复中，弗雷格承认，这不仅仅意味着他自己的算术基础的崩溃，“而且还意味着这一点：整个算术的基础可能都崩溃了”。六年后，罗素依然觉得弗雷格的回答是令人肃然起敬的。他写道：“就正直和讲风度而言，我认为在我所知的范围内，无人可超越弗雷格对于真理的献身精神。”（FG，p.127）在这次通信之后，罗素便开始更深入地修订他的《数学原则》，而弗雷格在为他的《算术原理》的第二卷（1903）添加了一个附录。而在最近几年里，学界对于罗素在1903年到1910年的学术工作的兴趣似乎被重新激活了。举例说，拉凯耶（D.Lackey）就主编了一本论文集《论分析》（1973），其中的论文对罗素此间的著述关注颇多。在我看来，把此书当成一个哲学史材料的引用对象，也是颇为便利的。另一个例子是希尔顿（D.Hylton）关于罗素的替换理论的长篇论文（《综合》，1980，pp.1—31）。这个替换理论是罗素本人在1906年写就的，但在拉凯耶的论文集中才第一次得到发表。

《数学原则》的最后一次修订包含了“类型论教条”的一个预备形式（见于附录B）。但在罗素看来，这个理论的当下状态是无法解决关于最大基数的康托尔悖论的。在1903年5月19日，他想到一个办法可以把“类”一股脑地绕过去，就是仅仅使用“命题函项”。对于这个办法，怀特海颇为欣赏，并在电报里说：“向亚里士多德第二致以最衷心之祝贺！”但不幸的是，罗素立即发现“这个解决方案是错的”（Clark，p.111）。在此问题上付出了更多的辛劳之后（这是1903年夏的事情），罗素把同年的余下光阴都留给自由贸易研究了。在1904年4月，他转过头来又去研究悖论问题，并一直持续研究到1905年1月。根据他在《自传》里的讲法，在这个阶段以后，“每日清晨我都会端坐在一张白纸之前。整日我都会盯着这张白纸发呆，午饭时间除外。即使在夜幕降临的时候，纸头还是白的。”“更让人烦恼的是，矛盾本身其实是无关宏旨的。”（《自传》，Ⅰ，pp.151—152）此外，在这段时间内，罗素的第一次婚姻也亮了红灯，让他头痛不已。

在1905年晚春，罗素发现了摹状词理论。该理论不仅使得英文中的定冠词“the”不必再作为原初概念出现了（在《原则》中，“the”还是原初概念），而且也被罗素本人视为他在解决自己的悖论的过程中所取得的第一次重大理论突破。此外，对于这个理论的发现也使得他开始背叛他自己先前的“柏拉图式的实在论”。

直到1904年为止，罗素都对迈农（Alexius Meinong，1853—1920）的那种拘束甚少的本体论非常倾心——这种本体论甚至认为方的圆或者金山是存在的。“任何可以成为思维对象的东西，或任何可以出现在一个真命题或假命题中的东西，或任何可以被称为‘一’的东西，都被我称为一个‘项’……我会把‘项’当作下面这些词的同义词：‘单位’、‘个体’和‘对象’……每一个项都存在，也就是说，都在某种意义上是存在的。”（《数学原则》，p.43）但在获得了摹状词理论以后，罗素便开始对这种本体论横挑鼻子竖挑眼。这种态度上的变化，很清楚地体现在他对迈农著作的三篇评论中（分别写于1904、1905和1907年），这些论文见于拉凯耶的论文集。

乍一看，摹状词和罗素悖论并不太搭界。而罗素利用摹状词理论的方式是这样的：他试图通过语境化的定义，或者“不完全符号”（这也就是摹状词的实质），来把类（或者今日所说的集合）消除掉。在他关于超限数的论文中（此论文在1905年12月被宣读，并在次年发表），他提出了三个替代方案，分别针对关于规模的限制理论（其示例是策梅洛的1908年的著作）、锯齿理论（其示例是蒯因的1937年体系）和他自己所喜好的无类型理论（在此之后，他又写了一篇关于替换理论的论文。用怀特海的话来说，这种理论具有一种“过分的形式主义”。他在1906年5月就宣读了这篇论文，但是直到1973年，该文才得到发表。请参考前面引用的希尔顿的文献）。这篇论文激发了罗素和彭加勒之间的一些有趣的意见交换（见于1906年的《形而上学和道德评论》杂志）。

