在前面的分析计算中，都是假设计算利息的时间和利率的时间单位相同，即均为一年。但如果计算利息的时间与利率的时间单位不同时，情况会怎样呢？例如，利率的时间单位为一年，而每个月计算一次利息，其计算结果会怎样呢？这就涉及名义利率和实际利率的问题。
名义利率（nominal interest rate）是指利率的表现形式，而实际利率（real interest rate）是指实际计算利息的利率。例如，每半年计息一次，每半年的利率为5%，那么，这个5%就是实际计算利息的利率。又如每半年的利率为5%，而每季度计息一次，那么这个5%仅仅是计算利息时利率的表现形式，而非实际计算利息的利率，称其为名义利率。在工程经济分析计算中，如果不特别说明，通常说的年利率一般都是指名义利率，如果后面不对计息期加以说明，则表示一年计息一次，此时的年利率也就是年实际利率（有的书上也称为有效利率）。
之所以会出现名义利率和实际利率之分，主要原因就是因为各自的计息期不同。由于存在不同的计息期，而计息期可长可短，实际利率最长的计息期就等于名义利率的时间单位，最短的计息期可以为一小时、一分钟、一秒钟，甚至更小。计息期与计息次数成反比关系。在名义利率的时间单位里，计息期越长，计息次数就越少；计息期越短，计息次数就越多。当计息期非常短，难以用时间来计量时，计息次数就趋于无穷大。由此，就出现两种情况下的名义利率和实际利率的转换及利息的计算的问题，即离散式复利和连续式复利。
当按照一定的时间单位（如年、月、日等）来计算的利息称为离散式复利（long-lost multiple interest）。
设r为名义利率，i为实际利率，m为名义利率时间单位内的计息次数，那么一个计息期的利率应为r/m，则一个利率时间末的本利和为
式（2-11）是离散式复利的名义利率和实际利率的转换公式。
【例2-17】 假定李某现在向银行借款10 000元，约定10年后归还。银行规定：年利率为6%，但要求按月计算利息。试问：此人10年后应归还银行多少钱？
【解】 由题意可知，年名义利率r=6%，每年计息次数m=12，则年实际利率为
每年按实际利率计算利息，则10年后10 000元的将来值为
F=P（1+i）n=10 000×（1+6.168%）10元=18 194.34元
即此人10年后应归还银行18 194.34元钱。
按瞬时计息的方式称为连续式复利（continuous multiple interest）。这时在名义利率的时间单位内，计息次数有无限多次，即m→∞。根据求极限的方法可求得年实际利率，实际利率的公式为
也就是说，连续复利的年实际利率是：
i=er-1 （2-12）
式（2-12）是连续式复利的名义利率和实际利率的转换式。其中，e为自然对数的底，其数值为2.718 281 828…。
【例2-18】 仍用上面离散式复利的例子，若采用连续式复利，那么李某10年后应归还银行多少钱？
【解】 用连续复利的公式计算，银行计算李某还款时的利率为
i=er－1=e6%－1=6.184%
10年后李某应还银行的钱为
F=P（1+i）n=10 000×（1+6.184%）10元=18 221.78元
从计算结果看，连续复利比离散复利的利息多。
虽然资金是连续运动的，但在实际的工程或项目评价中，大多数时候还是采用离散式复利计算。
为了进一步说明名义利率和实际利率之间的区别与联系，下面以名义利率为12%为例，分别计算按半年、季度、月、周、日等为单位连续计算复利，其相应的实际利率见表2-6。
表2-6 名义利率和实际利率计算比较
从表2-6计算可知，名义利率的时间单位内，计息周期越长，计息的次数越少，则名义利率和实际利率的差别就越小；反之，计息周期越短，计息的次数越多，则名义利率和实际利率的差别就越大。
上面讨论的是现金流量的发生与名义利率的时间一致的情况。如果在每个名义利率的时间单位内，还发生多次现金流量，情况又是怎样的呢？下面讨论名义利率和实际利率转换的几种典型情况。
如果实际计算利息的时间短于名义利率的时间单位，并且在每个名义利率的时间单位内，发生多次现金流入或流出，这种计算又分为以下3种情况。
1. 计息期和支付期相同
