课时教学的例

三、课时教学的例

评“合情推理”一课的教学设计及实践^[1]（注：“合情推理”（第一课时）的教学设计详见第二章第五节）

一位小学女生告诉我：我语文不错，数学也很想学好，但数学很难，我觉得自己不是读数学的料。一位高二男生告诉我：我数学成绩还不错，但感觉学数学很枯燥、很疲惫，因此读大学一定要读远离数学的专业。一位高中教师告诉我：我和我的学生都很努力，花的时间也比较多，但成绩仍然不理想，老是被校长批评，因此比较苦恼。

这三位教师和学生的话代表了许多教师和学生的心声和苦恼，也向我们提出了严峻的问题：如何让数学学习更加容易、更加有效、更有乐趣？面对理想教育与现实教育的两重压力，数学教学如何做到既卓越又高效？应该说，洪老师用实际行动较好地回答了这个问题。我认为这节课有如下七个亮点。

亮点一：对课标和教材理解与把握到位

数学教学教的是数学，因此我们首先必须从数学上理解好教材。为什么原来的大纲和教材没有《推理与证明》，而现在要有？我觉得课标和教材单独设置《推理与证明》有两个背景：一是以前我们教的推理是不完整的推理，我们过多地重视了演绎推理，而对合情推理关注和重视不够，而这不利于学生思维能力的全面发展和真正发展，更不利于学生创新思维和创新能力的发展；二是以往的数学教学，无论教师还是学生，从数学方法、数学思维角度看问题的意识比较淡薄，教学中“重术轻道”的现象比较严重。因此教材变分散为集中，变隐性为显性，把《合情推理与演绎推理》、《直接证明与间接证明》以独立的形式设置，有利于加强合情推理、数学方法论、数学思维论教学。

其次，我们应该怎样理解本节教材？从数学教学应该教什么、怎样教，数学学习应该学什么、怎样学的角度看，它是促进学生的数学观、数学方法观、数学学习观等朝积极、正确的方向发展的极好素材，有助于矫正学生中普遍存在的“数学单调、枯燥、死板，数学远离生活”等不正确的认识。从数学方法论、数学思维论的角度看，它是《推理与证明》的一个组成部分，是提高学生的理性思维和合情推理能力的极好素材。从数学知识与技能角度看，它能帮助学生理解和掌握归纳推理的含义、特点、价值、应用等一般步骤。洪老师很好地把握了课标和教材的编写意图与精神实质，不是重在让学生记住归纳推理的概念、特征、步骤，而是重在让学生感受合情推理的价值与魅力，增强学生用归纳推理解决问题的意识和能力。

亮点二：对学生现状的分析与把握到位

数学教学的对象是学生。学生已经知道什么、需要知道什么、需要教师怎样的帮助是教学设计最根本的依据。这节课，洪老师所教学生的学习基础和学习现状如下：（1）学生对推理既熟悉，又陌生。说熟悉，是因为他们无论说话还是办事，时时刻刻都用到推理；说陌生，是因为他们对推理的种类、方法、特点等缺乏清晰的、理性的认识。（2）学生虽然已经有一定的归纳推理的经验和能力，但往往不能自觉地、有意识地运用归纳推理发现结论、解决问题。（3）学生来自省级重点中学，数学基础比较扎实，接受能力也相对较强。（4）学生的自主学习能力还比较弱，离不开教师的有效指导。学生的学习只能是在教师指导下的自主性程度较高的学习。（5）学生的数学观、数学方法观、数学学习观存在较大的偏差。正如课堂之初所显示的数据：近70%的高中生认为数学是严肃枯燥的，80%多的学生认为学数学就是为了解题。洪老师的课紧扣学生的心理、现状、基础与需求，为教学的成功奠定了基础。

亮点三：教学追求既实在实际，又有深度高度

目标是行动的指南与方向。教师教学时内心追求什么不仅关系到教学设计，更直接关系到数学课的效率与效益。对于教学目标，更要“观其行”，看教师在课堂上是如何做、如何落实的。对这节课，我们会发现：就知识与技能目标而言，这节课是讲究实在、实际、实效的课。教师把归纳推理的含义、特点、步骤与方法、注意点、运用等都讲得很清楚，也注重落实好。归纳推理概念得出后，安排学生举例，及时巩固。教师对教材上的例题进行了补充和强化，选用2007年高考题作为作业的选做题等充分地说明了这一点。就过程与方法目标而言，教师注重归纳推理概念的形成过程与形成方法，以及在怎样的情况下用归纳推理及如何运用归纳推理。就情感与价值观目标而言，教师创设了许多情境、舍得花时间，让学生强烈地感受到归纳推理的力量与价值，欣赏、享受数学思考、探究、发现的乐趣，并受到数学文化、数学精神的良好熏陶。课堂之初教师用大量的推理实例充分展示了数学生动活泼和紧密联系实际的一面；课堂中间用大量的事例浓墨重彩地阐明归纳推理的价值；课堂之尾又注意总结和提升学生的内心感受。