在这次学术交流中，彭加勒建议在理查德悖论（于1905年引入）的语境中使用“恶性循环”这个概念。罗素附议，并把这个概念作为区分直陈性定义和非直陈性定义的标准。他还指出，即使有了恶性循环原则，我们还面临着去建立一个正面理论的任务（更多的细节请参看王浩1965以及MP，pp.107—108）。他是这样来复述彭加勒的建议的：“任何东西，只要牵涉一个明显的变项，就必定不能处在那个变项所具有的所有可能值之中。”（拉凯耶的论文集，p.198）这个想法的全面发展出现在1906年底，并在1907年被付诸实施，于1908年付梓（Am.J.Math.，pp.222—262）。（若从哲学史的兴趣出发来提问的话，我们不妨仔细考察这样一个问题：在罗素从1903年到1907年的类型论发展历程中，彭加勒的提议在多大程度上填补了某些失落的环节）正如罗素在更晚的岁月中所发现的那样，直到1907年为止，对于PM这本书来说，万事皆备，只欠东风。而这“东风”就是指如何花大力气把头脑里的想法付诸笔端。

【作者补叙：J.理查德的悖论是关于这样的一个集合E的：这个集合由可以通过数量有限的语词而得到定义的所有十进制小数构成。现在设有一个数N，其特点是：它在十进制的n位上和E中的第n个成员不同。显然，我们很容易设计出一个特别的定义G，这个定义可以通过有限的语词来确定这样一个数N。这样看来，N既然是通过数量有限的语词而得到定义的所有十进制小数，它就应当在E中。但按照更前面的说法，它本来是不应当在E中的。这就构成了一个矛盾。但正如理查德所指出的那样，G只是提到了集合E，而这个时候E还未被定义；E要具有完整的意义，除非先得到完整的定义。理查德的信是在1905年发表的，并于次年出版在《数学学报》上。

关于此间的一些历史细节，近年来学界爆料不断，这些最新的发现在拉凯耶的论文集中得到了呈现。比如，在1904年夏，罗素感到有必要提出一条独立的乘法公理，也就是选择公理。在1907年之前，这一公理被正式确认了（p.15）。在1904年，罗素曾认为他能够证明无穷公理，但是在1906年他又改变了主意（pp.253—254）。在1907年，罗素表达了这种观点：集合论定理是能够为这些公理给出辩护的（而不是反之），而这里所说的集合论既是非经验的，又是“归纳的”（p.255）。还原性公理大约是1907年被附加上去的。将否定和析取也当作基本词项，大约是在1906年发生的事情（p.15）。顺便说一句，罗素的论文《数学是纯然语言学的吗？》也第一次发表在拉凯耶的论文集中。原文大约写于1950年和1952年之间。此文颇能激起读者对于罗素晚年数学哲学思想的兴趣。】

罗素从1900年到1907年的著述的很多方面，都是聚焦在他的逻辑观念上的，比如关于存在、类、命题和命题函项的思考。这些思考直到今天还会引起人们的兴趣，无论是历史研究的兴趣还是别的什么兴趣。他关于逻辑和命题的想法实际上已经被维特根斯坦的《逻辑哲学论》所预报了。和罗素晚期的观点相比，罗素和维氏从1912年到1918年之间所分享的很多想法都带有明显的神秘色彩。这种神秘性存在于他们对于《逻辑哲学论》（及其前身）长期持有的评价中，也存在于他们关于“逻辑—哲学”关系的看法之中。就PM而言，孕育这部巨著的复杂历史本身就提示了这么一点：如果我们对这部书成书的前因和缘由再作一番审视的话，那么书中的一些古怪的思想掺杂就可以得到澄清。一个特别的例子便是罗素所呈现的两条处理谓词演算的路径（参看该书的*9和*10）。这和他更早时候关于量词的看法相关：那时候他认为，量词其实没有那么基本，因此应当按照某种派生的方式而被处理。这也和《逻辑哲学论》的那种对于量词的漫不经心的处理方式有关。在纯粹技术的方向上，在*9中对于量词的截然分离实际上是给出了所谓的“前束范式”，并在赫尔布朗德（J.Herbrand）对于谓词演算的深入研究中（见于其1930年的博士论文）占有一席之地。