如计息期为半年，而半年里每月支付一次。下面通过两个例子来说明。
【例2-19】 老李向老张借款，从现在起3年内每半年从老张手上借款5000元，双方约定年利率为8%，但每半年计算一次利息。问：老李3年后应归还老张多少钱？
【解】 根据已知条件得，每半年（计息期）的利率为i=（8%）/2=4%。
3年内总的计息期数为n=3×2=6。
假设借款均在每半年末期发生，则现金流量图如图2-19所示（现金流量单位为元）。
图2-19 按半年计息的现金流量图
F=A（F/A，i，n）=5 000（F/A，4%，6）元=33 164.88元
即老李3年后应归还老张33 164.88元钱。
【例2-20】 假如老李现在一次性向老张借款30 000元，双方约定在今后的3年内每月等额偿还1 000，按月计算利息。问：老李还款的月实际利率、年实际利率和年名义利率各是多少？
【解】 本例的现金流量图如图2-20所示（现金流量单位为元）。
图2-20 按月计息的现金流量图
可以利用等额支付现值公式计算利率：
但这是一个高次方程，很难求出i。可以利用内插的方法求i。
将上式变形得，
当i1=2%，R1=25.488 8；当i2=1%时，R2=30.107 5。
那么，R=30时对应的利率为
2. 计息期短于支付期
如果每月计息，但一年或一季度才发生现金流量，这就是计息期短于支付期的情况。
【例2-21】 从现在起，老李向老张每年借款5 000元，双方约定年利率为6%，但每月计算一次利息。问：3年后老李应归还老张多少钱？
【解】 本例有3种计算方法。
（1）方法一：直接计算。
根据已知条件可知，每月的利率i=6%/12=0.5%。
按月绘制的现金流量图如图2-21所示（现金流量单位为元）。计算将来值为
F=5 000（F/P，0.5%，24）元+5 000（F/P，0.5%，12）元+5000元=15 944.19元
即3年后老李应归还老张15 944.19元。
图2-21 按月计息的现金流量图
（2）方法二：先计算实际利率，再计算将来值。
年实际利率 i=（1+6%/12）12-1=6.167 8%
3年后的将来值为
F=5 000（F/A，6.167 8%，3）元=15 943.67元
即3年后老李应归还老张15 943.67元。
（3）方法三：先分摊，再计算。
由于支付期长于计息期，则可以把每期的支付先分摊到每个计息期，这样支付期就与计息期相同了。本例中每年的支付为5 000元，计息期为月，因此，可以先把5 000元等额分配到每月，则每月的等额值为
再绘制按月的现金流量图如图2-22所示（现金流量单位为元）。
图2-22 等额偿还现金流量图
月利率i=0.5%
将来值F=405.332 1（F/A，0.5%，36）元=15 944.19元
由以上分析可知，3种计算方法结果相同。
【例2-22】 如果在例2-21中，老李向老张每半年借款5 000元，年利率仍为6%，每月计算一次利息。问：3年后老李应归还老张多少钱？
【解】 此例中，不仅计息期短于支付期，而且名义利率的时间单位与支付期也不同。
可先计算出半年的名义利率，再计算半年的实际利率，最后用半年的实际利率计算将来值。
半年的名义利率 r=6%/2=3%
半年的实际利率 i=（1+3%/6）6-1=3.037 8%
3年内有3×2=6个半年，则3年末的将来值为
F=5 000（F/A，3.037 8%，6）元=32 372.76元
3. 计息期长于支付期
当计息期长于支付期时，一般情况是将计息期内发生的现金流量进行合并，使其与计息期的时间长度相等。按照惯例，存款必须存满整个计息期时才计算利息，而借款或贷款没有满一个计息期也计算利息。这就是说，在计息期间存入的款项在该计息期不计算利息，要到下一个计息期才计算利息；在计息期间的借款或贷款，则在该计息期计算利息。因此，在对现金流量进行合并时，计息期间的存款应放在期末，而在计息期间的取款、借款或贷款应放在期初。
【例2-23】 某公司去年在银行的存款、取款现金流量如图2-23所示（箭头向上表示取款，箭头向下表示存款）。银行年存款利率为2%，但每季度计息一次。试问：去年年底该企业能从银行取出多少钱？