因此，这节课的教学目标既实在实际，又有深度高度，把显性目标与隐性目标、课时目标与课程目标很好地结合在一起，做到了“高立意”与“低起点”的有机结合，知识与技能目标、过程与方法目标、情感态度价值观目标的有机结合。

亮点四：教学过程如行云流水，自然流畅

具体表现为以下五个方面：

第一，问题的提出不仅自然合理，而且紧扣数学本质。教师一开始就设置了三个问题情境：一是一组问卷调查的统计数据；二是一组生活味浓、学生感兴趣的推理实例；三是一组为归纳出归纳推理概念做铺垫的推理实例。这三个问题情境具有下列四个特点：一是有生活味，能有效地激发学生的学习兴趣；二是有数学味，能揭示体现数学问题的本质；三是简单自然，贴近学生的认知基础，不在情境的理解上设置人为的障碍；四是与后继学习相结合，为后继学习做好铺垫。

教师自然地从生活中提取数学问题，不仅让学生自然地感受到数学与生活的紧密联系，也有助于矫正学生对数学的错误认识，有助于强化学生从数学角度研究和思考日常生活现象的意识。

第二，概念建立的过程自然合理，符合数学概念学习的一般认知规律。教师从大量的具体例子出发，通过辨析、归类，找出具有共同特点的推理方式，再分析、总结这些推理方式的特征，得出归纳推理的概念。其心理过程为：基于对具体事物正反两方面的辨析，通过比较分析，找出它们共同的属性，再通过抽象推广到一般同类事物，概括形成概念。

在教师所举的6个例子中，有4个是归纳推理，有2个不是.教师把4个归纳推理的例子集中在一起展示，强化了归纳推理由部分到整体、由个别到一般的特征，抓住了思维的关键点和探究的难点，做得非常好。

另外，这里还有两点值得注意：一是教师没有马上用教材上的哥德巴赫猜想、费马定理、四色猜想等作为例子，为什么？因为这些例子尽管学生很感兴趣，但学生不熟悉，会增加学生理解的难度，分散学生的注意力，不利于归纳推理概念的得出和理解。二是教材把金属能导电、由统计得出推断，作为归纳推理的例子加以使用，而教师处理时，把这些例子前移。为什么？因为数学是模式的科学，数学概念研究的是一类对象，而不是一个对象，因此这样处理更有利于学生自然地得出归纳推理的概念，从而更深刻地认识归纳推理。

第三，问题的拓展自然而合理。在得到归纳推理的概念后，教师及时引导学生感受其魅力与价值。先后再现了哥德巴赫猜想、四色猜想的发现过程，指出了万有引力、植物的向光性、元素周期律等都是利用归纳推理发现的，从而使学生强烈地感受到归纳推理是科学发现的重要工具。

在学生学习归纳推理的积极性得到充分调动的基础上，教师又设法深化学生对合情推理的认识，及时介绍了费马猜想及其变化与发展的情况，让学生经历了“猜想—检验—再猜想—再检验”的过程，感受什么是真正的科学探究与发现。同时，这个过程也让学生更加清楚地认识到：合情推理是冒险的、有争议的和暂时的。因此，这个环节安排得非常好，既让学生认识到归纳推理的局限性及其产生错误的原因（结论的范围超出了前提的范围，逻辑上犯了以偏概全的错误），又让学生认识到举反例是发现错误、证明命题是假命题的好方法。

第四，及时巩固，促进知识向技能转化。在学生对归纳推理已经有了较全面认识的基础上，教师及时引导学生运用归纳推理，以便提高他们运用归纳推理解决问题的意识和能力。为了更好地实现此目标，教师对教材作了两个小调整：一是对例1的第（1）小题要求学生用直接推理和归纳推理两种方法求解，并让学生自己去比较、体会归纳推理的优点和不足；二是补充了能有效提高学生运用归纳推理意识与能力的第（2）小题。

第五，课堂结构合理、环环紧扣。这节课教师先是从整体和数学学科高度入手，再在局部研究探讨问题，最后回归整体，整节课是按整体—局部—整体展开，思维主线、知识主线清晰，整体性、综合性、层次性强。教学有如行云流水，既大气精彩，又自然合理，从而使教学目标的落实有了可靠的载体与途径，也使三维目标的达成“你中有我，我中有你”，既相互融合，又相互促进。