另一个例子则是罗素关于奥卡姆剃刀的那种有问题的想法，以及此想法对于其哲学所造成的影响。实际上，消除摹状词的雕虫小技，便是运用该剃刀的成功示例。但罗素也很清楚，要把这把剃刀的确切用法界定得清清楚楚，并不是件很容易的事。而一个完全无聊的例子则是这样一种傻乎乎的说明：“迄今为止，我还没有成功地把不可证的命题的数量缩减到十个以下。”（《原则》，p.15）我本人则认为，他对于这把剃刀之功效的大肆叫卖，对哲学之害实甚于其益处。实际上，平时若我们仅仅是出于一些自然的理由来使用这把剃刀（而不是刻意在减少概念和对象的数量方面斤斤计较）的话，那么这把剃刀就会变得更好使。如果我们仅仅就是为了奥卡姆剃刀原则本身而去刻意贯彻这个原则的话，那么我们的工作就将变得矫揉造作，得不偿失。

根据这个时期罗素的观点，逻辑是普遍性的，其核心概念是项（或对象）、命题以及命题函项。一个命题是诸对象（或项）之复合物——这些对象（或项）构成了这个命题。摹状词理论的功用，就是消除掉某些幻想性的对象或“非指称性的项”（如果我们在“项”和“对象”之间不作出严格区分的话）。下一个步骤就是消除掉类（或集合）。罗素当时还认为变项是具有普遍性的。这种普遍性给类型论造成了麻烦，但如果“像类这样的东西只不过就是一个字面上的说法而已”，这个麻烦也就不再是麻烦了。实际上，罗素的确希望“能够构建出这样一种理论：在其中，每一个包含着明显的变项的表达式（也就是包含着“所有”、“任何”、“一些”以及英文中的定冠词“the”的表达式），最终都会变成一个字面上的说法而已”（Lackey，p.206）。这样一来，我们不难发现，这里所呈现出来的某些想法已经很接近于《逻辑哲学论》的框架了。我们应当记得，按照《逻辑哲学论》的看法，我们能够通过合取和析取把量词全部消掉（论题5.2），并能够把数看成是一个运算的指数（论题6.021），断言关于类的理论在数学中完全是肤浅的（论题6.031），或把数学命题仅仅当作“等式”来关照（论题6.2）。如果我们从这个视角出发来解读《逻辑哲学论》的话，也就不难理解，为何罗素和维氏看来都曾将这本小册子视为针对罗素那些至关重要的问题的一种优雅的、最终的解答方案了。

正如我们所知道的那样，PM实际上并未完全成功地建构出罗素本来所想要的那种理论。无论是选择公理也好，无穷公理也好，特别是还原性公理，看来都是一些被刻意捣鼓出来的折中物［无论如何，罗素在1918年继续抱有着其对于逻辑的实在论态度：“逻辑学忠实地反映着实在世界，其忠实程度并不输给动物学，尽管其特征更为抽象、更为一般。”（IMP，p.169）］但多少让人感到意外的是，在PM杀青之后，罗素就不再费心继续去修正那些他已发现的瑕疵了。相反，他还说（PD，p.12）：“在1910年以后，我就开始思考关于物理世界的问题了，因为在此之前我已经做完了我想做的关于纯数学的一切研究。”无论是在那个时候还是在更晚的时候，他都没有试图从一些别的数学研究路径（如布劳威尔学派和希尔伯特学派）那里汲取营养。不过，并不出人意料的是，《逻辑哲学论》对于罗素的早期观点的某些发展却的确被他自己所利用了，尤其是他在为PM修订第二版的时候。在1923年3月，他开始为此书撰写一部新的导论，并在1924年11月向剑桥大学出版社提供了一份长达127页的新导论的手稿。也大约在这个时候，拉姆塞也参与了《逻辑哲学论》的翻译工作以及PM的修订工作。

在1932年，维特根斯坦在他的演讲中提到了《逻辑哲学论》的两个大错误。其中的第二个错误就是指抹杀无穷和有穷之间的界限。正如当时作为听众的摩尔所报道的那样（《心》杂志，1955，p.2）：

他说他曾被如下看法所误导，即（x）Fx可以被替换为“Fa＆Fb＆Fc＆…”。当时他并没有看明白，其实‘Fa＆Fb＆Fc＆…’并不总是一个逻辑积。若硬要说这是个逻辑积的话，除非这些表示省略的点就是他所说的“懒惰之点”。