图2-23 实际的现金流量图
【解】 由于计息期是以季度为单位，因此，将图2-23中的现金流量进行合并，合并到每个季度的期末。合并整理后的现金流量图如图2-24所示。
每季度的利率 i=2%/4=0.5%
那么，将来值为
即去年年底该企业能从银行取出2 114.04元钱。
图2-24 合并后的现金流量图
上面是分别讨论了计息期与支付期相同、计息期短于支付期和计息期长于支付期的情况，如果同一个问题3种情况都有，又应怎样处理呢？
【例2-24】 张明同学贷款读书，每半年向银行贷款2 000元，连续贷款4年。银行约定计算利息的方式有以下3种：（1）年贷款利率为6%，每年计息一次；（2）年贷款利率为5.5%，每半年计息一次；（3）年贷款利率为5%，每季度计息一次。那么张明同学应选择哪种贷款方式？
【解】 可以通过计算3种还款方式的将来值进行比较，应选择将来值小的还款方式。
（1）年贷款利率为6%，每年计息一次。
这是属于计息期长于支付期的情况。计算时要先对现金流量进行合并，合并后的现金流量的发生周期要等于计息期（年）。由于借款一般都发生在期初，因此合并后的现金流量图如图2-25所示。
图2-25 合并后的现金流量图
所有贷款的将来值为
F=4 000（F/A，6%，4）×（1+6%）元=18 548.37元
（2）年贷款利率为5.5%，每半年计息一次。
这是属于计息期等于支付期的情况。
半年的利率 i=5.5%/2=2.75%
4年内的计息期数 n=4×2=8
所有贷款（贷款一般发生在期初）的将来值为
F=2 000（F/A，2.75%，8）×（1+2.75%）元=18 112.44元
（3）年贷款利率为5%，每季度计息一次。
这是属于计息期短于支付期的情况。可以用两种方法计算。
方法一：先分摊，再计算。
每季度的利率 i=5%/4=1.25%
先将每半年的贷款分摊成每季度的等值A=2 000（A/P，1.25%，2）元=1 018.79元
分摊后的现金流量图如图2-26所示。
图2-26 分摊后的现金流量图
所有贷款（贷款发生在期初）的将来值为
F=1 018.79（F/A，1.25%，16）元=17 921.70元
方法二：先计算半年的实际利率，再计算还款的将来值。
半年的名义利率 r=5%/2=2.5%
半年的实际利率 i=（1+2.5%/2）2-1=2.515 6%
4年里的计息期数 n=4×2=8
所有贷款（贷款发生在期初）的将来值为
F=2 000（F/A，2.515 6%，8）×（1+2.515 6%）元=17 921.66元
从以上的计算可见，第3种计息方式最后还款的值最小。因此，应选择第3种计息方式来还款，即采用年贷款利率为5%，每季度计息一次的还款方式。
1. 什么是现金流量？它包括哪些内容？试举例说明。
2. 什么现金流量图？它的构成要素有哪些？绘制现金流量图时应注意哪些问题？
3. 什么是资金的时间价值？影响资金的时间价值因素有哪些？
4. 什么是单利？什么是复利？各自的计算有何不同？它们有何关系？
5. 试分析银行生存的原因与经营的目的。
6. 我国银行的活期存款是单利还是复利？
7. 什么是资金等值？资金等值有何作用？
8. 什么是名义利率和实际利率？它们有什么关系？
1. 某城市投资兴建一座桥梁，建设期为3年，预计总投资15 000万元，所有投资从银行贷款，分3年等额投入建设（投资均在每年年初进行）。桥建好后即可投入使用。预计每天过往车辆2 000辆，每辆车收取过桥费10元，一年按360天计算。设该桥的寿命期为50年，桥梁每年的维修保养费为10万元。试绘制其现金流量图。
2. 某工程项目5年前投资100万元，第一年年末就投入生产并获利。截至目前每年年收入20万元，每年的维修保养费1万元。预计该工程还能继续使用5年，今后5年内每年收益为15万元，维修费仍为每年1万元。5年后资产全部回收完并报废。试画出该项目的现金流量图。
3. 某人现在向银行借款5 000元，约定3年后归还。若银行借款利率为5.5%，试分别按单利和复利计算3年后此人应归还银行多少钱？对还款人来说，哪种计算利息的方式合算?
