直线在平面的投影方程

时间：2022-10-22 百科知识版权反馈

【摘要】：在用迹线表示的平面上，可以作出表示该平面的任一组几何要素。空间平面对投影面有三种不同的相对位置。垂直于某一个投影面且倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面，平行于某一个投影面而与另外两个投影面垂直的平面称为投影面平行面，这两种平面称为特殊位置平面；与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，简称一般面。如果规定必须通过平面内某个点，或与某个投影面的距离一定，则在平面上只能作出一条投影面平行线。

2.3　平面的投影

平面是广阔无边的，平面的有限部分的投影，称为平面图形。

2.3.1　平面在投影图上的表示方法

由初等几何学可知，不在同一直线上的三点可确定一个平面。从这条公理出发，平面可有两种表示方式：非迹线平面(几何元素)和迹线平面。

2.3.1.1　用几何元素表示平面(非迹线平面)

用非迹线的几何元素表示平面的方法有以下几种：

(1)不在同一直线上的三点——确定平面位置最基本的几何元素(见图2-39(a))；

(2)一直线和直线外一点(见图2-39(b))；

(3)相交两直线(见图2-39(c))；

(4)平行两直线(见图2-39(d))；

(5)任意平面图形，例如三角形、平行四边形、圆等，不但可表示空间位置，还可表示平面的大小和形状，是常用的一种表达方式(见图2-39(e))。

图2-39　用几何元素表示平面

以上几种表示平面的方法，仅是形式上的不同，而实质不变，如用几何元素表示同一个平面的空间位置，它们可以在以上几种形式中互相转换。

2.3.1.2　用平面的迹线表示平面

平面与投影面的交线称为迹线。把用迹线表示的平面称为迹线平面。

1.迹线的性质及标记

如图2-40所示，平面P与V、H、W面相交得到的交线分别称为水平面迹线P_H、正面迹线P_V、侧面迹线P_W。

图2-40　迹线表示平面

迹线既是投影面上的直线，又是某个平面上的直线。因此在投影面上，迹线在该面的投影与它本身重合，另两个投影在相应的投影轴上。在图2-40(b)中，P_H既在H面上，又在P面上，P_H的水平投影与P_H重合，其正面投影和侧面投影分别在OX轴和OY轴上。

在投影图上，通常只将与迹线重合的那个投影画出，并用带脚标的大写符号标记；凡和投影轴重合的投影不需画出，也省略标记。

2.求作非迹线平面的迹线

在用迹线表示的平面上，可以作出表示该平面的任一组几何要素。反之，用任一组几何要素表示的平面——非迹线平面，也可求作出其迹线，因为迹线是平面与投影面的交线，是该面迹点的集合。

根据“平面上一切直线的迹点必在该平面的同面迹线上”这一事实可以得知，平面上直线的迹点就是平面与投影面的共有点。因此求迹线投影的方法是：求出平面上任意两条直线的两对同面迹点，将每对同面迹点相连即可得到。

例2-18　求作图2-41(a)中平面的迹线。

图2-41　例2-18图

分析　(1)在图2-41(a)中，因两投影都是一般位置直线，两相交直线即可确定一个平面；

(2)平面的迹线是该面迹点的集合，因此只需求出各投影面迹线上的两个同面迹点，然后连接即可。

作图　按求直线的迹点的方法求得两直线的各面迹点后连接各同面迹点即可。

例题小结　不难看出，所谓迹线平面实质上是相交两直线或平行两直线所表示平面的特殊情况，因而迹线平面与非迹线平面可以根据需要互相转换。

注意　在第9章透视投影部分中将有迹线的应用——平面与画面的交线。

2.3.2　各种位置平面的投影

空间平面对投影面有三种不同的相对位置。垂直于某一个投影面且倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面，平行于某一个投影面而与另外两个投影面垂直的平面称为投影面平行面，这两种平面称为特殊位置平面；与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，简称一般面。

平面与投影面H、V、W间的两面角分别用小写希腊字母α、β、γ表示。

1.投影面垂直面

投影面垂直面分为三种：垂直于V面的平面称为正垂面，垂直于H面的平面称为铅垂面，垂直于W面的平面称为侧垂面。

如图2-42所示，观察并想象立体表面中的垂直面：当该立体相对于三投影面的位置确定后，观察立体表面中与某一投影面垂直(则与该投影面两面角为90°)而对另两投影面倾斜(0°＜夹角＜90°)的平面，如立体中的平面P、Q、R。在分析其特点后，再了解表2-3中列举的三种垂直面的空间状态与投影特点，可得出投影面垂直面的投影特性如下：

