2.2 直线的投影
直线是可以无限延长的，由线上任意两点，或由线上一点及直线的方向，可决定其空间位置。直线上两定点之间的部分称为“线段”，本书所述直线指的是线段。
2.2.1 直线的投影特性
1.不变性
直线的投影在一般情况下仍然是直线。如图2-16所示，将直线AB向H面进行正投影，直线AB上各点的投影与直线组成一个投影平面，该平面与H面交于一条直线ab，ab直线即是AB在H面上的投影。
2.从属性
直线上任一点的投影必在该直线的同面投影上。如图2-16所示，在直线AB上有一点C，当AB向H面作投影时，过点C的投影线必在过AB直线的投影平面ABba上，因此点C的投影c必在ab上。同理，直线段端点的投影仍为直线投影的端点，因此，作直线的投影时，只要作出直线两端的投影，然后连成直线即可。
图2-16 不变性、从属性
3.积聚性
当空间直线平行于投影方向时，直线的投影不再是直线，而成为一个积聚点。如图2-17所示，当直线DE向H面投影时，由于DE平行于投影线(或与投影线重合)，因此投影线贯穿DE而与H面交于一点。在标注时，按投影线贯穿的先后顺序标注两端点，由于它们不是一对重影点，因此不必判断其可见性。
图2-17 积聚性
4.真实性
当空间直线平行于投影面时，投影线段的长度等于线段的真实长度。如图2-18所示，当直线FG向H面投影时，由于FG平行于投影面，通过直线的投影平面FGgf是一个矩形，由对边平行且相等的原理，有FG=fg。
图2-18 真实性
2.2.2 作直线的投影
根据直线的投影特性——从属性可知：要作直线的各面投影，必须已知直线上任意两点的投影，它们的各同面投影的连线就是直线在各面的投影。
例2-7 已知直线上两点的坐标分别为A(10，15，5)、B(25，5，20)，作直线的三投影。
分析 由直线的从属性可知，只要作出直线上任意两点的投影，即可作出直线的投影。
作图 如图2-19所示，先以点A的坐标分别在X、Y、Z轴上确定10、15、5的点，并过这几个点作相应轴的垂线(或作另外两轴的平行线)，则线间必两两相交，其交点即为点A在V、H、W三面上的投影点。
图2-19 例2-7图
用同样的方法作出点B的三面投影，然后在各面将两点的投影相连，即得AB直线的三投影。
在投影图中，直线的投影用粗实线表示，而直线的名称可由其端点表示，也可用一个字母表示，如直线L的三投影分别为l、l'、l"。
直线的任意两投影可确定直线在空间的位置，则由直线的任何两个投影可求出其第三投影。
2.2.3 直线与投影面的相对位置及投影特性
空间的直线可处于各种不同的位置。在三面投影体系中，平行于某一个投影面而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线，垂直于某一个投影面而与另外两个投影面平行的直线称为投影面垂直线，这两种直线称为特殊位置直线；相对于三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线，简称一般线。
直线与投影面H、V、W间的夹角分别用小写希腊字母α、β、γ表示。
1.投影面平行线
投影面平行线上任何一点到所平行投影面的距离是相等的。
投影面平行线分为三种：平行于V面的直线称为正平线(该直线各点的Y坐标相同)，平行于H面的直线称为水平线(该直线各点的Z坐标相同)。平行于W面的直线称为侧平线(该直线各点的X坐标相同)。
观察并想象一立体各边线中的平行线。如图2-20所示，当该立体相对三投影面的位置确定后，立体表面上与某一投影面距离处处相等的直线，如立体中的AB、CD、EF。在分析其特点后，再比较表2-1中所列举三种平行线的空间状态与投影特点。
图2-20 观察立体上的平行线
表2-1 投影面平行线
【培养观察能力提示】
观察，是人们有目的有计划地对客观现象、问题进行考察的一种方法，是一切科学研究的首要步骤。观察能力指有一定目的的、比较持久的和主动的知觉，是通过各种方式去认识某种事物的心理过程，是善于全面、正确、深入地认识事物特点及其发展过程的能力。运用观察能力对事物进行观察，这是获得知识的一个首要步骤或最初阶段。观察能力包括观察的速度、广度、精细度等内容。
投影面平行线的投影特性如下：
(1)直线在所平行的投影面上的投影与轴倾斜，且反映实长，投影与轴间夹角分别反映直线与相应投影面的夹角；
