假设检验涉及的问题

为了更好地理解假设检验，我们对检验过程中涉及的几个问题作进一步的讨论.

（1）两类错误.用假设检验进行统计推断所得到的结论不可能绝对正确，即最后作出的判断可能犯错误，我们的任务是将犯错误的概率控制在一个较低的水平上.在假设检验中发生的错误有两类：

第一类错误，即拒绝一个本来是真实的原假设H0，其概率用α表示，称α为假设检验的显著性水平.这类错误可简称为弃真错误.

第二类错误，即接受一个本来不真实的原假设，其概率用β表示.这类错误可简称为取伪错误.

在例1的条件下，犯两类错误的概率α与β的对应关系如表6.2所示.

表6.2　例1中两类错误的概率

由表6.2可见：在样本量不变的条件下，要使α小，必然会导致β增大；要使β小，必然会导致α增大.要使得α和β都小，就必须增大样本量，而这在实际工作中有时却很难办到.由于计算β的值比较困难，所以在实际操作中，常常通过适当控制α来制约β.

在实践中，企业领导人往往根据犯两类错误的代价大小，来选择适当的显著性水平.在对一批化工产品进行检验时，如果犯第一类错误，需要对这批合格的产品重新加工，并承担由此所花费的时间和资金；如果犯第二类错误，就会使这批不合格的产品当作合格产品接受，从而让使用这批化工产品的全部用户冒遭受毒害的巨大风险.两害相比取其轻.在这个假设检验中，企业领导人宁可犯弃真错误，而不能犯取伪错误，因此会选择一个相当高的显著性水平α，以求得一个较低的β.

在对另一批产品进行检验时，如果犯第一类错误，就要拆除生产该产品的全部机器，安装新的生产设备，需要耗费巨额资金；如果犯第二类错误，只要通过代理人支付一笔数额不大的保修费.因此，企业领导人这时更愿意选择犯第二类错误，即取伪错误，从而在假设检验中选择一个较低的显著性水平α，以求得一个较高的β.

（2）显著性水平.在例1的检验过程中出现的显著性水平α＝0.05该如何理解呢？它意味着在原假设H0正确时，样本统计数与假设的总体均值μ之间差异过大者，每100个样本中不应超过5个.如果样本统计数与总体均值间的差异过大，超过5%这个限度，就认为这个样本不可能取自假设总体，因此拒绝原假设H0.

图6.2形象地说明了α＝0.05水平的显著性.在0.95的面积中，样本统计数与假设的总体均值之间没有显著的区别.而余下的0.05面积的两侧阴影区域代表了存在显著差别的部分.

需要强调指出的是，即使样本统计数落在0.95面积的非阴影区域，也并不证明原假设H0是真实的.因为能够证明原假设真实的唯一途径是我们知道总体均值.遗憾的是，这无法做到.因此，每当我们说接受原假设时，其真正的含义是我们没有充分的统计证据去拒绝它.在统计的语言中，“接受”这个词只不过是“不拒绝”的代用词而已.

图6.2　显著性水平α＝0.05的说明

在假设检验中，人们需根据具体情况而采用不同的显著性水平.经常用的显著性水平是α＝0.05，有时也用α＝0.10，α＝0.01等.表6.3列出的是显著性水平α与相应的临界值c的对应关系.

表6.3　例1中显著水平与对应的临界值

由表6.3可见，随着显著性水平α的不断增大，临界值c越来越小.因此在同样的检验中，若改变显著性水平α，会影响假设检验的判断结果.在例1中，如果将显著性水平α从0.05减小到0.01，由表6.3可知，这时拒绝域的临界值为

于是拒绝域缩小为W＝﹛|z|≥2.576﹜，减少了拒绝原假设发生的可能性.由于|z0|＝|-2.5|＝2.5＜2.576，不在拒绝域W内，不能拒绝原假设H0，因此应认为当日生产正常.仅仅因为选择了不同的显著性水平，就得到了与α＝0.05时不同的结论.

从图6.3可以更加直观地看到，对于例1，当显著性水平α从0.05减少到0.01时，相应的拒绝域（图中两侧的阴影区域）也随之减小，于是样本统计数z0虽然在图（a）中落入拒绝域，但是在图（b）中却未落入拒绝域.

（3）双侧检验与单侧检验.在假设检验过程中，对于同一个原假设，可以作出3种不同的备择假设.我们仍以例1为例加以说明.

图6.3　不同显著性水平的假设检验

例1建立了两个假设：

原假设H0：μ＝1.40；

备择假设H1：μ≠1.40，

其中备择假设μ≠1.40的含义是，当日生产化纤的平均长度过长或过短都是不合适的.备择假设H1位于原假设H0的两侧，构成双侧假设检验问题.

设用W表示拒绝域，则有W＝﹛|z|≥c﹜，如图6.4（a）所示.

如果化纤的平均长度可允许过长，但是不允许过短，则可建立：

备择假设H′1：μ＜1.40.

这个备择假设位于原假设H0的左侧，构成左侧假设检验问题.

设用W′表示拒绝域，则有W′＝﹛z≤c′﹜，如图6.4（b）所示.

如果化纤的平均长度可允许过短，但是不允许过长，则可建立：

备择假设H″1：μ＞1.40.

图6.4　3种检验的拒绝域

这个备择假设位于原假设H0的右侧，构成右侧假设检验问题.

设用W″表示拒绝域，则有W″＝﹛z≥c″﹜，如图6.4（c）所示.

左侧假设检验和右侧假设检验可统称为单侧假设检验.

单侧检验与双侧检验一样，当样本统计数落入拒绝域时，则拒绝原假设H0，否则就接受原假设.

在进行假设检验时，如何选择双侧检验和单侧检验，应当根据实际需要来确定.设某个灯泡制造厂需要生产平均寿命μ＝1500h的电灯泡.如果寿命太短，将会失去市场销路，如果寿命过长，就要加粗灯丝，从而增加灯泡成本.为了观察灯泡生产过程是否正常，检验人员从产品中抽取一个样本，作出假设检验H0：μ＝1500；H1：μ≠1500；采用双侧检验.样本灯泡的平均寿命高于或低于1500h过多，都应拒绝原假设.

设有一个大学，从上述工厂购买一大批灯泡.当灯泡到达时，采购人员抽取一个样本进行检验，决定是否接受到货.当样本灯泡的平均寿命低于1500h时，采购人员就会拒绝接受到货；如果样本灯泡的平均寿命高于1500h，他肯定不会拒绝接受到货.因此，采购人员作出的假设是H0：μ＝1500h；H1：μ＜1500h；采用的是左侧检验.

（4）统计显著性与实际显著性.需要说明的一点是，在实施假设检验时，应注意统计显著性与实际显著性之间的区别.一个经过假设检验被拒绝的原假设意味着具有统计显著性，但是是否具有实际显著性，还应根据实际情况进行分析.特别是在大样本场合或精确测量场合常常会发生这样的情况：样本统计数与原假设之间哪怕只有很小的差异，都会被认为具有统计显著性，但是不一定具有实际显著性.

假设检验的种类很多，上面我们只是讨论了参数检验中的均值检验，借此可初步领略到统计学解决问题时独特而富有魅力的思维方式.