图2-42　观察立体上的垂直面

表2-3　投影面垂直面

(1)在与平面垂直的投影面上，平面的投影积聚为倾斜的直线，该积聚投影与相应轴间夹角分别等于该平面与另两个投影面的真实倾角；

(2)另外两个投影面上的投影，均为小于实形的原图形的类似形(也称原形的相仿形)。

2.投影面平行面

投影面平行面分为三种：平行于V面的平面称为正平面，平行于H面的平面称为水平面，平行于W面的平面称为侧平面。

如图2-43所示，观察并想象立体表面中的平行面（当该立体相对于三投影面的位置确定后，与某一投影面平行的平面），如立体中的平面P、Q、R。在分析其特点后，再了解表2-4中列举的三种平行面的空间状态与投影特点，可得出投影面平行面的投影特性如下：

图2-43　观察立体上的平行面

表2-4　投影面平行面

(1)在与平面平行的投影面上，平面的投影具有真实性，即反映平面实形；

(2)另外两个投影面上，平面的投影具有积聚性，且同时垂直于同一投影轴，反映与相应投影面等距。

3.一般位置平面

观察并想象图2-44中立体表面中的一般位置平面P。

图2-44　观察立体上的一般面

一般位置平面对三个投影面都是倾斜的，如图2-45所示，一般位置平面投影特性如下：

(1)三个投影不反映实形，也无积聚性投影，均为小于实形的原形的相仿形；

(2)各投影面上的投影均不反映平面与投影面的真实倾角。

图2-45　一般位置平面

2.3.3　平面投影的作图与读图

2.3.3.1　平面投影的作图

平面投影的作图包括表示平面的空间位置和平面的形状。表示平面的空间位置可用任何平面的表示方法，而要表示平面的形状只能用平面多边形的表示方法，因此，平面多边形是工程上常用的表示方法。

对某一投影作图而言，可按点、线的投影规则作图。对于垂直面的投影，作图时一般按实际倾角先画积聚线，再画类似形。对于平行面的投影，作图时一般先画反映实形的那个投影。

在实际中，对于特殊位置平面，只需要表示它们的空间位置，因此多用迹线表示方法，图2-46所示为在两投影体系中的特殊位置平面。

图2-46　用迹线表示特殊位置平面

例2-19　包含直线AB作一铅垂面，如图2-47(a)所示。

分析　(1)当铅垂面上一直线的空间位置确定后，则该铅垂面的空间位置也已确定（铅垂面的投影特点：在H面投影上的投影积聚成一斜线）；

(2)表示铅垂面空间位置可用非迹线平面也可用迹线平面。

作图　分别用非迹线平面（相交两直线，见图2-47(b)）、平行两直线(见图2-47(c))和迹线平面(见图2-47(d))完成该题(读者还可试用其他表示方式)。

图2-47　例2-19图

例题小结　从本例题不难看出，所谓迹线平面，实质上是相交两直线或平行两直线等非迹线平面所表示平面的特殊情况，因而迹线平面与非迹线平面可以根据需要互相转换。

2.3.3.2　读平面的投影图

掌握各种位置平面的投影特性之后，就可以读平面的投影图，想象其空间位置。

1.平面用多边形表示

当平面用多边形表示时，读图时要注意以下几点：

(1)一平面只要有一面投影积聚为一条倾斜于投影轴的直线，该平面就一定是投影面垂直面，并且垂直于该倾斜线所在的投影面；

(2)一平面只要有一面投影积聚为一条平行于投影轴的直线，该平面就一定是投影面平行面；

(3)如果平面的三个投影都是平面图形，那么该平面一定是一般位置平面；

(4)对特殊位置平面的积聚投影，可用以轴代面法想象其空间位置。

2.平面在两投影面体系用迹线表示

当平面在两投影面体系用迹线表示时，读图时要注意如下几点：

(1)两条迹线都倾斜于投影轴，则该平面一定是一般位置平面；

(2)一迹线倾斜于投影轴，另一迹线垂直于投影轴，则该平面一定是投影面垂直面,垂直面通常只用一条斜线表示平面的空间位置；

(3)两条迹线都垂直于投影轴，则该平面一定是投影面平行面，平行面通常只用一条直线表示平面的空间位置；

(4)对特殊位置平面的迹线投影，可用以轴代面法想象其空间位置。

2.3.4　属于平面的直线和点

2.3.4.1　几何条件

由初等几何学知识可知，判别直线或点是否在已知平面内的几何条件为如下两点(见图2-48)。

(1)直线在平面上，则直线一定过该平面上的两个点，或过该平面上的一个点且平行于该平面上的另一条直线；反之，直线过平面上的两个点或过平面上的一个点且平行于该平面上的另一条直线，则直线一定在该平面上。