(2)与直线不平行的两个投影面上的投影，共同垂直于一条投影轴，这两个投影的连线方向为水平或铅垂方向。
注意 正平线的H、W面两投影的连线无此特点。
2.投影面垂直线
投影面垂直线分为三种：垂直于V面的直线称为正垂线(该直线各点的X、Z坐标相同)，垂直于H面的直线称为铅垂线(该直线各点的X、Y坐标相同)，垂直于W面的直线称为侧垂线(该直线各点的Y、Z坐标相同)。
观察并想象立体表面边线的垂直线。如图2-21所示，当立体相对三投影面的位置确定后，立体表面上的直线，如AB、AC、DE与某一投影面垂直。在分析其特点后，再看表2-2中列举的三种垂直线的空间状态与投影特点。
图2-21 观察立体上的垂直线
投影面垂直线的投影特性如下：
(1)在与直线垂直的投影面上，其投影积聚为一点；
(2)直线在另外两个投影面上的投影，都反映实长，并平行同一根投影轴的直线。
表2-2 投影面垂直线
3.一般位置直线
一般位置直线(一般线)与各投影面均呈倾斜方向，因此直线对各投影面的倾角就是该直线与其在各投影面上的投影之间的夹角。
如图2-22(a)所示，一般线由于既不平行投影面又不垂直投影面，因此相对各投影面的各倾角均大于0°、小于90°。如图2-22(c)所示，直线的各投影都倾斜于投影轴，这样表明直线上各点到同一投影面的距离都不相等，而且投影与轴的夹角并不反映线段对相应投影面的倾角(如α1不反映直线与H面的夹角)。投影长度均小于直线的实际长度。如AB直线在H面上的投影ab，从图2-22(b)上看，在直角△ABA0中，A0B=ab，因此ab=ABcosα，由于0°＜α＜90°，0＜cosα＜l，所以ab＜AB。同理，a'b'＜AB，a"b"＜AB。
图2-22 一般位置直线
一般线的投影特性如下：
(1)三个投影都倾斜于投影轴；
(2)三个投影与投影轴间的夹角均不反映线段与相应投影面的真实倾角；
(3)三个投影长度均小于线段实长。
4.求线段的实长及对各投影面的倾角
对于特殊位置直线，根据投影图即可得知它们的实长及对各投影面的倾角，对于一般位置直线，常需根据线段的两个投影利用直角三角形法作出它的实长及其与投影面的倾角，以解决某些度量问题。
(1)空间分析 在图2-23(a)中，在AB直线对H面的投射平面内，过点B作平行于ab的直线与Aa相交得一直角△AA0B。在这个直角三角形中，AB为斜边，一直角边ΔZ=ZAZB是A、B两端点相对H面的距离差(Z坐标差)，另一直角边A0B与ab平行且等长。在该直角三角形中，斜边就是直线的实长，斜边AB与一直角边、A0B间的夹角就是直线对H面倾角α。
(2)投影分析 在图2-23(b)、(c)中，A、B两端点相对H面的距离差ΔZ反映在V投影面上为a′与b′的上下高度差。由ΔZ及ab即可求出直线的实长和相对投影面的夹角。
图2-23 直角三角形法求线段的实长及对各投影面的倾角
根据投影图作出直角三角形、求一般直线的实长和相应的倾角的方法称为直角三角形法。
同理，讨论直线AB在对V、W面上的投影：可以利用线段的正面投影a′b′与A、B两端点相对V面的距离差ΔY、利用线段的侧面投影a"b"与A、B两端点相对W面的距离差ΔX，作出类似的另外两个直角三角形。这三个直角三角形有共性，各自也有个性，它们的共同特点是：直角三角形的斜边是线段的实长，一直角边是投影长，另一直角边为空间线段两端点相对投影长所在投影面的距离差，斜边与投影长直角边的夹角是直线对投影长所在投影面的倾角。各自的特点是：每一个直角三角形除斜边外，其他各要素均与相应投影面有关。如图2-23中的直角三角形中的一个夹角为α；两直角边分别是：H面投影ab，两端点相对于H面的距离差ΔZ。由于三个直角三角形是分别在三个投影平面内作出的，因此它们分别是与相应投影面有关的三个直角三角形。
直角三角形法不仅是求线段实长和其对投影面倾角的方法，也是解决一般位置直线作图问题的一种方法。只要已知四个组成要素中的任意两个，就可作出此直角三角形，继而求得另外两个未知要素。在利用直角三角形法求未知要素时，必须熟练掌握这几个直角三角形的共性和个性，以便准确地作出直角三角形。
例2-8 如图2-24(a)所示，已知点A的两面投影a′和a，AB=25mm，α=30°，β=45°，点B在点A的左、后、下方，作AB直线的两投影。
图2-24 例2-8图
分析 按已知条件所给直线的实长及对H面与V面的倾角，可以作出两个直角三角形；有两个直角三角形即可得知四个未知要素，再由题意给定的方向作出线段的两投影。
