直线在平面的投影方程

2.5.1 平面的表示法

平面通常用确定该平面的点、直线或平面等几何元素来表示。在投影图上表示平面的方法，就是画出确定该平面的几何元素的投影，如图2－22所示。

图2－22 几何元素表示平面

（a）不在同一直线上的三点；（b）一直线和线外一点；（c）相交两直线；（d）平行两直线；（e）任意平面图形

图2－22中各组几何元素所表示的平面可以互相转化。例如连接图2－22（a）中的ab、a′b′，就转换为图2－22（b）；如再作bd∥ac、b′d′∥a′c′，又成了图2－22（d）。在投影图中，常以平面图形来表示空间的平面。

2.5.2 各种位置平面的投影

1.一般位置平面

对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面，如图2－23所示。三角形ABC平面对H面、V面、W面都是倾斜的，所以各面投影仍是三角形，但都不反映实形，而是小于实形的类似形。反之，若平面的三面投影均为类似形，则该平面为一般位置平面。

2.特殊位置平面

（1）投影面垂直面。垂直于一个投影面而对其他两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。垂直于H面的平面，称为铅垂面；垂直于V面的平面，称为正垂面；垂直于W面的平面，称为侧垂面。

图2－23 一般位置平面的投影

如图2－24所示为正垂面的投影。由于平面ABCD垂直于V面，对H、W面倾斜，所以其正面投影a′b′c′d′积聚成一条倾斜于投影轴的直线，其水平投影abcd以及侧面投影a″b″c″d″均为小于实形的类似形。且正面投影与OX轴和OZ轴的夹角α、γ分别反映平面ABCD对H面和W面的倾角。铅垂面和侧垂面的投影特性与正垂面类似。投影面垂直面的投影特性见表2－4。

图2－24 投影面垂直面投影

表2－4 投影面垂直面投影特性

续表

由表2－4可知，投影面垂直面有以下投影特性：

①平面在所垂直的投影面的投影积聚成一条与投影轴倾斜的直线，它与投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面的倾角。

②平面的其他两个投影均为小于实形的类似形。

（2）投影面平行面。平行于投影面的平面，称为投影面平行面。平行于H面的平面，称为水平面；平行于V面的平面，称为正平面；平行于W面的平面，称为侧平面。

如图2－25所示为正平面的投影。EHNK平面平行于V面，其正面投影e′h′n′k′反映实形，水平投影ehnk和侧面投影e″h″n″k″均积聚成直线，且分别平行于OX轴和OZ轴。水平面和侧平面的投影特性与正平面类似，见表2－5。

图2－25 正平面的投影

表2－5 投影面平行面投影特性

由表2－7可知，投影面平行面有以下投影特性：

①平面在所平行的投影面上的投影反映实形；

②平面的其他两个投影均积聚成直线，且平行于相应的投影轴。

2.5.3 取属于平面的点和直线

已知平面上的点和直线的一面投影，可根据点和直线在平面上的几何条件作出其他投影。

1.取属于平面的直线

直线属于平面，应满足下列条件之一：

（1）直线经过属于平面的两个点；

（2）直线经过属于平面的一点，且平行于属于该平面的另一直线。

例2.3 如图2－26（a）所示，已知属于△ABC平面的点E的正面投影e′，试求它的另一面投影。

图2－26 平面上取点的投影

分析：因为点E属于△ABC平面，故过E作属于△ABC平面的一条直线，则点E的两个投影必属于相应直线的同面投影。

作法1（图2－26（b））：

（1）过E和定点B作直线，即连接e′b′，交a′c′于d′；

（2）求出水平投影d，连接bd并延长；

（3）过e′作OX轴的垂线与bd的延长线相交，交点即为E点的水平投影e。

作法2（图2－26（c））：

（1）过点E作直线EF平行AB，即过e′作e′f′∥a′b′，交b′c′于f′；

（2）求出水平投影f，过f作直线平行a b，与过e′作OX轴的垂线交于e，即为E的水平投影。

2.取属于平面的点

点属于平面的条件是：若点属于平面内的一条直线，则该点必属于该平面。因此，取属于平面的点，首先应取属于平面的线，再取属于该直线的点。

例2.4 如图2－27（a）所示，已知平面五边形ABCDE的正面投影和ABC三点的水平投影，又已知其边AB／／CD，试完成平面五边形的水平投影。

图2－27 求平面五边形ABCDE的水平投影

作图（图2－27（b））：

（1）在水平投影面上，自c点作cd／／ab，由d′点作OX轴的垂线交cd于d点；

（2）延长d′e′交a′b′相交于1′；

（3）由1′引OX轴的垂线，相交ab于1；

（4）连接d和1两点，由e′向OX轴所作的垂线与d1交于e；

（5）连接ae和ed，即完成平面五边形ABCDE的水平投影。