(2)点在平面上，则该点一定在该平面上的一条直线上；反之，点在平面上的一条直线上，则点一定在该平面上。

如图2-48所示，在投影图中，根据这两个条件之一，就可在平面上取直线。

图2-48　平面上的直线和点

2.3.4.2　几何作图

在平面上取点时，必须先在平面上作一辅助线。然后在辅助线的投影上取得点的投影。

在平面上取直线时，要利用平面上的点，在平面上取点时，又要利用平面上的直线，两者之间相辅相成，互为因果。

例2-20　已知点K的V面投影k′，且点K与平面图形ABC共面，如图2-49(a)所示，完成点K的水平投影。

分析　(1)由平面图形ABC的两投影可知，该平面的空间位置为一般位置平面；

(2)因点K属于ABC所在的平面，故点K满足在已知平面上取点的几何条件；又点K不在平面△ABC内，所以要作辅助线。

作图　(1)在V面上连接c′、k′作为辅助线，交a′b′于d′，如图2-49(b)中①所示；

(2)由c、d的连线及由k′所作的投影连线，可得k，如图2-49(b)中②、③、④步骤所示。

图2-49　例2-20图

例2-21　已知平面ABDC的H面投影，如图2-50(a)所示，完成平面的V面投影。

图2-50　例2-21图

分析　由V、H面中AB、AC两交线的投影可知，平面ABDC的空间位置已确定，完成平面图形的V面投影无非是面上取点D的问题。

作图　有以下两种方法：

(1)在平面内作对角相交线，作图过程如图2-50(b)中①、②、③、④、⑤、⑥步骤所示；

(2)在平面内作AB(或AC)的平行线，作图过程如图2-50(c)中①、②、③、④步骤所示。

例题小结　无论完成平面图形还是检验直线或点是否在平面上，均需从直线或点在平面上的几何条件出发，取点或作辅助线进行求解，而辅助线则应根据具体情况而定，若选取得当，将简化作图过程，如图2-50(c)所示。

2.3.4.3　平面上的特殊位置直线

任何平面上都能作出无数条方向各不相同的直线，但其中必有以下两种特殊位置直线：

(1)平面上的投影面平行线；

(2)平面上对投影面的最大斜度线。

1.平面上的投影面平行线

既在平面上同时又与某投影面平行的直线称为平面上的投影面平行线。

平面上的投影面平行线有以下三种(见图2-51)：

(1)平行于H面的称为平面上的水平线；

(2)平行于V面的称为平面上的正平线；

(3)平行于W面的称为平面上的侧平线。

图2-51　平面上的投影面平行线

平面上的投影面平行线的投影，既有平面上的投影面平行线所具有的投影性质，又符合平面上的直线性质。迹线是平面上的线，也是投影面上的线，它是平行于某一投影面的直线，所以平面上的投影面平行线也平行于平面的相应迹线。

同一平面上可以作无数条投影面平行线，而且都互相平行。如果规定必须通过平面内某个点，或与某个投影面的距离一定，则在平面上只能作出一条投影面平行线。

例2-22　在平面△ABC上找一点K，使其距V面15mm，距H面15mm，如图2-52(a)所示。

分析　在已知空间位置的平面上取点K，除应满足与平面的从属关系外，它还要满足与V、H面定距离的要求。在空间满足距V面15mm的点很多，在距V面15mm的正平面上，所有的点均满足要求，而在△ABC上只有一条距V面15mm的正平线上的点满足要求，同样，在△ABC上也只有一条距H面15mm水平线上的点满足要求，由此得知要求的K点与两直线均有从属关系，即满足题意要求的点只有唯一的一个。

作图　在平面内作两条满足题意的平行线，作图过程如图2-52(b)中①、②、③、④、⑤、⑥步骤所示。

图2-52　例2-22图

2.平面上对投影面的最大斜度线

过平面上一点，可在平面上作无数条直线，它们对投影面的倾角各不相同，其中必有一条直线对投影面的倾角最大。平面上对某一投影面具有最大倾角的直线称为此平面上对该投影面的最大斜度线。

(1)最大斜度线的性质垂直于平面的同面迹线和平面上的投影面平行线。

图2-53(a)中，设在平面P内自点A向P_H作一条垂线AB和任意斜线AC，自点A向H面作一条垂线Aa，分别与它们各自在H面的正投影形成了两个等高的直角三角形，由于AB⊥P_H，故AB最短。如将它们重合在一起(见图2-53(b))，不难看出，角α最大，即在平面P内过点A所作的直线中，以垂直于P_H的直线AB对H面的倾角为最大，AB称为对H面的最大斜度线。试想象将H面换成V面或W面，则有对V面的最大斜度线和对W面的最大斜度线。

显然，最大斜度线是相对于投影面而言的，对不同的投影面有不同的最大斜度线，同一类最大斜度线也不只有一条，而是一组相互平行且垂直于该平面的同面迹线及平面上的同面平行线，如图2-53(c)所示。