作图 (1)为简化作图过程，以直线的实长25mm为直径作一圆，从直径的一端点分别作两条与直径成α=30°、β=45°的弦与圆相交，再过直径的另一端点作弦，分别与前两交点相交，即可得两个直角三角形，如图2-24(b)所示。从这两个直角三角形中，可得到a′b′投影长、ΔY、ab投影长、ΔZ。
(2)只用所得四个要素中的任意三个，就可按给定方向作出a′b′和ab，如图2-24(c)、(d)所示。
2.2.4 直线上的点
2.2.4.1 直线上点的投影
点与直线的相对位置有两种情况：点在直线上和点在直线外。
在直线上的点与直线本身有以下两种投影关系。
1.点对直线的从属性关系
由直线投影特性——从属性可知：直线上任一点的投影必在该直线的同面投影上；反之，一点的各投影若均在直线的各同面投影上，则该点在空间必在直线上。因此，作为点本身，它的各面投影符合点的投影规律；作为直线上的点，它的各面投影都在直线的同面投影上。
例2-9 如图2-25(a)所示，判断点C是否在直线AB上。
分析 因点C在直线AB两投影上，若点C的c"也在直线的W面投影上，则由投影的从属性可确定：点C在直线AB上。
作图 如图2-25(b)中①→②→③所示。
图2-25 例2-9图
2.点分直线的定比关系
直线上的点将直线分为几段，各线段长度之比等于它们的各同面投影长度之比；反之，若点的各投影分线段的同面投影长度之比相等，则此点在该直线上。有了定比关系，可在投影图上任意定比分点。利用直线上线段之比来求直线上点的方法，称为分比法。
例2-10 如图2-26(a)所示，在AB直线上取一点C，使AC∶CB=2∶1。
图2-26 例2-10图
分析 利用“定分线段之比，投影以后保持不变”的原理，有AC∶CB=ac∶cb=a′c′∶c′b′=a"c"∶c"b"=2∶1。
作图 (1)任选一个投影，如H面投影，过ab投影任一端点a作一辅助线段，任取三等份，如图2-26(b)所示；
(2)如图2-26(c)所示，连接端点，过等分点作端点连线的平行线交ab于一点即为点c；
(3)完成点C的两投影。
2.2.4.2 直线的迹点
直线与投影面的交点称为直线的迹点。如图2-27(a)所示，直线AB延长后，与H、V面的交点M、N分别称为H面迹点和V面迹点。同样，直线与W面的交点，称为W面迹点。
迹点是直线上的点也是投影面上的点，因此，迹点在它所在投影面上的投影与自身重合；另外的投影则在相应的投影轴上。如图2-27(b)所示，H面迹点M是H面上的点，所以它的H面投影m与M重合，而其V面投影m'必在X轴上。同样，V面迹点N的V面投影n'与N重合，其H面投影n则在X轴上。迹点还是直线上的点，因此，迹点的各面投影在线段各同面投影的延长线上。
图2-27 直线的迹点
由于直线与投影面的相对位置不同，直线与投影面的交点位置及数量均有差异：一般位置直线有三个迹点，可能在第一分角也可能在其他分角；投影面平行线有两个迹点，直线与所平行的投影面无交点，即没有迹点；投影面垂直线只有一个迹点。
注意 在透视投影部分将有迹点的应用——视线的迹点。
2.2.5 两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有三种：平行、相交(两直线交于一点)和交叉(既不平行又不相交)。在特殊情况下，两直线可相互垂直。平行和相交两直线为同面两直线，交叉两直线为异面两直线。
1.平行两直线
平行两直线的投影特性如下：
(1)平行性 若空间两条直线相互平行，则它们的各同面投影仍互相平行，反之，若两直线的各同面投影相互平行，则此两直线在空间相互平行；
(2)等比性 两直线的长度之比等于它们各同面投影中线段的投影长度之比，即
AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
注意 平行性、等比性是平行投影的重要特性，在第8章的轴测图中也有应用。
如图2-28(a)所示，因为AB//CD，故过AB和CD所作的垂直于H面的两个投射平面也必相互平行，因此，它们与H面交线即H面投影ab和cd也一定平行。同样，V面和W面的投影a′b′//c′d′和a"b"//c"d"。一般情况下，两直线只要有两组同面投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。反之，若两直线有两组同面投影不平行，则两直线在空间亦不平行，如图2-28(a)中的AB与EF，其投影如图2-28(b)所示。但如果空间两直线为某一投影面平行线，则这两条直线在空间是否平行要根据它们在所平行投影面上的投影是否平行才能判定。