在处理棘手问题时，先去考虑那些被恰当地简化的例子，往往会带来助益。这也正是我们分解问题之复杂性的熟悉套路。有时候对于一个简化例子的解决办法本身就很有趣，不过我们通常还是希望能把这个解决方案拓展到那个比较复杂的原初问题上去。但必须切记的是，简化的事例和原初事例毕竟不是一回事：若我们将它们混为一谈的话，那么我们就会引入一些不为原初事例所满足的额外隐含前设。比如说，贝奈斯虽然通过“拟复合”类比而将无穷比作有穷，但他还是相当清楚由该类比所造成的额外复杂情况的（BP，p.275）。

这里所说的“额外的隐含前设”并不是指：世界本身是有穷的。毋宁说，其意思看来是：无穷和有穷之间没有基本的差别。而拉姆塞也正是这样解释维特根斯坦的错误：“维特根斯坦君已经感到，如若我们接受这种我们业已熟悉的对于真值函项的说明方式……我们就无法说明，为何一个真值函项所具有的真值主目的数量不应当是无穷的。正因为此前没有人认为真值函项所具有的主目数量竟然可以是非有穷的，因此这里所提出的这个建议就是一项重要的革新。”（Ramsey 1931，p.7）不过，在转向讨论拉姆塞的“重言式理论”之前（见于其在1925年11月所宣读的论文），我还是想首先讨论一下在稍早时候问世的PM的第二版——此版的导论恰恰提到了对于拉姆塞的鸣谢。

在PM的第一版（1910）中，还原性公理的问题可让罗素死了不少脑细胞。“我们很难再坚持认为还原性公理乃是自明的了……有利于这个公理的归纳证据是很强的，因为无论该公理所允许作出的各种推理也好，还是该公理所推导出来的各种结果也好，看来都是有效的。”这样一来，维特根斯坦在《逻辑哲学论》中的如下评论也就完全在我们的意料之中了：“像罗素的‘还原性公理’这样的命题并不是逻辑公理……它们之所以为真，很可能仅仅是某种偶然运气的产物。”（论题6.1232）真正让我们大吃一惊的乃是这么一点：罗素也好，拉姆塞也好，都尝试着根据《逻辑哲学论》的某种观点（或是他们对于该观点的解读）来重新构造PM的系统。他们中的一人想在抛弃还原性公理的前提下进行这种重构，而另一人则试图给予该公理以一种新的解读。

为了把罗素自己所理解的维特根斯坦的建议贯彻实施，他为PM的第二版添加了一部新的导论，以及三个附录。他写道：“在《逻辑哲学论》论题5.54以下的评论中，维特根斯坦还出于某种哲学理由，提出了另一个思维路向。根据其假设，命题函项总是真值函项，另外，一个函项只能够通过其自身的值出现在一个命题中……这就带来了这样一个后果：所有的函项的函项都是外延的。”（p.ⅹⅳ）而本着这个思想而被造就的一个新系统，就是通常人们所说的支分类型论，这也正是我们在此所关心的东西。这种理论具有大家所熟知的那些不充分性。关于这种不充分性所影响到的事项，罗素本人也给出了一张清单：对于同一性的定义、数学归纳法、戴德金切、康托尔关于高阶无穷基数的理论。罗素认为他本人至少能够把归纳法抢救出来，并在附录B中致力于这么做。根据罗素的看法，如果对于第五阶上的类来说归纳法是成立的话，那么对于任何一个阶上的类来说，归纳法都成立。但正如哥德尔在其论文（见于Schilpp 1944）中所指出的那样，这个证明包含着一个漏洞。事实上，罗素的上述断言可以被证明为是假的，因为较低阶的系统的一致性可以在更高阶的系统中被证明。在下文的14.3节中，我会向大家展示这样一些新的系统：这些系统虽然还本着“支分”的精神，却已经避免了罗素的支分类型论所具有的几乎所有不充分性。关于PM的遗留问题，这也便是我的两个应答之一（作出这种应答的许诺，见于本章开头）。

罗素的理论中能够引起我们哲学兴趣的方面，主要是在支分论的框架中关于外延性和量化之本性的讨论。从直观上看，支分论在概念方面的简洁性是显而易见的：我们只需要把Fx的各个示例作出一种简单的合取和析取（合取/析取肢的数量都是无穷的），那么我们就能够得到（x）Fx或（Ex）Fx。实际上，罗素在PM的新导论里重弹了同一个调调：“一个函项，只有在凭倚其自身的值的情况下，才能够在一个矩阵中出现”（p.ⅹⅹⅸ）；“从理论上看，像Ф₁这样的变项是不必被引入的，因为它们可以被一种合取/析取肢数量无穷的合取/析取式所取代。”（p.ⅹⅹⅹⅲ）这里需要提到的是，哥德而后来找到了办法，将支分的想法和他更为广阔的理论视野结合在了一起，以便引入“可构建集合”这一有趣的理论混合物（参看Gödel 1939）。

