直线与平面及两平面垂直

时间：2022-02-13 理论教育版权反馈

【摘要】：由前述的直线与平垂直的几何条件，可知垂直性质及垂直的判定如下。同时，该直线必垂直于属于该平面的水平线、正平线及侧平线。因而，一般位置直线与一般位置平面的垂直判定还可表示为，若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。

6.3　直线与平面及两平面垂直

直线与平面及平面与平面相互垂直是它们相交的特殊情形。

当空间直线垂直于某平面时，该直线垂直于平面内的所有的直线（有相交垂直和交叉垂直两种情形）。由于两条相交直线可以确定一个平面，因此，直线和平面垂直的几何条件可以表述为，直线垂直于平面内的任意两条相交直线。

在立体几何中已经知道，两平面垂直的几何条件：一个平面过另一个平面的一条垂线。

利用上述几何条件，可以判别直线与平面是否垂直，也可以作直线垂直于平面以及平面垂直于平面。

6.3.1　直线和一般位置平面垂直

当直线和一般位置平面垂直时，该直线也是一般位置直线，即这条一般位置的直线垂直于一般位置平面中的所有直线。由前述的直线与平垂直的几何条件，可知垂直性质及垂直的判定如下。

垂直性质：若直线垂直于一平面，则该直线必垂直于属于该平面的一切直线。同时，该直线必垂直于属于该平面的水平线、正平线及侧平线。如图6－18所示，直线AB、CD属于平面P，直线NK⊥平面P，则NK⊥AB、NK⊥CD、NK⊥平面P内的所有直线。由于AB、CD分别为正平线、水平线，则根据直角投影定理，NK与AB的垂直关系在V面上反映，即n′k′⊥a′b′；NK与CD的垂直关系在H面上反映，即nk⊥cd。因而，一般位置直线与一般位置平面的垂直性质还可表示为，若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影；直线的侧面投影必垂直于属于该平面的侧平线的侧面投影。

垂直判断：直线若与平面内的任意两条相交直线垂直，则这条直线就与这个平面互相垂直。如图6－18所示，直线AB、CD属于平面P，直线NK⊥AB、NK⊥CD、AB与CD的交点为M，则直线NK⊥平面P。根据直角投影定理的逆定理，为使垂直的实形在投影图上得到反映，常在平面上找投影面平行线。由于AB、CD分别为正平线、水平线，若n′k′⊥a′b′，则NK⊥AB；若nk⊥cd，则NK⊥CD。因而，一般位置直线与一般位置平面的垂直判定还可表示为，若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。

图6－18　一般位置直线与一般位置平面垂直

应注意：点K是垂线上的任一点，不是垂足，若要求垂足，则要按一般位置直线与一般位置平面相交求交点的方法求直线NK与平面P（或△ADE）的交点，交点即为垂足。

【例6－10】　如图6－19（a）所示，已知平面△ABC与该平面外的一点D的两面投影，试过点D作一条直线DE垂直于平面△ABC。

解　（1）分析：根据前文的分析，本题平面△ABC内的两条相交直线可选一条水平线和一条正平线，把△ABC内的这两条投影面平行线的两面投影都找出来，由于直线DE同时垂直于△ABC内的这两条投影面平行线，根据直角投影定理的逆定理即可知直线DE的投影，然后求线面的交点，最后判断可见性。

（2）作图步骤如下。

①在平面△ABC内找过点A的水平线AG和正平线AF，投影图作图过程如图6－19（b）所示：分别过点a、a′作OX轴的平行线af、a′g′交bc、b′c′于f、g′，由于点G、F都是直线BC上的点，根据直线上点的投影规律找出f′、g，连接直线a′f′、ag。

②过d作直线ag的垂线de、过d′作a′f′的垂线d′e′（de、d′e′长度不限，合适即可，且ee′⊥OX轴）。根据直角投影定理的逆定理，由于直线DE同时垂直于平面△ABC内的两条相交直线AG和AF，因此直线DE垂直于平面△ABC。

③求交点M和判断可见性的详细步骤请参照6.2节所提供的方法，作图过程和结果如图6－19（c）所示。

图6－19　过平面外一点作平面的垂线

【例6－11】　如图6－20（a）所示，已知直线DE与该平面外的一点A的两面投影，试过点A作一平面ABC⊥DE。

解　（1）分析：与例6－10相仿，本题可找过点A且与直线DE垂直（包括相交垂直和交叉垂直）的一条正平线AC和一条水平线AB，直线AB和AC所确定的平面ABC将垂直于已知直线DE。