在图2-28(a)中，由于AB、CD对H面的倾角α相等，而ab=ABcosα、cd=CDcosα，所以有定比关系ab∶cd=AB∶CD成立。同理有AB∶CD=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"。
图2-28 平行两直线、交叉直线
注意 当只有两投影时，对于两条一般位置的直线只要用特性(1)即可判断出它们是否平行。对于两条均为同面平行线，则要看给定的是哪两个投影，在特性(1)无法判断时，就要用投影特性(2)(见例2-13)来判断。
例2-11 已知直线AB及线外一点C的两投影(见图2-29(a))，过点C作直线，使AB//CD且CD=15mm。
分析 由于AB//CD，故CD的各面投影必平行于AB的各同面投影，因此可采用以下两种方法：
(1)过点C作平行于AB的任意长度的直线，然后求任意线的实长，再利用定比分割的性质确定点D；
(2)直接求AB的实长，然后在直线上找到与某端点(如点A)距离为15mm的点F，再过点C作AF的平行线并取等长线。
作图 用方法(2)作图，如图2-29(b)、(c)所示。
图2-29 例2-11图
2.相交两直线
空间两直线相交的交点是两直线的共有点，相交两直线的投影特性如下：
(1)两直线的各同面投影必相交，且投影交点的连线垂直于投影轴，即必符合点的投影规律；
(2)交点是两直线的共有点，它将两直线分别分成的两线段符合等比性。
图2-30中，空间直线AB、CD相交于点K，则其各面投影必相交于同一点的投影k′、k，交点K是两直线的共有点，它既与两直线具有从属性和等比性的关系，自身还符合空间点的投影规律——投影连线垂直于投影轴。反之，当两直线的各面投影均相交，其交点的投影符合空间点的投影规律时，则两直线在空间必相交。
图2-30 相交两直线
注意 判断两条直线是否相交时，对于两条一般位置的直线，只要在两投影中即可处理它们有关相交的问题，但若两条线中有一条为平行线，则要由第三面投影或利用直线上点的定比分割的性质，检查它们有否公共点(见例2-14)。
例2-12 如图2-31(a)所示，已知直线AB、CD的两投影及点E的V面投影e′，试过点E作直线EF，使EF//CD并与AB相交，并借助直线AB、CD完成点E的H面投影e。
图2-31 例2-12图
分析 (1)欲使EF//CD，则EF的各投影必平行于CD的同面投影；
(2)EF若要与AB相交，其各同面投影必然相交且交点符合点的投影规律。
作图 如图2-31(b)步骤①、②、③、④所示。
3.交叉两直线
如图2-32所示，空间交叉两直线的投影出现“交点”，但“交点”是两直线在同一投射线上两个不同点的重合，是重影点而不是公共点，如图中的Ⅰ、Ⅱ在相对H面的同一条投射线上，它们为对H面的重影点，Ⅰ在上，Ⅱ在下。Ⅲ、Ⅳ在相对V面的同一条投射线上，它们为对V面的重影点，Ⅲ在前，Ⅳ在后。
图2-32 交叉两直线
注意 两直线交叉问题，往往在判断后处理：①重影点的可见性(判断方法见1.1节)；②交叉两直线间的最短距离(见第3章)。
在两面投影中，当两直线均为一般位置直线时，可直接进行判断。若有一直线为另一投影面平行线或两直线均为另一投影面的平行线，则要由其投影特性——平行性或定比性对其不确定的空间位置进行判断。
例2-13 判断两直线AB、CD的空间位置，如图2-33(a)所示。
图2-33 例2-13图
分析 先排除相交的可能。因两条均为W面平行线，所给定的投影无W面投影，故可用平行性特性进行判断，其方法为作第三投影，或用等比性特性进行判断(在该两投影中，直线两端点的字母顺序不变)。
作图 作第三投影用平行性进行判断，如图2-33(b)所示。用等比性进行判断如图2-33(c)所示。
结论 AB、CD的空间位置为交叉。
本题还可用平面的表达方式可相互转换的特点进行判断。
例2-14 判断两直线AB、CD的空间位置，如图2-34(a)所示。
图2-34 例2-14图
分析 先排除平行的可能。因CD为W面平行线，所给定的投影无W面投影，故可作出第三投影来确定有无公共点外，还可取任意一投影中的“交点”判断其与CD侧平线的相对位置。