拉姆塞的“重言式理论”走的是另一条路线。“尽管拉姆塞君写作时候的口吻好像就是维特根斯坦的门人，并除了未跟随其神秘主义以外，几乎在任何一个方面都对他亦步亦趋，但他处理问题的具体路径却是完全不同的。”罗素在PD中如是说（p.126）——在此书中，他还对他本人和拉姆塞在1925年的理论重构工作做出了一番小结。现在请允许我忽略那种为拉姆塞和维特根斯坦所分享的那怪兮兮的同一性概念。拉姆塞继续使用那种“外延化”的观点，并坚持他对于维特根斯坦的那个（错误的）理论假设的解释：有穷和无穷在根底上是没有啥区别的。具体而言，对他来说，并没有什么逻辑上的理由可以阻止我们去通过枚举来定义任何一个无穷集。关于选择公理，他是这么说的：“正如我所解释的那样，这明显就是一个重言式”（Ramsey 1931，p.59），而这个讲法也和那种根据关于集合的迭代观念而来的通常看法相合拍。

尽管无穷公理的地位目前还悬而未决，但是根据拉姆塞的观点，该公理很可能就是一个重言式：“我们不必假设任何一个关于具体事物的集合——比如说关于原子的集合——是无穷的，而只需要假设：存在着一些无穷的类，而且我们可以把这些类当作个体的类。”（p.61）情况或许是这样的：对于拉姆塞来说，所谓的“个体”并不必定就是物理世界的成员。这又是因为，在1930年左右，学界都习惯将自然数当作个体，并习惯于从空集出发来构建有穷集。如果我们能够一方面采用拉姆塞的那种外延主义视角，另一方面则能够更多地关注那些可以被表达的东西，并克服掉我们在超越那些原初的无穷等级系统时所涌现的恐惧心态，那么我们就能够进抵关于集合的迭代概念所呈现给我们的一片难以被穷尽的广阔天地。甚至那些比PM的公理集合更为丰富的公理集合，也能够通过这个概念来得到辩护（请参看拙著MP第六章）。而这也正是在下对于PM的遗留问题（参照拉姆塞对此的重新阐释）的另一个回答。在本书的14.3节中，我将详述相关事宜。

如果我们把今人所说的“集合”也归并入罗素所用的那些术语（如“个体”、“单位”、“事体”或“对象”等）的话，那么罗素的早期逻辑观会变成怎样呢？（这种归并是沿着拓展的方向走的，而不是沿着浓缩的方向走的。关于后一个方向，我曾以隐喻的方式将其联系于从罗素到卡尔纳普和蒯因的转变。）罗素看来在一个很基本的层面上就把“使用”和“提及”混为一谈了。“项”和“命题函项”的歧义性可谓一个相关的示例：对于他来说，一个命题函项既是一个矩阵（一个开语句），又是一个属性（特性或关系）或概念。如果我们能够避免这种含糊其辞并考虑一下那些被表达出来的东西（而不是表达式），我们就能够发现罗素在下述问题上和弗雷格以及哥德尔所达成的一致：对象和概念都被当成是基本的东西。在哥德尔看来，关于（纯）概念，我们目前还没有一种基本充分的理论。举例说，即使我们并没有一个普遍的集合，我们也可能拥有一个普遍的概念，但我们的确没有一个关于“施用于/无法施用于其自身”的普遍概念。当然有一些特殊概念是施用于其自身的，如普遍概念。他提出了这样的一种假设，即每一个集合都是某一个概念的外延。而概念理论的一个任务，就是去处理那被他称为“内涵性悖论”的麻烦问题，比如所有的那些无法施用于自身的概念所具有的概念。

哥德尔将悖论划分为三类。其中的外延性悖论是由集合迭代概念来处理的。语义学悖论的解决方式直到20世纪60年代之前都是被广为接受的。而需要被继续加以研究的就只剩下内涵性悖论了。在某种意义上，哥德尔的逻辑观可以被视为对于那些据说已被《逻辑哲学论》所解决的哲学问题的另一种解决方式（这些话题将在《哥德尔》中得到详细的处理）。