亮点五：学生自主性、探究性程度高，思维活跃

学之道在于“悟”，教之道在于“度”。这节课教师一方面在学生学习方向、方法、策略、注意点等方面给予了有效而恰到好处的指导；另一方面，学生自己能做的让学生自己做，学生自己能说的让学生自己说，教师不越俎代庖。如归纳推理的概念不是教师简单地归纳、呈现出来的，而是学生自己在教师创设的情境中通过归纳、总结得到的，概念的形成过程是学生再发现、再创造的过程。在这个过程中，教师主导与学生主体得到了完美的结合，指导中有发现，发现中有指导；既符合学生的认知基础和认知规律，也有助于学生能力与思维的发展。

另外，教师让学生举出生活和学习中运用归纳推理的例子，自己在具体的情境中感悟归纳推理的意义、价值及其局限性，归纳总结归纳推理的一般步骤，自己探究发现例题的解决方法等，都充分体现了学生学习的自主性与探究性。课后学生们一致认为，这节课不仅师生交流、生生交流比较充分，而且学生的思维空间、自主空间、探究空间大，学习充满自主与探究的乐趣。

亮点六：教师用教材教的意识与能力强、效果好

这节课老师既基于教材但又不拘泥于教材。基于教材体现在教师尊重教材的精神、总体框架、整体安排，不拘泥于教材体现在老师根据教学和学生的实际对教材进行调整、补充。这节课中，课堂引入、问题情境的创设、归纳推理概念的导出、归纳推理价值的欣赏、例题、课内练习、课后作业等教学的每一个环节教师都根据学生的实际对教材进行了二次开发。可以说，正是教师在深刻理解教材基础上的创造性地使用教材，才使整个教学过程变得更加自然、更加合理，情境和探究也更加真实；正是教师独具匠心的教学处理和教学艺术，才使课堂教学精彩纷呈、高潮迭起。

亮点七：教师精益求精，教学细节处理细腻、到位

洪老师的教态亲切自然、亲和力强，语言表达力、感染力强。课堂上师生交流自然、充分；教学中，教师精益求精。除前面所述的一些细节和处理外，教师介绍哥德巴赫猜想时，采用表达式“2n＝p₁＋p₂，2n＝p₁＋p₂ p₃”，使学生对哥德巴赫猜想和陈氏定理的具体含义有更形象、更直观的认识。介绍四色定理时，在对河南地图、中国地图、世界地图的着色中提出猜想，然后再介绍四色猜想如何变成四色定理，整个过程自然流畅，过程性、生成性强。

最后的课堂小结，先由学生自己进行，然后教师作画龙点睛式的总结，达到了回顾、梳理、提高之目的。在作业的设计上，教师也颇费心思。这节课的作业既有重在知识与技能巩固的常规作业，也有着眼于学生素养提高的实习性作业；既有面向全体学生的作为基础的共同作业，也有尊重学生个体差异、面向部分学生的选择性作业。

此外，教师对黑板、多媒体、计算机的使用恰到好处。

这节课中重要的知识点和关键点，教师在黑板上书写，而对需要展示的图片、题目本身等则借助于多媒体，教师较好地利用了黑板和多媒体的长处而避免了它们的短处。更难能可贵的是，教师设计了把大于4的偶数分解成两个素数之和的软件，由学生任意取正偶数进行验证，使计算机成为学生探究数学结论的有效工具。

对于数学文化和数学精神，在教学中也落到实处。

这节课不但很好地渗透了数学观、数学方法观、数学文化与数学精神，而且能够和知识与技能、过程与方法教学有效地结合在一起。学生在整节课中都处于兴奋、陶醉之中，心灵受到触动，甚至震撼，学生强烈地感觉到原来数学是如此的有趣、如此的好玩，原来归纳推理是如此的有用，进而学生的数学观、数学学习观等受到矫正，“大胆猜想、小心求证”的科学态度开始养成。课堂中学生的表情、学生课堂小结和课后所谈的对这节课的看法，都充分说明了学生不仅课堂上心里的感觉是快乐的、愉悦的，而且对数学、数学的价值、数学的精神等有了新的认识。

当然，课堂教学是遗憾的艺术，每节课的功能与价值也是有限的。在这节课中，推理、归纳推理概念的得出过程如何进一步强化，学生的活动如何更加充分，值得我们继续努力。例题第（1）小题的教学可作进一步深化，如教师可引导学生思考a_n＝的结论是否一定可靠，以及a_n＝成立与a_n＋1＝成立的关系等，为后面数学归纳法的学习埋下伏笔（当然，这里教师对这些问题应该引而不发，让学生带着问题回去）。

实践与思考

1.利用实习或见习的机会，选择一堂有特点的课，进行书面评价。

2.利用微格教学，对自己的课进行评价。

【注释】

[1]李昌官：《追求卓越高效的数学教学》，数学通报，2010年第7期。