作图 (1)作第三投影用平行性进行判断(省略)；
(2)用等比性进行判断，如图2-34(b)所示。
结论 (1)AB、CD的空间位置为交叉；
(2)V面上这个形式上的“交点”，是一对重影点，AB上的点在前为可见，CD上的点在后为不可见。
读者自行判断H面重影点的可见性，并想象四个点在空间的相互位置。
4.垂直两直线
当两直线之间的夹角为90°时，称它们垂直相交或垂直交叉。这类直线直角的投影所表现的夹角与它们在空间的位置有关，以垂直相交两直线为例分析其投影特性如下：
(1)当直角的两边均平行于同一投影面时，在所平行的投影面上，投影直角关系不变，如图2-35(a)所示；
(2)当直角的一边垂直于同一投影面时，在所垂直的投影面上，投影积聚为一直线，如图2-35(b)所示；
(3)当直角的两边均倾斜于同一投影面时，在该投影面上直角的投影或大于90°或小于90°，如图2-35(c)所示。
图2-35 直角的投影
(4)当直角的一边平行于投影面，另一边倾斜于该投影面时，在该投影面上的投影直角关系不变。如图2-35(d)所示，AB平行于H面为水平线，BC倾斜于H面为一般线，因为AB⊥BC，AB⊥Bb，所以必有AB⊥BCcb，又AB//ab，所以ab⊥BCcb，因此可证得ab⊥bc，即∠abc=90°。
反之，若两直线在某个投影面上的投影互相垂直，且其中有一直线平行于该投影面，则此两直线必互相垂直。直角投影的这种特性，也称直角投影定理。该定理也适用于两交叉直线。
直角投影定理在工程中广泛应用于判断垂直关系和解决距离问题。
例2-15 求直线AB与CD的距离的投影及实长(见图2-36(a))。
分析 (1)交叉两直线间的最短距离即是它们之间公垂线的长度；
(2)因CD为铅垂线，故公垂线必为同面平行线——水平线；
(3)由于CD的水平投影有积聚性，所以公垂线的水平投影必过该积聚投影。
作图 分两步进行：先作公垂线的投影，如图2-36(b)①→②→③所示；后确定距离的实长，如图2-36(c)所示。
图2-36 例2-15图
2.2.6 直线投影的读图
读直线的投影图时，要求能够根据直线的任意两面投影图想象出直线的空间位置(含直线的倾斜趋势)，进而解决一些相关几何问题。在读图中通常采用作第三投影的方法检查读图是否正确。
直线投影图的阅读主要有以下两方面。
1.根据投影图想象直线的空间位置
例2-16 阅读直线AB的两投影，并作出其第三投影(见图2-37(a))。
分析 (1)在图2-37(a)中由两投影都是斜线可知，直线AB为一般位置直线；
(2)由V面投影可知，点B在点A的左上方；
(3)由H面投影可知，点B在点A的左后方。
图2-37 例2-16图
归纳起来：直线AB在空间处于一般位置，AB的倾斜状态是从右前下方至左后上方。
作图 按点的投影规律作直线AB的第三投影，如图2-37(b)步骤①、②、③、④所示。
对于一般位置直线，由其任意两个投影即可想象出该直线的空间位置，而对于特殊位置直线，则容易将平行线与垂直线混淆。对于这类直线，应先区分类型，再想象出其空间位置。由于投影面垂直线是投影面平行线的特殊情况，故它们的投影必有异同。这两种直线主要区别是：投影面垂直线的三个投影图中，必有一个投影积聚成一点，另外两个投影同时平行于同一轴；而投影面平行线的三个投影中，必有一个投影与投影轴倾斜并反映线段的实长，另两个投影同时垂直于同一轴。抓住这些特点就不会使两者混淆。
2.根据直线的空间位置解决几何问题
例2-17 求直线AB与CD的距离的投影及实长(见图2-38(a))。
分析 (1)在图2-38(a)中，由两投影都是Z轴垂直线可知，直线AB上的点具有同一Z坐标(即与H面距离相等)，AB为水平线，直线CD也是一水平线；
图2-38 例2-17图
(2)两水平线的公垂线必是一同面垂直线——铅垂线；
(3)因铅垂线在H面上的投影必具有积聚性，所以两水平线在H面投影的“交点”即是公垂线的积聚投影，由此而求得距离的投影及实长。
作图 (1)按投影规律作直线AB与CD的第三投影，如图2-38(b)所示；
(2)由两水平线在H面投影的“交点”求得距离的投影及实长，如图2-38(c)①、②、③步骤所示。
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