（2）作图步骤（如图6－20（b）所示）。

①过点a作直线de的垂线ab（ab长度不限，合适即可），过点a′作OX轴的平行线，点B的V面投影b′就在该直线上，按线上取点的作图方法求出点b′。

②过点a′作直线d′e′的垂线a′c′（a′c′长度不限，合适即可），过点a作OX轴的平行线，点C的H面投影c就在该直线上，按线上取点的作图方法求出点c。

③由于直线DE同时垂直于平面ABC内的两条相交直线AB、AC，所以平面ABC⊥DE。

图6－20　过平面外一点作直线的垂面

6.3.2　直线和特殊位置平面垂直

当直线与特殊位置平面垂直时，可据特殊位置平面的不同分为以下两种情形。

（1）如果直线和某投影面垂直面垂直，该直线必是该投影面的平行线，在平面所垂直的投影面上，直线的投影与平面的积聚投影成直角关系。如图6－21所示，平面P⊥H面，直线AB⊥P面，则AB∥H面，ab⊥P^H。

图6－21　特殊位置直线与特殊位置平面垂直

（2）如果直线和某投影面平行面垂直，该直线是该投影面的垂直线；并且在平面所垂直的投影面上，直线的投影与平面的积聚投影成直角关系。

根据上述的分析，直线和特殊位置平面垂直的问题实际上是特殊位置直线与特殊位置平面垂直的问题，由于这两种情形的作图方法相同，下面仅给出直线与投影面垂直面垂直的例子。

【例6－12】　如图6－22（a）所示，已知正垂面△ABC与该平面外的一点D的两面投影，试过点D作一条直线DE垂直于△ABC。

解　（1）分析：由于△ABC是正垂面，所求的直线DE必然是正平线，并且直线DE和△ABC的V面积聚投影相互垂直，据此即可作出DE的两面投影；接着求线面的交点，最后判断可见性。不难看出，本题就是6.2.1节所述内容的特殊情形。

（2）作图步骤如下。

①过点d′作△ABC的V面积聚投影线段a′b′c′的垂线d′e′（d′e′长度不限，合适即可）。

②过点d作OX轴的平行线，与过e′所作的OX轴的垂线相交于点e。

③求交点K和判别可见性的详细步骤请参照6.2.1节所提供的方法，作图过程和结果如图6－22（b）所示。

图6－22　过平面外一点作正垂面的垂线

6.3.3　两个一般位置平面垂直

当相互垂直的两个平面都是一般位置平面时，由前述的直线与平面垂直的几何条件，可知垂直性质及垂直的判定如下。

垂直性质：若两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。如图6－23所示，平面P⊥平面Q，则过平面P上的任一点A向平面Q所作的垂线AB必属于平面P；若平面R倾斜于平面Q，则过平面R上的任一点C向平面Q所作的垂线CD必不属于平面R。

图6－23　两平面相互垂直的性质

垂直判断：如果一个平面包含一条垂直于另一个平面的垂线，则两平面垂直。如图6－23所示，若AB⊥平面Q，AB属于平面P，则平面P⊥平面Q；若点C属于平面R，CD⊥平面Q，但CD不属于平面R，则平面R倾斜于平面Q。

【例6－13】　如图6－24（a）所示，已知平面△ABC与平面△DEF的两面投影，试判断这两个平面是否相互垂直。

解　（1）分析：空间几何元素在投影面中的相对位置关系的判别问题，解题思路通常是先假设它们满足某种相对位置关系，然后再用相关原理去证明（判断）前面假设的位置关系是否成立。事实上，这种方法在前面的解题中已经多次用到。本题可以先假设这两个平面相互垂直，然后应用两平面垂直的几何条件来判断。具体来说，如果能在其中一个平面中找到另一个平面的一条垂线，那么这两个平面就相互垂直，否则就不垂直。

图6－24所用的方法：首先在△DEF中找到一对相交的正平线FN和水平线FM，然后过△ABC上的点B作直线BG同时垂直于正平线FN和水平线FM，则直线BG垂直于由正平线FN和水平线FM确定的△DEF，最后判断直线BG是否为△ABC内的线，如果直线BG是△ABC内的线（即△ABC包含△DEF的一条垂线BG），那么△ABC垂直于△DEF，否则它们不垂直。之所以能用上述方法判断，是因为过空间某点所作的已知平面的垂线是唯一的，如果△ABC垂直于△DEF，那么△ABC一定过△ABC内任意一点（如点B）向平面△DEF所作的垂线。

（2）作图步骤如下。

①在△DEF内过点F作正平线FN和水平线FM的两面投影fn、f′n′，fm、f′m′，如图6－24（b）所示。

②过b作fm的垂线bg，过b′作f′n′的垂线b′g′，bg、b′g′长度不限，合适即可，但gg′⊥OX轴，如图6－24（b）所示。