4. 蔡某按单利年利率6%借款20 000元给胡某，3年后蔡某收回了借款，又将全部本利和贷款给李某，约定贷款年利率为5%，期限为2年，但按复利计算。问：蔡某最后收回贷款时能收回多少钱？
5. 某公司投资建设一栋楼房，在银行贷款300万元，约定一年后归还，贷款月利率为0.5%。问：该公司一年后应归还银行多少钱？
6. 某电力公司拟在5年后建设一个电站，估计投资1 000万元。该公司打算现在存入一笔资金留给电站建设用。若银行现在的存款年利率为2%，问该公司现在应存入银行多少钱？如果该公司打算从现在开始每年年末存入银行一笔钱，年存款利率仍为2%，那么该公司现在应存入银行多少钱？若该公司从现在开始每年年初存入银行一笔钱，年存款利率仍为2%，那么该公司现在又应存入银行多少钱？
*7. 王同学打算10年后买一套商品房，从现在开始每年年末存入银行20 000元，银行目前存款年利率为5%，但按单利计算利息。问：①王同学10年后能从银行取出多少钱用于购房？②如果王同学是每年年初存入银行20 000元，那结果又会是怎样的呢？③如果王同学是现在一次性存入银行180 000元，那结果又会是怎样的呢？
*8. 老张向朋友借款30万元用于购买商品房，借款期限为20年。由于是朋友关系，因此利息按单利计算。双方约定年借款利率为7%，还款方式为每月等额偿还。问：老张每月应还款多少？
9. 老张向银行借款30万元购买商品房，借款期限为20年。银行规定的借款年利率为7%，还款方式为每月等额偿还。问：老张每月的还款是多少？
10. 某公司现在存款P万元，若存款年利率为5%，问：多少年后本利和是现在存款的2倍？
11. 某公司现在存款P万元，存款期限为10年，现在有多种利率投资方式可供选择。问：该公司希望10年后本利和是现在存款的2倍，应选择年利率为多少的投资方式？
*12. 某企业贷款200万元投资建设一个项目，3年建成并投产，同时开始用每年的收益来等额偿还贷款，分10年还完，贷款年利率为7%。问：该企业每年要偿还银行多少贷款？
13. 某项目现金流量图如图2-27（现金流量单位为元）所示。若年利率为5%，求图中的现值、终值、第5年末的等值以及平均每年的年值。
图2-27 习题13的现金流量图
14. 证明等值计算中各种系数的关系：
①（P/F，i，n）=（P/A，i，n）（A/F，i，n）
②（A/P，i，n）-i=（A/F，i，n）
③（F/P，i，n）·（A/F，i，n）=（A/P，i，n）
15. 某人第一个月存入银行1 000元，从第二个月开始每月递增100元，连续存5年。存款年利率为3%，问：此人全部存款的现值、终值及平均每年的存款额是多少？
16. 某人在银行贷了一笔款项，从现在开始偿还。第一个月偿还10 000元，从第二个月开始每月递减1 000元，连续还10个月。贷款月利率为1%，问：此人全部贷款的现值、终值及平均每月的还款额是多少？
17. 某人购买了一种股票，原始值为150元一股，股利为10元。购买以后股利逐年上涨，每年以2%的比例逐年上涨。若股票寿命期为20年，银行利率为5%，那么，求此人20年后每股盈利多少？
18. 若年利率为5%，试求图2-28中的现值、终值和等额年值。
图2-28 习题18的现金流量图
19. 某企业向银行贷款20 000元，在5年内以年利率5%还清全部本金和利息。有以下4种还款方式。
①5年后一次性还本付息，中途不做任何还款。
②在5年中仅在每年年底归还利息1 000元，最后在第5年年末将本金和利息一并归还。
③将所借本金做分期等额偿还，同时偿还到期利息，至第5年年末全部还清。
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